La conjetura de Goldbach

Números enteros pares como sumas de dos primos

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas sin resolver más antiguos y conocidos de la teoría de números y de todas las matemáticas . Afirma que todo número natural par mayor que 2 es la suma de dos números primos .

Se ha demostrado que la conjetura es válida para todos los números enteros menores que4 × 10 ¹⁸ pero aún no ha sido probado a pesar del considerable esfuerzo.

Historia

Orígenes

El 7 de junio de 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII), ^[2] en la que proponía la siguiente conjetura:

dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum
Todo número entero que pueda escribirse como la suma de dos números primos puede También puede escribirse como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean unidades.

Goldbach estaba siguiendo la convención ahora abandonada de considerar 1 como un número primo , ^[3] de modo que una suma de unidades sería una suma de primos. Luego propuso una segunda conjetura al margen de su carta, que implica la primera: ^[4]

... eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
Todo número entero mayor que 2 se puede escribir como la suma de tres números primos.

Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 ^[5] y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido (" ... so Ew vormals mit mir communicirt haben... "), en la que Goldbach había comentado que el primero de esos dos conjeturas se derivarían de la afirmación

Todo número par positivo se puede escribir como la suma de dos números primos.

De hecho, esto es equivalente a su segunda conjetura marginal. En la carta de 30 de junio de 1742, Euler afirmó: ^{[6] [7]}

Dass... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses teorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
Que... todo número par es una suma de dos primos, lo considero un teorema completamente seguro, aunque no puedo demostrarlo.

Resultados parciales

La conjetura fuerte de Goldbach es mucho más difícil que la conjetura débil de Goldbach . Utilizando el método de Vinogradov, Nikolai Chudakov , ^[8] Johannes van der Corput , ^[9] y Theodor Estermann ^[10] demostraron que casi todos los números pares pueden escribirse como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números pares hasta a algún N que pueda escribirse de esta manera tiende hacia 1 a medida que N aumenta). En 1930, Lev Schnirelmann demostró que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos, donde C es una constante efectivamente computable; ver densidad de Schnirelmann . ^{[11] [12]} La constante de Schnirelmann es el número C más bajo con esta propiedad. El propio Schnirelmann obtuvo C <800 000 . Este resultado fue posteriormente reforzado por numerosos autores, como Olivier Ramaré , que en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es en realidad la suma de como máximo 6 números primos. El resultado más conocido actualmente proviene de la prueba de la conjetura débil de Goldbach realizada por Harald Helfgott , ^[13] que implica directamente que todo número par n ≥ 4 es la suma de como máximo 4 primos. ^{[14] [15]}

En 1924, Hardy y Littlewood demostraron, bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann , que el número de números pares hasta X que violan la conjetura de Goldbach es mucho menor que X ^{1 ⁄ 2 + c} para c pequeña . ^[dieciséis]

En 1948, utilizando métodos de la teoría del tamiz , Alfréd Rényi demostró que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de un primo y un casi primo con como máximo K factores. ^[17] Chen Jingrun demostró en 1973 utilizando la teoría del tamiz que cada número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de dos primos o de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^[18] Véase el teorema de Chen para obtener más información.

En 1975, Hugh Lowell Montgomery y Bob Vaughan demostraron que "la mayoría" de los números pares se pueden expresar como la suma de dos primos. Más precisamente, demostraron que existen constantes positivas c y C tales que para todos los números suficientemente grandes N , cada número par menor que N es la suma de dos primos, con como máximo CN ^{1 − c} excepciones. En particular, el conjunto de los números enteros pares que no son suma de dos primos tiene densidad cero.

