En matemáticas , la teoría de campos de clases no abeliana es un eslogan, que significa la extensión de los resultados de la teoría de campos de clases , el conjunto relativamente completo y clásico de resultados sobre extensiones abelianas de cualquier campo numérico K , a la extensión general de Galois L / K . Si bien la teoría de campos de clases era esencialmente conocida en 1930, la correspondiente teoría no abeliana nunca ha sido formulada en un sentido definitivo y aceptado. [1]
Claude Chevalley , Emil Artin y otros llevaron a cabo una presentación de la teoría de campos de clases en términos de cohomología de grupos , principalmente en la década de 1940. Esto resultó en una formulación de los resultados centrales por medio de la cohomología grupal del grupo de clase idele . Los teoremas del enfoque cohomológico son independientes de si el grupo G de Galois de L / K es abeliano o no. Esta teoría nunca ha sido considerada como la tan buscada teoría no abeliana . La primera razón que se puede citar para ello es que no proporcionó información nueva sobre la división de los ideales primarios en una extensión de Galois ; Una forma común de explicar el objetivo de una teoría de campos de clases no abeliana es que debería proporcionar una forma más explícita de expresar tales patrones de escisión. [2]
Por lo tanto, el enfoque cohomológico fue de utilidad limitada incluso para formular la teoría de campos de clases no abeliana. Detrás de la historia estaba el deseo de Chevalley de escribir pruebas para la teoría de campos de clases sin utilizar series de Dirichlet : en otras palabras , eliminar las funciones L. La primera ola de demostraciones de los teoremas centrales de la teoría de campos de clases se estructuró como si constara de dos "desigualdades" (la misma estructura que en las demostraciones ahora dadas del teorema fundamental de la teoría de Galois , aunque mucho más compleja). Una de las dos desigualdades implicó una discusión con funciones L. [3]
En una inversión posterior de este desarrollo, se comprendió que para generalizar la reciprocidad de Artin al caso no abeliano, era esencial buscar una nueva forma de expresar las funciones L de Artin . La formulación contemporánea de esta ambición se realiza a través del programa Langlands : en el que se dan motivos para creer que las funciones L de Artin son también funciones L de representaciones automórficas . [4] A principios del siglo XXI, esta es la formulación de la noción de teoría de campos de clases no abeliana que tiene la más amplia aceptación por parte de los expertos. [5]