John Penn Mayberry (18 de noviembre de 1939 - 19 de agosto de 2016) fue un filósofo matemático estadounidense y creador de una distintiva filosofía aristotélica de las matemáticas a la que dio expresión en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets . [1] Tras completar un doctorado en Illinois bajo la supervisión de Gaisi Takeuti , aceptó, en 1966, un puesto en el departamento de matemáticas de la Universidad de Bristol . Permaneció allí hasta su jubilación en 2004 como lector de matemáticas.
La filosofía de Mayberry rechaza la tradición platónica , que considera que las matemáticas son una ciencia trascendental que se ocupa de descubrir verdades sobre entidades objetivas inmateriales pero inteligibles, por considerarla metafísicamente pretenciosa. Esta postura lo distingue de lo que probablemente sea la opinión de la “mayoría silenciosa” entre los matemáticos en ejercicio. Roger Penrose expresa elocuentemente una postura platónica típica.
Por otra parte, Mayberry también rechaza vehementemente cualquier interpretación de las matemáticas contaminada, como él cree, por el operacionalismo. Escribe:
La más arquetípica y universalmente promulgada de estas doctrinas operacionalistas es la de que los números naturales pueden construirse comenzando con 1, sumando 1 para obtener 2, sumando 1 nuevamente para obtener 3 y continuando indefinidamente. Esto se expresa mediante la notación N = 1, 2, 3 ……. donde los puntos denotan la réplica indefinida de “sumar 1”. Al aceptar estos puntos de elipsis, uno acepta la inteligibilidad de la iteración indefinida. Mayberry no cree que una definición de este tipo sea lo suficientemente clara y lo suficientemente desenredada de intuiciones ingenuas y posiblemente equivocadas sobre la naturaleza del tiempo como para justificar su inclusión en las matemáticas sin mayor justificación. Escribe:
Su postura lo pone en desacuerdo no sólo con la práctica pedagógica de los últimos siglos, sino también con una tradición que se remonta a la antigüedad. En la Definición 4 del Libro V de sus Elementos , Euclides define dos magnitudes del mismo tipo, A y B, como “que guardan una razón entre sí” de la siguiente manera:
En otras palabras, si la adición repetida de uno de ellos, digamos A, a sí mismo da como resultado una magnitud que excede a la otra, digamos B, es decir, para algún número natural n , n A > B. Recíprocamente, A y B no tienen razón entre sí si la adición repetida indefinidamente de uno de ellos a sí mismo nunca produce una magnitud que exceda a la otra. En el Libro V, Euclides desarrolla una teoría general de proporciones y en el Libro VI demuestra el poder del concepto de proporción tanto para simplificar en gran medida las derivaciones dadas en los Libros I-IV como para ampliar el alcance de algunos de los teoremas de los Libros I-IV. Ejemplos particularmente notables son el Libro III Prop. 35, donde está inmediatamente disponible una prueba mucho más simple usando triángulos semejantes, y el Libro VI Prop. 31 donde extiende el teorema de Pitágoras de los cuadrados a las figuras semejantes generales.
En el Libro VII Euclides introduce, como otro tipo de magnitud junto a sus magnitudes geométricas de línea, ángulo y figura, el concepto de “arithmos”. Este debe entenderse como “una multitud de unidades”, donde una unidad es “aquello por lo que llamamos a algo un uno”. Con algunas reservas sobre el estatus de los singletons y el conjunto vacío, la noción griega de “arithmos” es, por lo tanto, esencialmente la noción moderna de “conjunto”. Mayberry señala que le impactó con la fuerza de una revelación que el significado de la Noción común 5 de Euclides, —“el todo es mayor que la parte”— cuando se aplica a arithmoi es que un arithmos no puede ser congruente, donde esta palabra se entiende siguiendo a Heath como “puede ser colocada con un ajuste exacto”, [6] a cualquier parte propia de sí mismo, o, en otras palabras, que un conjunto es finito en el sentido moderno de que no hay correspondencia uno a uno entre el conjunto y un subconjunto propio de sí mismo. El hecho de que la aritmética griega, y en particular los libros VII a IX de Euclides, sea en realidad el estudio de conjuntos finitos ha quedado oscurecido por la omnipresente traducción de “arithmos” como “número” y la transformación de la noción de número de su significado original “arithmos” a “ratio” que se produjo en el siglo XVII. La transformación de significado fue expresada claramente por Newton en sus Lecciones.
