Dualidad Artin-Verdier

Teorema sobre gavillas abelianas construibles sobre el espectro de un anillo de números algebraicos

En matemáticas , la dualidad Artin-Verdier es un teorema de dualidad para haces abelianos construibles en el espectro de un anillo de números algebraicos , introducido por Michael Artin y Jean-Louis Verdier  (1964), que generaliza la dualidad de Tate .

Muestra que, en lo que respecta a la cohomología etale (o plana ) , el anillo de números enteros en un campo numérico se comporta como un objeto matemático tridimensional .

Declaración

Sea X el espectro del anillo de números enteros en un campo numérico K totalmente imaginario , y F una gavilla abeliana étale construible en X. Entonces el binomio Yoneda

${\displaystyle H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

es un emparejamiento no degenerado de grupos abelianos finitos, para cada número entero r .

Aquí, H ^r ( X,F ) es el r -ésimo grupo de cohomología étale del esquema X con valores en F, y Ext ^r ( F,G ) es el grupo de r - extensiones de la gavilla étale G por la gavilla étale F en la categoría de gavillas étale abelianas en X. Además, G _m denota la gavilla étale de unidades en la estructura de gavilla de X.

Christopher Deninger  (1986) demostró la dualidad Artin-Verdier para poleas construibles, pero no necesariamente de torsión. Para tal haz F , el emparejamiento anterior induce isomorfismos

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

Esquemas de grupos planos finitos

Sea U un subesquema abierto del espectro del anillo de números enteros en un campo numérico K , y F un esquema de grupo conmutativo plano finito sobre U. Entonces el producto en taza define un maridaje no degenerado.

${\displaystyle H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

de grupos abelianos finitos, para todos los números enteros r .

Aquí F ^D denota el dual Cartier de F , que es otro esquema de grupo conmutativo plano finito sobre U . Además, es el r -ésimo grupo de cohomología plana del esquema U con valores en la gavilla abeliana plana F , y es el r -ésimo cohomología plana con soportes compactos de U con valores en la gavilla abeliana plana F. ${\displaystyle H^{r}(U,F)}$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(U,F)}$

La cohomología plana con soportes compactos se define para dar lugar a una secuencia exacta larga

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots }$

La suma se toma en todos los lugares de K que no están en U , incluidos los de Arquímedes. La contribución local H ^r ( K _v , F ) es la cohomología de Galois de la Henselización K _v de K en el lugar v , modificada a la Tate :

${\displaystyle H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_{v}^{s})).}$

Aquí hay un cierre separable de ${\displaystyle K_{v}^{s}}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

Referencias

• Artín, Michael ; Verdier, Jean-Louis (1964), "Seminar on étale cohomology of number campos", Apuntes de conferencias preparados en relación con los seminarios celebrados en el instituto de verano sobre geometría algebraica. Finca Whitney, Woods Hole, Massachusetts. 6 de julio - 31 de julio de 1964 (PDF) , Providence, RI: American Mathematical Society , archivado desde el original (PDF) el 26 de mayo de 2011
• Deninger, Christopher (1986), "Una extensión de la dualidad Artin-Verdier a gavillas sin torsión", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 366 : 18–31, doi :10.1515/crll.1986.366.18, MR  0833011
• Mazur, Barry (1973), "Notas sobre la cohomología étale de campos numéricos", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 : 521–552, ISSN  0012-9593, SEÑOR  0344254
• Milne, James S. (2006), Teoremas de dualidad aritmética (Segunda ed.), BookSurge, LLC , págs. viii+339, ISBN 1-4196-4274-X