Esquema de axioma de especificación

Concepto en teoría de conjuntos axiomáticos.

En muchas versiones populares de la teoría axiomática de conjuntos , el esquema axiomático de especificación , ^[1] también conocido como esquema axiomático de separación ( Aussonderung Axiom ), ^[2] axioma de subconjunto ^[3] o esquema axiomático de comprensión restringida es un esquema axiomático . Básicamente, dice que cualquier subclase definible de un conjunto es un conjunto.

Algunos matemáticos lo llaman esquema axiomático de comprensión , aunque otros usan ese término para la comprensión irrestricta , que se analiza a continuación.

Debido a que restringir la comprensión evitaba la paradoja de Russell , varios matemáticos, incluidos Zermelo , Fraenkel y Gödel, la consideraron el axioma más importante de la teoría de conjuntos. ^[4]

Declaración

Se incluye una instancia del esquema para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos como variable libre. Entonces no ocurre gratis en . ^{[3] [2] [5]} En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema del axioma es: ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}}$^{[3] [1] [5]}

o en palabras:

Sea una fórmula. Para cada conjunto existe un conjunto que consta de todos los elementos que se cumplen. ^[3] ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

Tenga en cuenta que hay un axioma para cada uno de esos predicados ; por tanto, este es un esquema axioma . ^{[3] [1]} ${\displaystyle \varphi (x)}$

Para comprender este esquema de axioma, tenga en cuenta que el conjunto debe ser un subconjunto de A. Así, lo que realmente dice el esquema del axioma es que, dado un conjunto y un predicado , podemos encontrar un subconjunto de A cuyos miembros son precisamente los miembros de A que satisfacen . Según el axioma de extensionalidad, este conjunto es único. Generalmente denotamos este conjunto usando la notación de generador de conjuntos como . Así, la esencia del axioma es: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Cada subclase de un conjunto definida por un predicado es en sí misma un conjunto.

La forma anterior de separación fue introducida en 1930 por Thoralf Skolem como un refinamiento de una forma anterior, que no era de primer orden ^[6] , de Zermelo. ^[7] El esquema axiomático de especificación es característico de sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos relacionados con la habitual teoría de conjuntos ZFC , pero no suele aparecer en sistemas radicalmente diferentes de teoría de conjuntos alternativa . Por ejemplo, los Nuevos Fundamentos y la teoría de conjuntos positivos utilizan diferentes restricciones del axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua . La teoría alternativa de conjuntos de Vopenka hace hincapié en permitir subclases adecuadas de conjuntos, llamadas semiconjuntos . Incluso en sistemas relacionados con ZFC, este esquema a veces se restringe a fórmulas con cuantificadores acotados, como en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos .

Relación con el esquema axioma de reemplazo.

El esquema de axioma de especificación está implícito en el esquema de axioma de sustitución junto con el axioma de conjunto vacío . ^{[8] [un]}

El esquema axioma de reemplazo dice que, si una función se puede definir mediante una fórmula , entonces, para cualquier conjunto , existe un conjunto : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$. ^[8]

Para derivar el esquema de especificación del axioma, sean una fórmula y un conjunto, y defina la función de modo que if sea verdadero y if sea falso, donde tal que sea verdadero. Entonces el conjunto garantizado por el esquema axiomático de sustitución es precisamente el conjunto requerido en el esquema axiomático de especificación. Si no existe, entonces en el esquema de axioma de especificación está el conjunto vacío, cuya existencia (es decir, el axioma de conjunto vacío) es entonces necesaria. ^[8] ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle f(x)=u}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle u\in z}$ ${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(x)}$

Por esta razón, el esquema axiomático de especificación queda fuera de algunas axiomatizaciones de la teoría de conjuntos ZF (Zermelo-Frankel) , ^[9] aunque algunos autores, a pesar de la redundancia, incluyen ambos. ^[10] Independientemente, el esquema de especificación del axioma es notable porque estaba en la lista de axiomas original de Zermelo de 1908, antes de que Fraenkel inventara el axioma de reemplazo en 1922. ^[9] Además, si se toma la teoría de conjuntos ZFC (es decir, ZF con el axioma de elección), elimina el axioma de reemplazo y el axioma de colección , pero mantiene el esquema de axioma de especificación, se obtiene el sistema de axiomas más débil llamado ZC (es decir, los axiomas de Zermelo, más el axioma de elección). ^[11]

Comprensión ilimitada

El esquema del axioma de comprensión irrestricta dice:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

eso es:

Existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellos objetos que satisfacen el predicado φ .

Este conjunto B es nuevamente único y generalmente se denota como { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Este esquema de axioma se utilizó tácitamente en los primeros días de la ingenua teoría de conjuntos , antes de que se adoptara una axiomatización estricta. Sin embargo, más tarde se descubrió que conducía directamente a la paradoja de Russell , al tomar φ ( x ) como ¬( x  ∈  x ) (es decir, la propiedad que establece x no es miembro de sí misma). Por lo tanto, ninguna axiomatización útil de la teoría de conjuntos puede utilizar una comprensión ilimitada. Pasar de la lógica clásica a la lógica intuicionista no ayuda, ya que la prueba de la paradoja de Russell es intuicionistamente válida.

Aceptar únicamente el esquema axiomático de especificación fue el comienzo de la teoría axiomática de conjuntos. La mayoría de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel (pero no el axioma de extensionalidad , el axioma de regularidad o el axioma de elección ) se volvieron necesarios para compensar parte de lo que se perdió al cambiar el esquema axiomático de comprensión por el esquema axiomático. de especificación: cada uno de estos axiomas establece que existe un determinado conjunto y define ese conjunto dando un predicado para que lo satisfagan sus miembros, es decir, es un caso especial del esquema de comprensión del axioma.