Las convicciones de Mayberry sobre la verdadera secuencia histórica de los acontecimientos en el desarrollo de los conceptos matemáticos clave son fundamentales para su orientación filosófica. Llegó a ellas a través de su lectura de "El pensamiento matemático griego y el origen del álgebra" de Jacob Klein [8] y de las memorias de Richard Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen" [9 ].
Desde mediados del siglo XVII hasta el siglo XIX, los números naturales y la noción de iteración ilimitada en la que se basan adquirieron un estatus fundamental en las matemáticas, tanto pragmática como filosóficamente. Desde el punto de vista filosófico, Kant clasificó las proposiciones aritméticas como conocimiento sintético a priori y, en paralelo con un análisis similar de los teoremas geométricos que atribuía a nuestra intuición del espacio, atribuyó su naturaleza vinculante a nuestra intuición del tiempo. La posición general de Kant con respecto a la aritmética recibió el respaldo de los más grandes matemáticos en ejercicio del siglo XIX. Incluso Gauss, aunque en desacuerdo con la posición de Kant sobre el estatus de la geometría, respaldó su posición sobre la aritmética.
Casi un siglo después, Poincaré escribe:
De las figuras significativas del siglo XIX, sólo Dedekind parece haberse opuesto al consenso kantiano. En Was sind und was sollen die Zahlen, escribe con frialdad:
Dedekind , a quien Mayberry admiraba mucho, demostró que los números naturales podían establecerse sin depender de una intuición kantiana del tiempo o de operaciones repetidas indefinidamente. Sin embargo, lo hizo sobre la base de una aceptación explícita del Axioma de Infinito de Cantor, que, como señala Mayberry, se entiende mejor como una simple contradicción de la Noción Común 5 de Euclides aplicada a la aritmética. Sin embargo, el trabajo de Dedekind no hizo que la opinión de que los números naturales y los procesos iterativos tienen un estatus fundacional especial perdiera crédito entre la mayoría de los matemáticos. El movimiento intuicionista , aunque compartía con Mayberry un rechazo a una comprensión platónica del significado de las matemáticas, recurrió a una comprensión operacionalista del tema, llevando la aceptación de procesos iterativos indefinidamente prolongados al corazón mismo de su pensamiento. El movimiento formalista, siguiendo el programa de Hilbert de salvar los frutos matemáticos del Axioma de Infinito de Cantor mediante pruebas de consistencia finitaria, asimismo, en las propias definiciones de los sistemas formales y el establecimiento de sus propiedades, concedió un estatus especial a la iteración indefinida y a las definiciones asociadas por recursión y a las pruebas por inducción.
La postura de Mayberry es que todo esto, desde el Libro V de Euclides, constituye una aberración respecto del verdadero espíritu de las matemáticas, tal como se ejemplifica en los Libros I a IV de Euclides. El propósito central de su libro es explicar su postura y mostrar que no es corrosiva para el contenido esencial ni para la práctica moderna de las matemáticas, sino que, en su recomendación de una comprensión aristotélica más clara de lo que son las matemáticas y del estándar de rigor apropiado para su comprensión más exigente del significado, sigue una tradición iniciada por Cantor de restaurar el significado de las matemáticas después de tres siglos de formalismo. Sin embargo, a los ojos de Mayberry, una doctrina moderna de inspiración platónica que sostiene que, por ejemplo, las clases adecuadas existen objetivamente es tan alejada del buen sentido y de la veracidad probable como, por ejemplo, la doctrina de inspiración formalista de principios del siglo XIX, el “ Principio de la equivalencia de las formas permanentes ” de Peacock. [13]
Las opiniones filosóficas positivas de Mayberry surgen de su decidida adhesión a un pequeño número de doctrinas filosóficas inspiradas en parte por Aristóteles y en parte por la reflexión sobre los casi dos milenios y medio de experiencia matemática, particularmente la del siglo XIX.
