Los problemas de Hilbert son 23 problemas de matemáticas publicados por el matemático alemán David Hilbert en 1900. Todos estaban sin resolver en ese momento y varios demostraron ser muy influyentes para las matemáticas del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia de París del Congreso Internacional de Matemáticos , hablando el 8 de agosto en la Sorbona . La lista completa de 23 problemas fue publicada posteriormente, en traducción al inglés en 1902 por Mary Frances Winston Newson en el Bulletin of the American Mathematical Society . [1] Publicaciones anteriores (en el original alemán) aparecieron en Archiv der Mathematik und Physik . [2]
1. El problema de Cantor del número cardinal del continuo.
2. La compatibilidad de los axiomas aritméticos.
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de iguales bases e iguales altitudes.
4. Problema de la recta como distancia más corta entre dos puntos.
5. El concepto de Lie de un grupo continuo de transformaciones sin el supuesto de diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Tratamiento matemático de los axiomas de la física.
7. Irracionalidad y trascendencia de determinados números.
8. Problemas de números primos (La "Hipótesis de Riemann").
9. Prueba de la ley de reciprocidad más general en cualquier campo numérico.
10. Determinación de la solubilidad de una ecuación diofántica.
11. Formas cuadráticas con cualquier coeficiente numérico algebraico.
12. Extensiones del teorema de Kronecker sobre campos abelianos a cualquier ámbito algebraico de racionalidad
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de 7º grado mediante funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamento riguroso del cálculo enumerativo de Schubert.
16. Problema de topología de curvas y superficies algebraicas.
17. Expresión de formas definidas mediante cuadrados.
18. Construcción de espacio a partir de poliedros congruentes.
19. ¿Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre necesariamente analíticas?
20. El problema general de los valores en la frontera (Problemas de valores en la frontera en PDE).
21. Prueba de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodromía prescrito.
22. Uniformización de relaciones analíticas mediante funciones automorfas.
23. Mayor desarrollo de los métodos del cálculo de variaciones.
Naturaleza e influencia de los problemas.
Los problemas de Hilbert variaban mucho en tema y precisión. Algunos de ellos, como el tercer problema, que fue el primero en resolverse, o el octavo problema (la hipótesis de Riemann ), que aún sigue sin resolverse, se presentaron con la suficiente precisión como para permitir una respuesta clara, afirmativa o negativa. Para otros problemas, como el quinto, los expertos tradicionalmente han acordado una interpretación única y se ha dado una solución a la interpretación aceptada, pero existen problemas sin resolver estrechamente relacionados. Algunas de las declaraciones de Hilbert no fueron lo suficientemente precisas como para especificar un problema particular, pero fueron lo suficientemente sugerentes como para que ciertos problemas de naturaleza contemporánea parezcan aplicables; por ejemplo, la mayoría de los teóricos de números modernos probablemente considerarían que el noveno problema se refiere a la correspondencia conjetural de Langlands en representaciones del grupo absoluto de Galois de un campo numérico . [3] Otros problemas más, como el 11 y el 16, se refieren a lo que ahora son subdisciplinas matemáticas florecientes, como las teorías de formas cuadráticas y curvas algebraicas reales .
Hay dos problemas que no sólo no están resueltos sino que, de hecho, pueden no tener solución según los estándares modernos. El sexto problema se refiere a la axiomatización de la física , un objetivo que los acontecimientos del siglo XX parecen volver más remoto y menos importante que en la época de Hilbert. Además, el cuarto problema se refiere a los fundamentos de la geometría , de una manera que ahora se considera generalmente demasiado vaga para permitir una respuesta definitiva.
Hilbert planteó intencionalmente el problema número 23 como una indicación general para resaltar el cálculo de variaciones como un campo subestimado y poco estudiado. En la conferencia que presentó estos problemas, Hilbert hizo la siguiente observación introductoria al problema número 23:
"Hasta ahora he mencionado en general problemas tan definidos y especiales como sea posible, en la opinión de que son precisamente esos problemas definidos y especiales los que más nos atraen y desde los cuales a menudo se ejerce la influencia más duradera sobre la ciencia. Sin embargo, debo Me gustaría terminar con un problema general, concretamente con la indicación de una rama de las matemáticas mencionada repetidamente en esta conferencia, que, a pesar de los considerables avances que le ha dado últimamente Weierstrass, no recibe la apreciación general que, en mi opinión, es necesaria. es debido... me refiero al cálculo de variaciones."