En 1951, Yuri Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos y como máximo K potencias de 2. János Pintz e Imre Ruzsa descubrieron en 2020 que K = 8 funciona. ^[19] Suponiendo la hipótesis de Riemann generalizada , K = 7 también funciona, como lo demostraron Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002. ^[20]

Harald Helfgott presentó en 2013 una prueba de la conjetura débil a la serie Annals of Mathematics Studies . Aunque el artículo fue aceptado, Helfgott decidió realizar las principales modificaciones sugeridas por el árbitro. A pesar de varias revisiones, la prueba de Helfgott aún no ha aparecido en una publicación revisada por pares. ^{[21] [22] [23]} La conjetura débil está implícita en la conjetura fuerte, como si n − 3 fuera una suma de dos primos, entonces n es una suma de tres primos. Sin embargo, la implicación inversa y, por tanto, la fuerte conjetura de Goldbach seguirían sin demostrarse si la prueba de Helfgott es correcta.

Resultados computacionales

Para valores pequeños de n , la conjetura fuerte de Goldbach (y por tanto la conjetura débil de Goldbach) se puede verificar directamente. Por ejemplo, en 1938, Nils Pipping verificó laboriosamente la conjetura hasta n =100 000 . ^[24] Con la llegada de las computadoras,se han verificado muchos más valores de n ; T. Oliveira e Silva realizó una búsqueda informática distribuida que verificó la conjetura para n ≤4 × 10 ¹⁸ (y verificado dos veces hasta4 × 10 ¹⁷ ) a partir de 2013. Un registro de esta búsqueda es que3 325 581 707 333 960 528 es el número más pequeño que no se puede escribir como suma de dos primos donde uno es menor que 9781. ^[25]

Cully-Hugill y Dudek prueban ^[26] un resultado (parcial y condicional) de la hipótesis de Riemann: existe una suma de dos primos impares en el intervalo (x, x + 9696 log^2 x] para todo x ≥ 2.

En la cultura popular

La conjetura de Goldbach ( chino :哥德巴赫猜想) es el título de la biografía del matemático y teórico de números chino Chen Jingrun , escrita por Xu Chi .

La conjetura es un punto central en la trama de la novela de 1992 El tío Petros y la conjetura de Goldbach del autor griego Apostolos Doxiadis , en el cuento " Sesenta millones de billones de combinaciones " de Isaac Asimov y también en la novela de misterio de 2008 Nadie que conozcas de Michelle. Richmond . ^[27]

La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española de 2007 La habitación de Fermat .

La conjetura de Goldbach aparece como el tema principal de investigación del personaje de Marguerite de la actriz Ella Rumpf en la película franco-suiza de 2023 El teorema de Marguerite . ^[28]

Declaración formal

Cada una de las tres conjeturas tiene un análogo natural en términos de la definición moderna de primo, según la cual 1 está excluido. Una versión moderna de la primera conjetura es:

Todo número entero que se puede escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean dos (si el número entero es par) o un término sea tres y todos los demás términos sean dos (si el número entero es impar).

Una versión moderna de la conjetura marginal es:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

Y una versión moderna de la antigua conjetura de Goldbach que Euler le recordó es:

Todo número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.

Es posible que estas versiones modernas no sean completamente equivalentes a las declaraciones originales correspondientes. Por ejemplo, si hubiera un número entero par N = p + 1 mayor que 4, para p un primo, que no pudiera expresarse como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraejemplo de la versión moderna de la tercera conjetura (sin ser un contraejemplo de la versión original). Por lo tanto, la versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmar eso, uno tendría que demostrar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero par positivo n , no podría descartar la existencia de un contraejemplo tan específico N ). En cualquier caso, las declaraciones modernas tienen las mismas relaciones entre sí que las declaraciones más antiguas. Es decir, la segunda y la tercera afirmación moderna son equivalentes y cualquiera de ellas implica la primera afirmación moderna.

La tercera afirmación moderna (equivalente a la segunda) es la forma en que se suele expresar la conjetura hoy en día. También se la conoce como conjetura de Goldbach " fuerte ", "par" o "binaria". Una forma más débil de la segunda afirmación moderna, conocida como " conjetura débil de Goldbach ", la "conjetura extraña de Goldbach" o la "conjetura ternaria de Goldbach", afirma que

Todo número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.