Es un realista aristotélico que coincide básicamente con la opinión de Aristóteles de que las matemáticas, y en particular el estudio de la aritmética, son una ciencia natural que ocupa su lugar junto a otras disciplinas científicas de interés especial, como la entomología o la ornitología, y que se ocupa de cosas de este mundo que existen objetivamente. Aristóteles escribe:
(Lo que Aristóteles quiere decir es que en geometría se tratan los tamaños específicos de los objetos concretos como accidentales e irrelevantes para el geómetra, y en aritmética se ignora de manera similar el hecho de que las unidades concretas (hombres, piedras, etc.) pueden, de hecho, ser divisibles.)
y en otros lugares:
La ciencia de la que se ocupa Mayberry es la aritmética, entendida tanto en una versión purificada del sentido que Euclides da a la palabra en los libros VII-IX, como también, como él afirma, en el sentido que Cantor le ha dado a la palabra. La primera de las posiciones centrales de Mayberry es el acuerdo con Aristóteles en que el aritmético estudia las cosas y ciertas pluralidades de cosas en cuanto unidades y arithmoi de una manera esencialmente análoga al estudio que hace el entomólogo de las cosas y ciertas pluralidades de cosas en cuanto insectos y colonias de insectos. Acepta la lapidaria definición de Euclides de “unidad”, y sólo objeta la traducción de Heath de “εκαστον των οντων” como “cada una de las cosas que existen”, por considerarla filosóficamente sobrecargada. En lo que respecta a la definición de “arithmos”, Mayberry antepondría crucialmente la palabra “multitud” en la definición de Euclides —“Un arithmos es una multitud compuesta de unidades”— con la palabra “definido”. Con esto quiere decir que los arithmoi tienen límites o fronteras definidas y objetivamente existentes, no en el sentido de que los arithmoi estén restringidos en tamaño o sean susceptibles de cualquier procedimiento operativo como el conteo, o comprendan exactamente aquellas cosas para las que se cumple alguna condición lingüísticamente formulada, sino sólo en el sentido de que es cierto de cualquier cosa individual que esté en el arithmos o no esté en él. En particular, la conformidad con la Noción común 5 (el todo mayor que la parte) no está implícita en el concepto mismo de “arithmos”, sino simplemente un juicio de que todos los arithmoi poseen, por así decirlo, esta propiedad. Para las pluralidades definidas por la conformidad con alguna condición o correspondencia con algún nombre común –por ejemplo, “arithmoi con más de tres unidades” o “caballos”– Mayberry usa la palabra aristotélica “especie”. Una especie existe simplemente porque podemos concebirla: no es una cosa objetiva en el mundo sino un pensamiento en nuestras cabezas, mientras que las cosas que caen dentro de una especie pueden o no coincidir con un arithmos. Observaciones similares se aplican a otras concepciones como la de “propiedad” –por ejemplo, la de ser un ordinal o “función global” –por ejemplo, los operadores de conjunto potencia y unión. Mayberry escribe:
La segunda de las doctrinas filosóficas centrales de Mayberry es que las cosas y los arithmoi de las cosas existen objetivamente y son parte del tejido de la realidad externa. Las credenciales ontológicas de un arithmos son exactamente las de sus unidades constituyentes. Sin embargo, no es tarea del matemático investigar o especular si las cosas que caen dentro de una especie –como las nubes en el cielo, los tonos de rojo, los estados emocionales humanos, los hombres del siglo XXII– están suficientemente claramente individualizadas para constituir unidades de posibles arithmoi o si los límites de las pluralidades de cosas –por ejemplo, ¿deberíamos contar a los centauros y las sirenas como pertenecientes a la especie “género humano”? ¿Está exactamente determinado cuándo terminan los tonos de rojo y comienzan los tonos de púrpura?– están suficientemente claramente delineados como para constituir un arithmos. El trabajo del aritmético puede comenzar con la simple suposición de que existen cosas objetivas claramente individualizadas que puede tomar como unidades y pluralidades definidas de tales cosas que puede tomar como arithmoi. Mayberry escribe:
y, un poco más adelante:
La tercera de las doctrinas filosóficas centrales de Mayberry es que las definiciones hechas, las propiedades definidas y los argumentos construidos utilizando los cuantificadores “Para todo” y “Existe” sólo son inteligibles, como enunciados de hechos objetivos, si el alcance de cada cuantificador se restringe a un arithmos definido. Así, por ejemplo, si estamos tratando con niñas, en cuanto unidades, y sabemos cómo comparar dos niñas con respecto a la propiedad “inteligente”, podemos decir sensatamente “Joan es la niña más inteligente de su clase”, pero no “Joan es la niña más inteligente” tout court, ya que la última afirmación pretende cuantificar sobre todas las cosas que caen dentro de la especie “niña”. Esta postura le da una razón adicional para rechazar las pretensiones fundacionales de los dos sistemas axiomáticos clásicos de primer orden de la aritmética de Peano y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. No sólo se opone al operacionalismo inherente a la construcción misma de tales sistemas formales, sino que ahora también rechaza la inteligibilidad del libre uso de cuantificadores sin restricciones en la formación de predicados en los esquemas axiomáticos de inducción y reemplazo.
La cuarta doctrina central de Mayberry está conectada con la tercera. Afirma que al tratar con unidades y aritméticas (es decir, con cosas) podemos usar sin problemas la lógica clásica, mientras que al tratar con pensamientos (como especies, funciones globales, propiedades de construcciones generales, etc.) la lógica apropiada es la intuicionista. En particular, si sabemos que la suposición "Todos los miembros de la aritmética a poseen la propiedad P" implica un absurdo, entonces podemos inferir legítimamente "existe algún miembro de a, x, para el cual P(x) no se cumple". Sin embargo, si hacemos una afirmación usando un cuantificador sobre una especie, por ejemplo "existe algo que posee P" o "P se cumple para todas las cosas", ya no estamos informando de un hecho objetivo que debe ser el caso o no. El afirmador de tal afirmación debe ser entendido como quien afirma que tiene en mente una justificación de la misma –es decir, en el caso de un cuantificador universal, fundamentos para creer que dada cualquier cosa concebible, P se cumple de ella, o en el caso de un cuantificador existencial, conoce una instancia de la especie para la cual P se cumple. Dado que las afirmaciones que incorporan cuantificadores no restringidos deben ser entendidas subjetivamente, es claro que el principio del tercero excluido simplemente no es válido. Por ejemplo, si el significado de “Para todas las cosas se cumple P” es “Tengo en mente una construcción general para producir para cada cosa un argumento de que P se cumple de esa cosa” y el significado de “existe una cosa para la cual P no se cumple” es “Tengo en mente una construcción para producir una cosa para la cual P no se cumple”, entonces no puedo necesariamente afirmar que la disyunción es verdadera ya que, por ejemplo, puedo no tener ninguna construcción en mente. Sobre este tema Mayberry escribe:
La quinta doctrina central de Mayberry es que, en analogía amplia con los postulados de Euclides para la geometría, se pueden establecer postulados para la aritmética, lo que hace que un bien sea un defecto en los Elementos que, contrariamente a las expectativas creadas por la estructura Nociones comunes y postulados para la geometría, no contienen ningún postulado de ese tipo. Mayberry lleva a cabo este programa en el capítulo 4 de su libro. Sus postulados siguen, en cierta medida a Euclides en la forma, pero las ideas axiomáticas sobre conjuntos que surgieron a partir de los siglos XIX y principios del XX, en contenido. En términos generales, análogos a los postulados de Euclides sobre la construcción de un círculo dado un punto y una línea o la construcción de una línea recta única dados dos puntos son los postulados relacionados con la unión, el conjunto de potencias y el producto cartesiano, que postulan construcciones globales que producen nuevas aritméticas a partir de una o más dadas. Sin embargo, algo diferentes son sus postulados sobre el reemplazo y la comprensión. En ellos no se proponen construcciones individuales que simplemente se deban comprender, sino que se hacen afirmaciones sobre todas las construcciones posibles y todas las propiedades concebibles. En cierto sentido, se puede entender que afirman la existencia de puentes generales entre los pensamientos y las cosas. Sin embargo, ambos postulados, al igual que los relativos a construcciones específicas, pueden entenderse como "principios de finitud" que afirman la existencia de nuevos arithmoi. El Euclides "corregido" de Mayberry sustentaría así las disciplinas hermanas de la geometría y la aritmética con nociones comunes, aplicables a ambas, complementadas con dos conjuntos de postulados, uno para cada disciplina. De hecho, en la medida en que la geometría se basa en la noción de arithmos -lo hace incluso al definir triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc., pero de manera más exigente en algunas proposiciones, por ejemplo, el Libro VI, Proposición 31, que hacen afirmaciones sobre polígonos generales-, el Euclides "corregido" colocaría el estudio de los arithmoi antes que el de la geometría.
