El principio de Hume o HP dice que el número de F es igual al número de G si y solo si hay una correspondencia biyección entre las F y las G. El HP puede enunciarse formalmente en sistemas de lógica de segundo orden . El principio de Hume recibe su nombre del filósofo escocés David Hume y fue acuñado por George Boolos .
El teorema de Frege desempeña un papel central en la filosofía de las matemáticas de Gottlob Frege . Frege demuestra que el teorema de Frege y las definiciones adecuadas de las nociones aritméticas implican todos los axiomas de lo que hoy llamamos aritmética de segundo orden . Este resultado se conoce como el teorema de Frege , que es la base de una filosofía de las matemáticas conocida como neologicismo .
El principio de Hume aparece en Fundamentos de aritmética de Frege (§63), [1] que cita la Parte III del Libro I del Tratado de la naturaleza humana de David Hume (1740). Hume establece allí siete relaciones fundamentales entre ideas. Con respecto a una de ellas, la proporción en cantidad o número , Hume argumenta que nuestro razonamiento sobre la proporción en cantidad, tal como se representa en la geometría , nunca puede alcanzar "precisión y exactitud perfectas", ya que sus principios se derivan de la apariencia sensorial. Contrasta esto con el razonamiento sobre números o aritmética , en los que se puede alcanzar tal precisión :
El álgebra y la aritmética son las únicas ciencias en las que podemos llevar a cabo una cadena de razonamientos con cierto grado de complejidad y, sin embargo, conservar una exactitud y una certeza perfectas. Disponemos de un patrón preciso mediante el cual podemos juzgar la igualdad y proporción de los números; y según correspondan o no a ese patrón, determinamos sus relaciones sin posibilidad alguna de error. Cuando dos números se combinan de tal manera que uno tiene siempre una unidad que corresponde a cada unidad del otro, los declaramos iguales ; y es a falta de tal patrón de igualdad en la extensión [espacial] que la geometría difícilmente puede considerarse una ciencia perfecta e infalible. (I. III. I.) [2]
Obsérvese el uso que hace Hume de la palabra número en el sentido antiguo, para significar un conjunto o colección de cosas en lugar de la noción moderna común de "número entero positivo". La noción griega antigua de número ( arithmos ) es la de una pluralidad finita compuesta de unidades. Véase Aristóteles , Metafísica , 1020a14 y Euclides , Elementos , Libro VII, Definición 1 y 2. El contraste entre la concepción antigua y la moderna del número se analiza en detalle en Mayberry (2000).
El principio de que los números cardinales debían caracterizarse en términos de correspondencia biunívoca había sido utilizado previamente por Georg Cantor , cuyos escritos Frege conocía. Por ello se ha sugerido que el principio de Hume debería llamarse mejor "Principio de Cantor" o "Principio de Hume-Cantor". Pero Frege criticó a Cantor sobre la base de que Cantor define los números cardinales en términos de números ordinales , mientras que Frege quería dar una caracterización de los cardinales que fuera independiente de los ordinales. El punto de vista de Cantor, sin embargo, es el que está arraigado en las teorías contemporáneas de los números transfinitos , tal como se desarrolló en la teoría de conjuntos axiomáticos .
§63. Ein solches Mittel nennt schon Hume: »Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.«