Justificación heurística

Sumas de dos primos en las intersecciones de tres rectas

Las consideraciones estadísticas que se centran en la distribución probabilística de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en la forma débil como en la fuerte) para números enteros suficientemente grandes : cuanto mayor es el número entero, más formas hay disponibles para representar ese número. como la suma de otros dos o tres números, y más "probable" resulta que al menos una de estas representaciones esté compuesta enteramente de números primos.

Número de formas de escribir un número par n como suma de dos primos (secuencia A002375 en la OEIS )

Una versión muy cruda del argumento probabilístico heurístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente. El teorema de los números primos afirma que un número entero m seleccionado al azar tiene aproximadamente un1/en mprobabilidad de ser primo. Por lo tanto, si n es un número entero par grande y m es un número entre 3 ynorte/2, entonces uno podría esperar que la probabilidad de que m y n − m sean primos simultáneamente sea1/ln metro ln( norte − metro ). Si se sigue esta heurística, se podría esperar que el número total de formas de escribir un entero par grande n como la suma de dos primos impares sea aproximadamente

${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$

Dado que ln n ≪ √ n , esta cantidad tiende al infinito a medida que n aumenta, y uno esperaría que cada número entero par grande tenga no solo una representación como suma de dos primos, sino, de hecho, muchas representaciones similares.

Este argumento heurístico es en realidad algo inexacto porque supone que los eventos en los que m y n − m son primos son estadísticamente independientes entre sí. Por ejemplo, si m es impar, entonces n − m también es impar, y si m es par, entonces n − m es par, una relación no trivial porque, además del número 2, sólo los números impares pueden ser primos. De manera similar, si n es divisible por 3 y m ya era primo distinto de 3, entonces n − m también sería coprimo de 3 y, por lo tanto, sería ligeramente más probable que fuera primo que un número general. Siguiendo este tipo de análisis más cuidadosamente, GH Hardy y John Edensor Littlewood conjeturaron en 1923 (como parte de su conjetura de la tupla prima de Hardy-Littlewood ) que para cualquier c ≥ 2 fijo , el número de representaciones de un entero grande n como la suma de c primos n = p ₁ + ⋯ + p _c con p ₁ ≤ ⋯ ≤ p _c debe ser asintóticamente igual a

${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$

donde el producto es sobre todos los primos p , y γ _{c , p} ( n ) es el número de soluciones de la ecuación n = q ₁ + ⋯ + q _c mod p en aritmética modular , sujeta a las restricciones q ₁ ,…, q _c ≠ 0 mod p . Se ha demostrado rigurosamente que esta fórmula es asintóticamente válida para c ≥ 3 a partir del trabajo de Ivan Matveevich Vinogradov , pero sigue siendo sólo una conjetura cuando c = 2 . ^{[ cita necesaria ]} En el último caso, la fórmula anterior se simplifica a 0 cuando n es impar, y a

${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

cuando n es par, donde Π ₂ es la constante prima gemela de Hardy-Littlewood

${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$

Esto a veces se conoce como la conjetura extendida de Goldbach . De hecho, la conjetura fuerte de Goldbach es muy similar a la conjetura de los primos gemelos , y se cree que ambas conjeturas tienen una dificultad más o menos comparable.

el cometa de Goldbach; Los puntos rojo, azul y verde corresponden respectivamente a los valores 0, 1 y 2 módulo 3 del número.

La función de partición de Goldbach es la función que asocia a cada número entero par el número de formas en que puede descomponerse en una suma de dos números primos. Su gráfica parece la de un cometa y por eso se llama cometa de Goldbach . ^[29]

El cometa de Goldbach sugiere límites superiores e inferiores estrictos para el número de representaciones de un número par como suma de dos primos, y también que el número de estas representaciones depende en gran medida del valor módulo 3 del número.

