En matemáticas , la teoría de campos de clases ( CFT ) es la rama fundamental de la teoría algebraica de números cuyo objetivo es describir todas las extensiones abelianas de Galois de campos locales y globales utilizando objetos asociados al campo terrestre. [1]
A Hilbert se le atribuye el mérito de ser uno de los pioneros de la noción de campo de clases. Sin embargo, Kronecker ya conocía esta noción y, de hecho, fue Weber quien acuñó el término antes de que aparecieran los artículos fundamentales de Hilbert. [2] Las ideas relevantes se desarrollaron en el transcurso de varias décadas, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron demostradas por Takagi y Artin (con la ayuda del teorema de Chebotarev ).
Uno de los principales resultados es: dado un campo numérico F y escribiendo K para la extensión abeliana no ramificada máxima de F , el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clase ideal de F. Esta afirmación se generalizó a la llamada ley de reciprocidad de Artin ; en el lenguaje idélico, escribiendo C F para el grupo de clase idele de F y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F , esta ley da un isomorfismo canónico
donde denota el mapa de normas idélicas de L a F. Este isomorfismo se denomina mapa de reciprocidad .
El teorema de existencia establece que el mapa de reciprocidad se puede utilizar para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de
Un método estándar para desarrollar la teoría de campos de clases globales desde la década de 1930 fue construir la teoría de campos de clases locales , que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego usarla para construir la teoría de campos de clases globales. Esto lo hicieron por primera vez Emil Artin y Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupos y, en particular, desarrollando la noción de formaciones de clases. Más tarde, Neukirch encontró una prueba de los principales enunciados de la teoría de campos de clases globales sin utilizar ideas cohomológicas. Su método era explícito y algorítmico.
Dentro de la teoría de campos de clases se puede distinguir [3] la teoría de campos de clases especiales y la teoría de campos de clases general.
La teoría de campos de clases explícita proporciona una construcción explícita de extensiones abelianas máximas de un campo numérico en diversas situaciones. Esta parte de la teoría consta del teorema de Kronecker-Weber , que puede usarse para construir las extensiones abelianas de , y la teoría de la multiplicación compleja para construir extensiones abelianas de campos CM .
Hay tres generalizaciones principales de la teoría de campos de clases: la teoría de campos de clases superiores, el programa Langlands (o 'correspondencias Langlands') y la geometría anabeliana .
En el lenguaje matemático moderno, la teoría de campos de clases (CFT) se puede formular de la siguiente manera. Considere la extensión abeliana máxima A de un campo local o global K. Es de grado infinito sobre K ; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo finito infinito , por lo tanto un grupo topológico compacto , y es abeliano. Los objetivos centrales de la teoría de campos de clases son: describir G en términos de ciertos objetos topológicos apropiados asociados a K , describir extensiones abelianas finitas de K en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el objeto topológico asociado a K. En particular, se desea establecer una correspondencia uno a uno entre extensiones abelianas finitas de K y sus grupos de normas en este objeto topológico para K. Este objeto topológico es el grupo multiplicativo en el caso de campos locales con campo de residuos finito y el grupo de clase idele en el caso de campos globales. La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina campo de clase para ese subgrupo, que dio el nombre a la teoría.
El resultado fundamental de la teoría general de campos de clases establece que el grupo G es naturalmente isomorfo a la terminación finita de C K , el grupo multiplicativo de un campo local o el grupo de clases idle del campo global, con respecto a la topología natural de C K. relacionado con la estructura específica del campo K . De manera equivalente, para cualquier extensión finita de Galois L de K , existe un isomorfismo (el mapa de reciprocidad de Artin )
de la abelianización del grupo de Galois de la extensión con el cociente del grupo de clase idele de K por la imagen de la norma del grupo de clase idele de L .
Para algunos campos pequeños, como el campo de los números racionales o sus extensiones imaginarias cuadráticas, existe una teoría más detallada, muy explícita pero demasiado específica, que proporciona más información. Por ejemplo, el grupo de Galois absoluto abelianizado G de es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los enteros p-ádicos tomados sobre todos los números primos p , y la correspondiente extensión abeliana máxima de los racionales es el campo generado. por todas las raíces de la unidad. Esto se conoce como teorema de Kronecker-Weber , conjeturado originalmente por Leopold Kronecker . En este caso el isomorfismo de reciprocidad de la teoría de campos de clases (o mapa de reciprocidad de Artin) también admite una descripción explícita debido al teorema de Kronecker-Weber . Sin embargo, las construcciones principales de teorías más detalladas para campos de números algebraicos pequeños no son extensibles al caso general de campos de números algebraicos, y en la teoría general de campos de clases se utilizan diferentes principios conceptuales.
El método estándar para construir el homomorfismo de reciprocidad es construir primero el isomorfismo de reciprocidad local desde el grupo multiplicativo de la finalización de un campo global hasta el grupo de Galois de su extensión abeliana máxima (esto se hace dentro de la teoría de campos de clases locales) y luego demostrar que el producto de todos esos mapas de reciprocidad local cuando se define en el grupo idele del campo global es trivial en la imagen del grupo multiplicativo del campo global. Esta última propiedad se llama ley de reciprocidad global y es una generalización de gran alcance de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss .
Uno de los métodos para construir el homomorfismo de reciprocidad utiliza la formación de clases que deriva la teoría de campos de clases a partir de axiomas de la teoría de campos de clases. Esta derivación es puramente teórica de grupo topológica, mientras que para establecer los axiomas hay que utilizar la estructura de anillo del campo terrestre. [4]
Hay métodos que utilizan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer, y hay métodos que no utilizan grupos de cohomología y son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.