Los otros 21 problemas han recibido atención significativa y, a finales del siglo XX, el trabajo sobre estos problemas todavía se consideraba de la mayor importancia. Paul Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su trabajo en el primer problema, y la solución negativa del décimo problema en 1970 por parte de Yuri Matiyasevich (que completó el trabajo de Julia Robinson , Hilary Putnam y Martin Davis ) generó un reconocimiento similar. Algunos aspectos de estos problemas siguen siendo de gran interés hoy en día.
ignorante
Siguiendo a Gottlob Frege y Bertrand Russell , Hilbert buscó definir las matemáticas lógicamente utilizando el método de los sistemas formales , es decir, pruebas finitistas a partir de un conjunto acordado de axiomas . [4] Uno de los objetivos principales del programa de Hilbert era una prueba finitista de la consistencia de los axiomas de la aritmética: ese es su segundo problema. [a]
Sin embargo, el segundo teorema de incompletitud de Gödel da un sentido preciso en el que una prueba tan finitista de la consistencia de la aritmética es demostrablemente imposible. Hilbert vivió 12 años después de que Kurt Gödel publicara su teorema, pero no parece haber escrito ninguna respuesta formal al trabajo de Gödel. [antes de Cristo ]
El décimo problema de Hilbert no pregunta si existe un algoritmo para decidir la solubilidad de las ecuaciones diofánticas , sino más bien pide la construcción de tal algoritmo: "idear un proceso según el cual pueda determinarse en un número finito de operaciones si las La ecuación se puede resolver en números enteros racionales ". Que este problema se resolviera demostrando que no puede existir tal algoritmo contradecía la filosofía de las matemáticas de Hilbert.
Al discutir su opinión de que todo problema matemático debería tener una solución, Hilbert admite la posibilidad de que la solución pueda ser una prueba de que el problema original es imposible. [d] Afirmó que la cuestión es saber de una forma u otra cuál es la solución, y creía que siempre podemos saber esto, que en matemáticas no existe ningún " ignorabimus " (afirmación cuya verdad nunca podrá ser conocida). . [e] No parece claro si habría considerado la solución del décimo problema como un caso de ignorabimus: lo que se demuestra que no existe no es la solución entera, sino (en cierto sentido) la capacidad de discernir de una manera específica. si existe una solución.
Por otro lado, el estatus del primer y segundo problemas es aún más complicado: no existe un consenso matemático claro sobre si los resultados de Gödel (en el caso del segundo problema), o de Gödel y Cohen (en el caso de el primer problema) dan o no soluciones negativas definitivas, ya que estas soluciones se aplican a una cierta formalización de los problemas, que no es necesariamente la única posible. [F]
El problema 24
Hilbert originalmente incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió no incluir uno de ellos en la lista publicada. El "problema 24" (en la teoría de la prueba , según un criterio de simplicidad y métodos generales) fue redescubierto en las notas manuscritas originales de Hilbert por el historiador alemán Rüdiger Thiele en 2000. [7]
Secuelas
Desde 1900, los matemáticos y las organizaciones matemáticas han anunciado listas de problemas pero, con pocas excepciones, éstas no han tenido tanta influencia ni han generado tanto trabajo como los problemas de Hilbert.
Una excepción consiste en tres conjeturas hechas por André Weil a finales de la década de 1940 (las conjeturas de Weil ). En los campos de la geometría algebraica , la teoría de números y los vínculos entre ambas, las conjeturas de Weil fueron muy importantes. [8] [9] El primero de ellos fue demostrado por Bernard Dwork ; Alexander Grothendieck proporcionó una prueba completamente diferente de los dos primeros, a través de la cohomología ℓ-ádica . La última y más profunda de las conjeturas de Weil (análoga a la hipótesis de Riemann) fue demostrada por Pierre Deligne . Tanto Grothendieck como Deligne recibieron la medalla Fields . Sin embargo, las conjeturas de Weil eran, en su alcance, más bien como un único problema de Hilbert, y Weil nunca las planteó como un programa para todas las matemáticas. Esto es un tanto irónico, ya que podría decirse que Weil fue el matemático de las décadas de 1940 y 1950 que mejor desempeñó el papel de Hilbert, ya que estaba familiarizado con casi todas las áreas de las matemáticas (teóricas) y había desempeñado un papel importante en el desarrollo de muchas de ellas.