El último punto de la filosofía central de Mayberry es su creencia de que, al no reconocer Euclides la fuerza de la Noción común 5 (aplicada a la aritmética), se perdió una gran oportunidad histórica y, al permitirse la definición por iteración, se cometió un enorme error cuyas consecuencias se han ramificado a lo largo de la historia de las matemáticas. Equipado con una apreciación adecuada de la Noción común 5 y evitando la iteración, un Euclides "corregido" habría abordado aquellas partes de las matemáticas que se ocupan de lo finito (además del modesto contenido real de los libros 7 a 9, la teoría de los números naturales, la combinatoria finita, la teoría de los grupos y campos finitos y, de manera más general, el estudio de las estructuras finitas). Mayberry llama a esta materia Aritmética euclidiana y dedica una parte considerable de su libro a desarrollar sus fundamentos. Se preocupa en particular de establecer hasta qué punto están justificadas la prueba por inducción y la definición por recursión . Mayberry muestra que, lejos de ser una reelaboración menor de la teoría moderna de los números naturales, en realidad no se puede establecer ninguna noción viable de los números naturales en la aritmética euclidiana. Complementando su visión de la aritmética euclidiana, Mayberry sostiene que, así como se crearon geometrías alternativas al negar el axioma de las paralelas de Euclides, se crea una aritmética alternativa al negar la Noción común 5 y afirmar la existencia de al menos una aritmética para la cual el todo se puede poner en correspondencia biunívoca con una parte. Esta teoría, que Mayberry preferiría llamar aritmética cantoriana, es, por supuesto, la teoría de conjuntos moderna, que ha demostrado ser capaz (podría decirse) de subsumir todas las matemáticas y en particular la geometría que, en la dispensación euclidiana de adhesión a la Noción común 5, es una disciplina hermana separada de la aritmética.
La filosofía de Mayberry pretende imponer un nuevo estándar, que se derive de sus convicciones ontológicas y semánticas, de claridad y rigor en las matemáticas, que se lograría en primera instancia mediante un programa de separación sistemática de las matemáticas euclidianas y cantorianas. En el caso euclidiano, este estándar exigiría a los practicantes tanto de la geometría como de la aritmética evitar todo recurso a los procesos iterativos. El consiguiente desafío más inmediato en geometría es “corregir” a Euclides estableciendo los teoremas del Libro VI sobre la base de los métodos y técnicas de los Libros I-IV, evitando el uso del concepto de proporción introducido en el Libro V. Para la aritmética, el desafío correspondiente es establecer los resultados de los Libros VII-IX sin recurrir al tipo de procedimiento iterativo que Euclides se permite en la definición de la multiplicación. (Libro VII, Definición 15.) Para la Aritmética Cantoriana el principal desafío sería mostrar que el gran cuerpo de las matemáticas infinitarias —las disciplinas que fluyen de una manera u otra del cálculo— no requiere cuantificadores ilimitados y, en consecuencia, que las instancias del Esquema de Reemplazo de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos que involucran tales cuantificadores, además de estar rechazadas por la filosofía general de Mayberry, son en todo caso técnicamente redundantes.