Los orígenes de la teoría de campos de clases se encuentran en la ley de reciprocidad cuadrática demostrada por Gauss. La generalización se llevó a cabo como un proyecto histórico a largo plazo, que involucraba formas cuadráticas y su ' teoría del género ', el trabajo de Ernst Kummer y Leopold Kronecker/ Kurt Hensel sobre ideales y terminaciones, la teoría de las extensiones ciclotómicas y de Kummer .
Las dos primeras teorías de campos de clases eran teorías de campos de clases ciclotómicas y de multiplicación complejas muy explícitas. Usaron estructuras adicionales: en el caso del cuerpo de números racionales usan raíces de la unidad, en el caso de extensiones cuadráticas imaginarias del cuerpo de números racionales usan curvas elípticas con multiplicación compleja y sus puntos de orden finito. Mucho más tarde, la teoría de Shimura proporcionó otra teoría de campos de clases muy explícita para una clase de campos numéricos algebraicos. En característica positiva , Kawada y Satake utilizaron la dualidad de Witt para obtener una descripción muy sencilla de la parte - del homomorfismo de reciprocidad.
Sin embargo, estas teorías tan explícitas no podrían extenderse a campos numéricos más generales. La teoría general de campos de clases utilizó diferentes conceptos y construcciones que funcionan en todos los campos globales.
Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, que condujo a las leyes de reciprocidad y a las pruebas de Teiji Takagi , Phillip Furtwängler , Emil Artin , Helmut Hasse y muchos otros. El crucial teorema de existencia de Takagi se conocía en 1920 y todos los resultados principales alrededor de 1930. Una de las últimas conjeturas clásicas en demostrarse fue la propiedad de principiación . Las primeras pruebas de la teoría de campos de clases utilizaron métodos analíticos sustanciales. En la década de 1930 y posteriormente se vio el uso creciente de extensiones infinitas y la teoría de Wolfgang Krull de sus grupos de Galois. Esto se combinó con la dualidad de Pontryagin para dar una formulación más clara, aunque más abstracta, del resultado central, la ley de reciprocidad de Artin . Un paso importante fue la introducción de ideles por Claude Chevalley en la década de 1930 para reemplazar las clases ideales, esencialmente aclarando y simplificando la descripción de las extensiones abelianas de los campos globales. La mayoría de los resultados centrales fueron probados en 1940.
Posteriormente, los resultados se reformularon en términos de cohomología de grupos , que se convirtió en una forma estándar de aprender la teoría de campos de clases para varias generaciones de teóricos de números. Un inconveniente del método cohomológico es su relativa inexplicidad. Como resultado de las contribuciones locales de Bernard Dwork , John Tate , Michiel Hazewinkel y una reinterpretación local y global de Jürgen Neukirch y también en relación con el trabajo sobre fórmulas de reciprocidad explícitas de muchos matemáticos, se obtuvo una presentación muy explícita y libre de cohomología del campo de clases. La teoría se estableció en la década de 1990. (Ver, por ejemplo, Teoría de campos de clases de Neukirch.)
La teoría de campos de clases se utiliza para demostrar la dualidad Artin-Verdier . [5] La teoría de campos de clases muy explícita se utiliza en muchas subáreas de la teoría algebraica de números, como la teoría de Iwasawa y la teoría de módulos de Galois.
La mayoría de los principales logros hacia la correspondencia de Langlands para campos numéricos, la conjetura BSD para campos numéricos y la teoría de Iwasawa para campos numéricos utilizan métodos de teoría de campos de clases muy explícitos pero limitados o sus generalizaciones. La cuestión abierta es, por tanto, utilizar generalizaciones de la teoría general de campos de clases en estas tres direcciones.
Hay tres generalizaciones principales, cada una de ellas de gran interés. Ellos son: el programa Langlands , la geometría anabeliana y la teoría de campos de clase superior.
A menudo, la correspondencia de Langlands se considera una teoría de campos de clases no abeliana. Si se establece plenamente, contendrá una cierta teoría de las extensiones nobelianas de Galois de los campos globales. Sin embargo, la correspondencia de Langlands no incluye tanta información aritmética sobre las extensiones finitas de Galois como la teoría de campos de clases en el caso abeliano. Tampoco incluye un análogo del teorema de existencia en la teoría de campos de clases: el concepto de campos de clases está ausente en la correspondencia de Langlands. Hay varias otras teorías nobelianas, locales y globales, que ofrecen alternativas al punto de vista de la correspondencia de Langlands.
Otra generalización de la teoría de campos de clases es la geometría anabeliana , que estudia algoritmos para restaurar el objeto original (por ejemplo, un campo numérico o una curva hiperbólica sobre él) a partir del conocimiento de su grupo absoluto de Galois o grupo fundamental algebraico . [6] [7]
Otra generalización natural es la teoría de campos de clases superiores, dividida en teoría de campos de clases locales superiores y teoría de campos de clases globales superiores . Describe extensiones abelianas de campos locales superiores y campos globales superiores. Estos últimos vienen como campos funcionales de esquemas de tipo finito sobre números enteros y sus localizaciones y terminaciones apropiadas. Utiliza la teoría K algebraica , y los grupos K de Milnor apropiados generalizan los utilizados en la teoría de campos de clases unidimensional.