También es posible evitar que el esquema sea inconsistente restringiendo a qué fórmulas se puede aplicar, como solo fórmulas estratificadas en New Foundations (ver más abajo) o solo fórmulas positivas (fórmulas con solo conjunción, disyunción, cuantificación y fórmulas atómicas). en la teoría de conjuntos positivos . Sin embargo, las fórmulas positivas normalmente no pueden expresar ciertas cosas que la mayoría de las teorías sí pueden expresar; por ejemplo, no existe complemento ni complemento relativo en la teoría de conjuntos positivos.

En la teoría de clases NBG

En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , se hace una distinción entre conjuntos y clases . Una clase C es un conjunto si y sólo si pertenece a alguna clase E. En esta teoría, hay un esquema de teorema que dice $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

eso es,

Existe una clase D tal que cualquier clase C es miembro de D si y sólo si C es un conjunto que satisface P .

siempre que los cuantificadores en el predicado P estén restringidos a conjuntos.

Este esquema de teorema es en sí mismo una forma restringida de comprensión, que evita la paradoja de Russell debido al requisito de que C sea un conjunto. Entonces la especificación de los conjuntos mismos se puede escribir como un axioma único. $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

eso es,

Dada cualquier clase D y cualquier conjunto A , existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellas clases que son miembros tanto de A como de D.

o incluso más simplemente

La intersección de una clase D y un conjunto A es en sí misma un conjunto B.

En este axioma, el predicado P se reemplaza por la clase D , que puede cuantificarse. Otro axioma más simple que logra el mismo efecto es $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

eso es,

Una subclase de un conjunto es un conjunto.

En entornos de orden superior

En un lenguaje mecanografiado donde podemos cuantificar predicados, el esquema axiomático de especificación se convierte en un axioma simple. Este es prácticamente el mismo truco que se usó en los axiomas NBG de la sección anterior, donde el predicado fue reemplazado por una clase que luego se cuantificó nuevamente.

En lógica de segundo orden y lógica de orden superior con semántica de orden superior, el axioma de especificación es una validez lógica y no necesita incluirse explícitamente en una teoría.

En las nuevas fundaciones de Quine

En el enfoque de los Nuevos Fundamentos de la teoría de conjuntos iniciado por WVO Quine , el axioma de comprensión de un predicado dado toma la forma no restringida, pero los predicados que pueden usarse en el esquema son en sí mismos restringidos. El predicado ( C no está en C ) está prohibido, porque el mismo símbolo C aparece en ambos lados del símbolo de membresía (y por lo tanto en diferentes "tipos relativos"); así se evita la paradoja de Russell. Sin embargo, al tomar P ( C ) como ( C = C ) , lo cual está permitido, podemos formar un conjunto de todos los conjuntos. Para más detalles, consulte estratificación .

Referencias

1. "Teoría de conjuntos axiomáticos". www.cs.yale.edu . Esquema de especificación de axiomas . Consultado el 8 de junio de 2024 .
2. Suppes, Patrick (1 de enero de 1972). Teoría de conjuntos axiomática. Corporación de mensajería. págs.6, 19, 21, 237. ISBN 978-0-486-61630-8.
3. Cunningham, Daniel W. (2016). Teoría de conjuntos: un primer curso . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Nueva York, Nueva York: Cambridge University Press. págs.22, 24-25, 29. ISBN 978-1-107-12032-7.
4. Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: una aproximación a su vida y obra . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 88.ISBN​ 978-3-540-49553-6.
5. DeVidi, David; Hallett, Michael; Clark, Peter (23 de marzo de 2011). Lógica, matemáticas, filosofía, entusiasmo vintage: ensayos en honor a John L. Bell. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 206.ISBN​ 978-94-007-0214-1.
6. FR Drake, Teoría de conjuntos: introducción a los cardenales grandes (1974), págs.12-13. ISBN 0 444 10535 2.
7. WVO Quine, Lógica matemática (1981), p.164. Prensa de la Universidad de Harvard, 0-674-55451-5
8. Toth, Gabor (23 de septiembre de 2021). Elementos de las matemáticas: un enfoque de la historia y los fundamentos centrado en problemas. Naturaleza Springer. pag. 32.ISBN​ 978-3-030-75051-0.
9. Bajnok, Béla (27 de octubre de 2020). Una invitación a las matemáticas abstractas. Naturaleza Springer. pag. 138.ISBN​ 978-3-030-56174-1.
10. Vaught, Robert L. (28 de agosto de 2001). Teoría de conjuntos: una introducción. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 67.ISBN​ 978-0-8176-4256-3.
11. Kanovei, Vladimir; Reeken, Michael (9 de marzo de 2013). Análisis no estándar, axiomáticamente. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 21.ISBN​ 978-3-662-08998-9.

Otras lecturas

• Crossley, JbN; Ceniza, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, Nueva Hampshire (1972). ¿Qué es la lógica matemática? . Londres-Oxford-Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-888087-1. Zbl  0251.02001.
• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Notas

1. Suppes, ^[2] citado anteriormente, lo derivó del esquema axioma de reemplazo únicamente (p. 237), pero eso se debe a que comenzó su formulación de la teoría de conjuntos incluyendo el conjunto vacío como parte de la definición de conjunto: su Definición 1, en la página 19, establece que . ${\displaystyle y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )}$