Paul Erdős planteó cientos, si no miles, de problemas matemáticos , muchos de ellos profundos. Los Erdős ofrecían a menudo recompensas monetarias; el tamaño de la recompensa dependía de la dificultad percibida del problema. [10]
El fin del milenio, que fue también el centenario del anuncio de Hilbert de sus problemas, brindó una ocasión natural para proponer "un nuevo conjunto de problemas de Hilbert". Varios matemáticos aceptaron el desafío, en particular el medallista Fields Steve Smale , quien respondió a una petición de Vladimir Arnold de proponer una lista de 18 problemas.
Al menos en los principales medios de comunicación, el análogo de facto de los problemas de Hilbert en el siglo XXI es la lista de siete Problemas del Premio del Milenio elegidos durante el año 2000 por el Clay Mathematics Institute . A diferencia de los problemas de Hilbert, donde el premio principal era la admiración de Hilbert en particular y de los matemáticos en general, cada problema premiado incluye una recompensa de un millón de dólares. Al igual que con los problemas de Hilbert, uno de los problemas premiados (la conjetura de Poincaré ) se resolvió relativamente poco después de que se anunciaran los problemas.
La hipótesis de Riemann es notable por su aparición en la lista de problemas de Hilbert, la lista de Smale, la lista de Problemas del Premio del Milenio e incluso las conjeturas de Weil, en su forma geométrica. Aunque ha sido atacado por los principales matemáticos de nuestros días, muchos expertos creen que seguirá formando parte de las listas de problemas sin resolver durante muchos siglos. El propio Hilbert declaró: "Si me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Se ha demostrado la hipótesis de Riemann?" [11]
En 2008, DARPA anunció su propia lista de 23 problemas que esperaba pudieran conducir a importantes avances matemáticos, "fortaleciendo así las capacidades científicas y tecnológicas del Departamento de Defensa ". [12] [13] [14]
Resumen
De los problemas de Hilbert claramente formulados, los números 3, 7, 10, 14, 17, 18, 19 y 20 tienen resoluciones aceptadas por consenso de la comunidad matemática. Por otro lado, los problemas 1, 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 21 y 22 tienen soluciones que tienen aceptación parcial, pero existe cierta controversia sobre si resuelven los problemas.
Eso deja 8 (la hipótesis de Riemann ), 13 y 16 [g] sin resolver, y 4 y 23 como demasiado vagos para ser descritos como resueltos. Los 24 retirados también estarían en esta clase. El número 6 se considera un problema de física más que de matemáticas.
tabla de problemas
Los 23 problemas de Hilbert son (para obtener detalles sobre las soluciones y referencias, consulte los artículos vinculados en la primera columna):
^ Véase Nagel y Newman revisado por Hofstadter (2001, p. 107), [5] nota al pie 37: "Además, aunque la mayoría de los especialistas en lógica matemática no cuestionan la contundencia de la prueba [de Gentzen], no es finitista en el sentido de Las estipulaciones originales de Hilbert son una prueba absoluta de coherencia." Véase también la página siguiente: "Pero estas pruebas [Gentzen's et al.] no pueden reflejarse dentro de los sistemas a los que se refieren y, como no son finitistas, no logran los objetivos proclamados del programa original de Hilbert". Hofstadter reescribió ligeramente la nota a pie de página original (1958), cambiando la palabra "estudiantes" por "especialistas en lógica matemática". Y este punto se discute nuevamente en la página 109 [5] y no fue modificado allí por Hofstadter (p. 108). [5]
^ Reid informa que al enterarse de "el trabajo de Gödel por parte de Bernays, estaba 'algo enojado'... Al principio solo estaba enojado y frustrado, pero luego comenzó a tratar de abordar el problema de manera constructiva... Fue Todavía no está claro qué influencia tendría finalmente la obra de Gödel" (p. 198-199). [6] Reid señala que en dos artículos de 1931 Hilbert propuso una forma diferente de inducción llamada "unendliche Induktion" (p. 199). [6]
^ La biografía de Hilbert que hizo Reid, escrita durante la década de 1960 a partir de entrevistas y cartas, informa que "Godel (que nunca tuvo correspondencia con Hilbert) siente que el esquema de Hilbert para los fundamentos de las matemáticas 'sigue siendo muy interesante e importante a pesar de mis resultados negativos'. (p. 217). Observe el uso del tiempo presente: ella informa que Gödel y Bernays, entre otros, "respondieron a mis preguntas sobre el trabajo de Hilbert en lógica y fundamentos" (p. vii) .
