Campo de clase Hilbert

En teoría algebraica de números , el campo de clase de Hilbert E de un campo numérico K es la extensión abeliana no ramificada máxima de K. Su grado sobre K es igual al número de clase de K y el grupo de Galois de E sobre K es canónicamente isomorfo al grupo de clases ideal de K utilizando elementos de Frobenius para ideales primos en K.

En este contexto, el campo de clase de Hilbert de K no sólo está desramificado en los lugares finitos (la interpretación teórica ideal clásica) sino también en los lugares infinitos de K. Es decir, cada incrustación real de K se extiende a una incrustación real de E (en lugar de una incrustación compleja de E ).

Ejemplos

• Si el anillo de números enteros de K es un dominio de factorización único , en particular si , entonces K es su propio campo de clase de Hilbert. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$
• Vamos de discriminante . El campo tiene discriminante y, por lo tanto, es una extensión no ramificada de K en todas partes , y es abeliano. Usando el límite de Minkowski , se puede demostrar que K tiene el número de clase 2. Por lo tanto, su campo de clase de Hilbert es . Un ideal no principal de K es (2,(1+ √ −15 )/2), y en L este se convierte en el ideal principal ((1+ √ 5 )/2). ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})}$ ${\displaystyle -15}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle 225=(-15)^{2}}$ ${\displaystyle L}$
• El campo tiene clase número 3. Su campo de clase Hilbert se puede formar uniendo una raíz de x ³ - x - 1, que tiene discriminante -23. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$
• Para ver por qué se debe tener en cuenta la ramificación en los números primos de Arquímedes, consideremos el campo cuadrático real K obtenido al unir la raíz cuadrada de 3 a Q. Este campo tiene número de clase 1 y discriminante 12, pero la extensión K ( i )/ K del discriminante 9=3 2 no ^está ramificada en todos los ideales primos en K , por lo que K admite extensiones abelianas finitas de grado mayor que 1 en las que todos los primos finitos de K no están ramificados. Esto no contradice el campo de clases de Hilbert de que K es K en sí mismo: cada extensión abeliana finita adecuada de K debe ramificarse en algún lugar, y en la extensión K ( i )/ K hay ramificación en los lugares de Arquímedes: las incrustaciones reales de K se extiende a incrustaciones complejas (en lugar de reales) de K ( i ).
• Según la teoría de la multiplicación compleja , el campo de clase de Hilbert de un campo cuadrático imaginario se genera mediante el valor de la función modular elíptica en un generador para el anillo de números enteros (como un módulo Z ).

Historia

La existencia de un campo de clase de Hilbert (estrecho) para un campo numérico dado K fue conjeturada por David Hilbert  (1902) y demostrada por Philipp Furtwängler . ^[1] La existencia del campo de clases de Hilbert es una herramienta valiosa para estudiar la estructura del grupo de clases ideal de un campo determinado.

Propiedades adicionales

El campo de clase Hilbert E también satisface lo siguiente:

• E es una extensión finita de Galois _de K y [ _E :  K ] = hK , donde hK es el número de clase de K.
• El grupo de clases ideal de K es isomorfo al grupo de Galois de E sobre K.
• Todo ideal de O _K se extiende a un ideal principal de la extensión del anillo O _E ( teorema del ideal principal ).
• Todo ideal primo P de OK se descompone en el producto de _h K _/ f ideales primos en O _E , donde f es el orden de [ P ] en el grupo _de clases ideales de OK .

De hecho, E es el único campo que satisface las propiedades primera, segunda y cuarta.

Construcciones explícitas

Si K es cuadrática imaginaria y A es una curva elíptica con multiplicación compleja por el anillo de números enteros de K , entonces al unir la j-invariante de A a K se obtiene el campo de clase de Hilbert. ^[2]

Generalizaciones

En la teoría de campos de clases , se estudia el campo de clases de rayos con respecto a un módulo dado , que es un producto formal de ideales primos (incluidos, posiblemente, los de Arquímedes). El campo de clase de rayo es la extensión abeliana máxima no ramificada fuera de los primos que dividen el módulo y que satisface una condición de ramificación particular en los primos que dividen el módulo. El campo de clase de Hilbert es entonces el campo de clase del rayo con respecto al módulo trivial 1 .

El campo de clase estrecho es el campo de clase de rayo con respecto al módulo que consta de todos los números primos infinitos. Por ejemplo, el argumento anterior muestra que es el campo de clase estrecho de . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$

Notas

1. Furtwängler 1906
2. Teorema II.4.1 de Silverman 1994

Referencias

• Childress, Nancy (2009), Teoría de campos de clases , Nueva York: Springer , doi :10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, señor  2462595
• Furtwängler, Philipp (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers", Mathematische Annalen , 63 (1): 1–37, doi :10.1007/BF01448421, JFM  37.0243.02, MR  1511392 , recuperado 20 09-08- 21
• Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
• JS Milne, Class Field Theory (Notas del curso disponibles en http://www.jmilne.org/math/). Véase el capítulo Introducción de las notas, especialmente la p. 4.
• Silverman, Joseph H. (1994), Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 151, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1
• Gras, Georges (2005), Teoría de campos de clases: de la teoría a la práctica , Nueva York: Springer

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