Problemas relacionados

Aunque la conjetura de Goldbach implica que cada entero positivo mayor que uno puede escribirse como una suma de como máximo tres números primos, no siempre es posible encontrar dicha suma usando un algoritmo codicioso que utilice el número primo más grande posible en cada paso. La secuencia Pillai rastrea los números que requieren la mayor cantidad de números primos en sus codiciosas representaciones. ^[30]

Existen problemas similares a la conjetura de Goldbach en los que los primos son reemplazados por otros conjuntos particulares de números, como los cuadrados:

• Lagrange demostró que todo número entero positivo es la suma de cuatro cuadrados . Véase el problema de Waring y el problema relacionado de Waring-Goldbach sobre sumas de potencias de números primos.
• Hardy y Littlewood enumeraron como su Conjetura I: "Todo número impar grande ( n > 5 ) es la suma de un primo y el doble de un primo". ^[31] Esta conjetura se conoce como conjetura de Lemoine y también se llama conjetura de Levy .
• La conjetura de Goldbach para los números prácticos , una secuencia de números enteros primos, fue establecida por Margenstern en 1984, ^[32] y probada por Melfi en 1996: ^[33] cada número par es una suma de dos números prácticos.
• Harvey Dubner propuso un fortalecimiento de la conjetura de Goldbach que establece que todo número par mayor que 4208 es la suma de dos primos gemelos (no necesariamente pertenecientes al mismo par). ^{[34] [ se necesita una mejor fuente ]} Sólo 34 números enteros pares menores que 4208 no son la suma de dos primos gemelos; Dubner ha verificado computacionalmente que esta lista está completa hasta ^{[35] [ verificación necesaria ]} Una prueba de esta conjetura más fuerte no sólo implicaría la conjetura de Goldbach, sino también la conjetura de los primos gemelos . ${\displaystyle 2\cdot 10^{10}.}$