^ "Esta convicción de la solucion de todo problema matemático es un poderoso incentivo para el trabajador. Escuchamos dentro de nosotros el llamado perpetuo: ahí está el problema. Busque su solución. Puede encontrarla por la razón pura, porque en matemáticas no hay ignorabimus ." (Hilbert, 1902, pág. 445)
^ Nagel, Newman y Hofstadter discuten este tema: "La posibilidad de construir una prueba absoluta finitista de consistencia para un sistema formal como Principia Mathematica no está excluida por los resultados de Gödel... Su argumento no elimina la posibilidad... Pero Hoy en día nadie parece tener una idea clara de cómo sería una prueba finitista que no pueda reflejarse en los Principia Mathematica (nota al pie 39, página 109). Los autores concluyen que la perspectiva "es muy improbable".
^ Algunos autores consideran que este problema es demasiado vago para describirlo como resuelto, aunque todavía hay investigaciones activas al respecto.
^ Según Gray, la mayoría de los problemas se han resuelto. Algunas no fueron definidas del todo, pero se ha avanzado lo suficiente como para considerarlas “solucionadas”; Gray considera que el cuarto problema es demasiado vago para decir si se ha resuelto.
^ No es difícil demostrar que el problema tiene una solución parcial dentro del espacio de funciones analíticas de un solo valor (Raudenbush). Algunos autores sostienen que Hilbert pretendía una solución dentro del espacio de funciones algebraicas (multivaluadas), continuando así su propio trabajo sobre funciones algebraicas y planteando dudas sobre una posible extensión de la teoría de Galois (ver, por ejemplo, Abhyankar [20 ] Vitushkin, [21] Chebotarev, [22] y otros). De uno de los artículos de Hilbert [23] se desprende que ésta era su intención original para el problema. El lenguaje de Hilbert es " Existez von algebraischen Funktionen " ("existencia de funciones algebraicas "). Como tal, el problema sigue sin resolverse.
^ Gray también enumera el problema número 18 como "abierto" en su libro de 2000, porque el problema del empaquetado de esferas (también conocido como conjetura de Kepler ) no estaba resuelto, pero ahora se ha reclamado una solución.
^ Hilbert, David (1900). "Problema matemático". Göttinger Nachrichten : 253–297.y Hilbert, David (1901). "[sin título citado]". Archiv der Mathematik und Physik . 3. 1 : 44–63, 213–237.
^ Weinstein, Jared (25 de agosto de 2015). "Leyes de reciprocidad y representaciones de Galois: avances recientes". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Sociedad Estadounidense de Matemáticas (AMS). 53 (1): 1–39. doi : 10.1090/bull/1515 . ISSN 0273-0979.
^ van Heijenoort, Jean, ed. (1976) [1966]. De Frege a Gödel: un libro de consulta sobre lógica matemática, 1879-1931 ((pbk.) ed.). Cambridge MA: Harvard University Press. págs. 464 y siguientes. ISBN978-0-674-32449-7. Una fuente confiable del sistema axiomático de Hilbert, sus comentarios sobre ellos y sobre la "crisis" fundacional que estaba en curso en ese momento (traducido al inglés), aparece en "Los fundamentos de las matemáticas" de Hilbert (1927).
^ abcd Nagel, Ernesto; Newman, James R. (2001). Hofstadter, Douglas R. (ed.). La prueba de Gödel . Nueva York, Nueva York: New York University Press. ISBN978-0-8147-5816-8.
^ abc Reid, Constanza (1996). Hilberto . Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN978-0387946740.
^ Thiele, Rüdiger (enero de 2003). "El vigésimo cuarto problema de Hilbert" (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 110 : 1–24. doi :10.1080/00029890.2003.11919933. S2CID 123061382.
^ Chung, Fan RK; Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (2018). Erdős en gráficos: su legado de problemas sin resolver . Boca Ratón. ISBN978-0-429-06453-1. OCLC 1224541523.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
^ Clawson, Calvin C. (8 de diciembre de 1999). Misterios Matemáticos: La belleza y la magia de los números . Libros básicos. pag. 258.ISBN _9780738202594. LCCN 99-066854.
^ Cooney, Michael (29 de septiembre de 2008). "Las 23 preguntas matemáticas más difíciles del mundo". Mundo de la Red .
^ "Desafíos matemáticos de DARPA - DARPA-BAA08-65". Sistema de Gestión de Premios (SAM) . Consultado el 31 de marzo de 2021 .
^ "Desafíos matemáticos de DARPA". 2008-09-26. Archivado desde el original el 12 de enero de 2019 . Consultado el 31 de marzo de 2021 .
^ Corry, L. (1997). "David Hilbert y la axiomatización de la física (1894-1905)". Arco. Historia. Ciencia exacta . 51 (2): 83–198. doi :10.1007/BF00375141. S2CID 122709777.
^ Gorban, AN ; Karlin, I. (2014). "Sexto problema de Hilbert: variedades hidrodinámicas exactas y aproximadas para ecuaciones cinéticas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (2): 186–246. arXiv : 1310.0406 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01439-3 .
^ John von Neumann (2018). Nicolás A. Wheeler (ed.). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. Nueva edición. Traducido por Robert T. Beyer. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN9781400889921.
^ Houston-Edwards, Kelsey (25 de mayo de 2021). "Los matemáticos encuentran componentes básicos largamente buscados para polinomios especiales".
^ Abhyankar, Shreeram S. (1997). El decimotercer problema de Hilbert (PDF) . Seminarios y Congresos. vol. 2. Sociedad Matemática de Francia.
^ Vitushkin, Anatoliy G. (2004). "Sobre el decimotercer problema de Hilbert y cuestiones relacionadas". Encuestas matemáticas rusas . Academia de Ciencias de Rusia. 59 (1): 11–25. Código Bib : 2004RuMaS..59...11V. doi :10.1070/RM2004v059n01ABEH000698. S2CID 250837749.
^ Morozov, Vladimir V. (1954). "О некоторых вопросах проблемы резольвент" [Sobre determinadas cuestiones del problema de los resolutivos]. Actas de la Universidad de Kazán (en ruso). Universidad de Kazán. 114 (2): 173–187.
^ Hilbert, David (1927). "Über die Gleichung neunten Grados". Matemáticas. Ana . 97 : 243–250. doi :10.1007/BF01447867. S2CID 179178089.
^ Kleiman, SL ; Laksov, Dan (1972). "Cálculo de Schubert". Mensual Matemático Estadounidense . Sociedad Matemática Estadounidense. 79 (10): 1061–1082. doi :10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN 0377-9017.
^ Plemelj, Josip (1964), Radok., JRM (ed.), Problemas en el sentido de Riemann y Klein, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 16, Nueva York-Londres-Sídney: Interscience Publishers John Wiley & Sons Inc., ISBN9780470691250, SEÑOR 0174815
^ Anosov, DV; Bolibruch, AA (1994), El problema de Riemann-Hilbert , Aspectos de las matemáticas, E22, Braunschweig: Friedr. Vieweg y Sohn, doi :10.1007/978-3-322-92909-9, ISBN978-3-528-06496-9, señor 1276272
^ Bolibrukh, AA (1990), "El problema de Riemann-Hilbert", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 45 (2): 3–47, Bibcode :1990RuMaS..45Q...1B, doi :10.1070/RM1990v045n02ABEH002350, ISSN 0042-1316, MR 1069347, S2CID 250853546
^ Bolibrukh, AA (1992), "Condiciones suficientes para la solucion positiva del problema de Riemann-Hilbert", Matematicheskie Zametki (en ruso), 51 (2): 110–117, doi :10.1007/BF02102113, MR 1165460, S2CID 121743184
^ Katz, NM (1976), "Una descripción general del trabajo de Deligne sobre el vigésimo primer problema de Hilbert", Actas de simposios en matemáticas puras , 28 : 537–557, doi :10.1090/pspum/028.2/9904, ISBN9780821814284
Browder, Félix E. , ed. (1976). "Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert". Actas de Simposios de Matemática Pura XXVIII . Sociedad Matemática Estadounidense. Una colección de ensayos de encuestas realizados por expertos dedicados a cada uno de los 23 problemas que enfatizan los desarrollos actuales.
Matiyasevich, Yuri (1993). El décimo problema de Hilbert . Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0262132954. Un relato a nivel universitario del matemático que completó la solución del problema.
enlaces externos
Wikisource tiene texto original relacionado con este artículo:
Problemas matemáticos audiolibro de dominio público en LibriVox