Referencias

1. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Banda 1), San Petersburgo 1843, págs.
2. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
3. Weisstein, Eric W. "Conjetura de Goldbach". MundoMatemático .
4. En la versión impresa publicada por P. H. Fuss [1] 2 está mal impreso como 1 en la conjetura marginal.
5. http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
6. Ingham, AE "Conferencias populares" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 16 de junio de 2003 . Consultado el 23 de septiembre de 2009 .
7. Caldwell, Chris (2008). "La conjetura de Goldbach" . Consultado el 13 de agosto de 2008 .
8. Chudakov, Nikolai G. (1937). " О проблеме Гольдбаха " [Sobre el problema de Goldbach]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 17 : 335–338.
9. Van der Corput, JG (1938). "Sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF) . Proc. Akád. Húmedo. Ámsterdam (en francés). 41 : 76–80.
10. Estermann, T. (1938). "Sobre el problema de Goldbach: prueba de que casi todos los números enteros pares positivos son sumas de dos primos". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 2. 44 : 307–314. doi :10.1112/plms/s2-44.4.307.
11. Schnirelmann, LG (1930). "Sobre las propiedades aditivas de los números", publicado por primera vez en "Actas del Instituto Politécnico Don en Novocherkassk" (en ruso), vol 14 (1930), págs. 3 a 27, y reimpreso en "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (en ruso ), 1939, núm. 6, 9–25.
12. Schnirelmann, LG (1933). Publicado por primera vez como "Über aditivo Eigenschaften von Zahlen" en " Mathematische Annalen " (en alemán), vol. 107 (1933), 649–690, y reimpreso como "Sobre las propiedades aditivas de los números" en "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (en ruso), 1940, núm. 7, 7–46.
13. Helfgott, HA (2013). "La conjetura ternaria de Goldbach es cierta". arXiv : 1312.7748 [matemáticas.NT].
14. Sinisalo, Matti K. (octubre de 1993). "Comprobación de la conjetura de Goldbach hasta 4 ⋅ 1011" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 61 (204). Sociedad Estadounidense de Matemáticas: 931–934. CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . doi :10.2307/2153264. JSTOR  2153264. 
15. Rassias, M. Th. (2017). El problema de Goldbach: temas seleccionados . Saltador.
16. Véase, por ejemplo, Una nueva fórmula explícita en la teoría aditiva de los primos con aplicaciones I. La fórmula explícita para los problemas de Goldbach y los primos gemelos generalizados de Janos Pintz.
17. Rényi, AA (1948). "Sobre la representación de un número par como suma de un primo y un casi primo". Izvestiya Akademii Nauk SSSR Seriya Matematicheskaya (en ruso). 12 : 57–78.
18. Chen, JR (1973). "Sobre la representación de un número entero par mayor como la suma de un primo y el producto de como máximo dos primos". Ciencia. Sínica . 16 : 157-176.
19. Pintz, J .; Ruzsa, IZ (01 de agosto de 2020). "Sobre la aproximación de Linnik al problema de Goldbach. II". Acta Mathematica Hungarica . 161 (2): 569–582. doi :10.1007/s10474-020-01077-8. ISSN  1588-2632. S2CID  54613256.
20. Heath-Brown, DR; Puchta, JC (2002). "Los números enteros representados como suma de números primos y potencias de dos". Revista asiática de matemáticas . 6 (3): 535–565. arXiv : math.NT/0201299 . Código Bib :2002matemáticas......1299H. doi :10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7. S2CID  2843509.
21. Helfgott, HA (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [matemáticas.NT].
22. Helfgott, HA (2012). "Arcos menores para el problema de Goldbach". arXiv : 1205.5252 [matemáticas.NT].
23. "Harald Andrés Helfgott". Instituto de Matemáticas de Jussieu-Paris Rive Gauche . Consultado el 6 de abril de 2021 .
24. Pipping, Nils (1890-1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". Acta Acad. Aboensis, Matemáticas. Física. 11, 4-25, 1938.
25. Tomás Oliveira e Silva, verificación de la conjetura de Goldbach. Consultado el 20 de abril de 2024.
26. Michaela Cully-Hugill y Adrian W. Dudek, una estimación explícita del valor medio del PNT en intervalos
27. "MathFiction: nadie que conozcas (Michelle Richmond)". kasmana.people.cofc.edu .
28. Odile Morain Le Théorème de Marguerite, en franciainfo:cultura
29. Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S. (1989). "El cometa de Goldbach: los números relacionados con la conjetura de Goldbach". Revista de Matemáticas Recreativas . 21 (1): 1–7.
30. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A066352 (secuencia de Pillai)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
31. Revista de Matemáticas , 66:1 (1993): 45–47.
32. Margenstern, M. (1984). "Resultados y conjeturas sobre números prácticos". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 299 : 895–898.
33. Melfi, G. (1996). "Sobre dos conjeturas sobre números prácticos". Revista de teoría de números . 56 : 205-210. doi : 10.1006/junio.1996.0012 .
34. "CONJECTURAS PRIMAS GEMELAS" (PDF) . oeis.org .
35. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A007534 (Números pares que no son la suma de un par de primos gemelos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.

Otras lecturas

• Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H.; Zinoviev, D. (1997). "Un teorema completo de los 3 primos de Vinogradov bajo la hipótesis de Riemann" (PDF) . Anuncios electrónicos de investigación de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas . 3 (15): 99-104. doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 .
• Montgomery, HL; Vaughan, RC (1975). «El conjunto excepcional en el problema de Goldbach» (PDF) . Acta Aritmética . 27 : 353–370. doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 .
• Terence Tao demostró que todos los números impares son como máximo la suma de cinco primos.
• Conjetura de Goldbach en MathWorld .

enlaces externos

• Medios relacionados con la conjetura de Goldbach en Wikimedia Commons
• "Problema de Goldbach", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Carta original de Goldbach a Euler - formato PDF (en alemán y latín)
• La conjetura de Goldbach, parte de Prime Pages de Chris Caldwell .
• Verificación de la conjetura de Goldbach, búsqueda informática distribuida de Tomás Oliveira e Silva.