Christopher Deninger

matemático alemán

Christopher Deninger (nacido el 8 de abril de 1958) es un matemático alemán de la Universidad de Münster . La investigación de Deninger se centra en la geometría aritmética , incluidas las aplicaciones a funciones L.

Carrera

Deninger obtuvo su doctorado en la Universidad de Colonia en 1982, bajo la supervisión de Curt Meyer . En 1992 compartió el premio Gottfried Wilhelm Leibniz con Michael Rapoport , Peter Schneider y Thomas Zink . En 1998 fue ponente plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1998 en Berlín. ^[2] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . ^[3]

trabajo matematico

Dualidad Artin-Verdier

En una serie de artículos entre 1984 y 1987, Deninger estudió las extensiones de la dualidad Artin-Verdier . En términos generales, la dualidad Artin-Verdier, una consecuencia de la teoría de campos de clases , es un análogo aritmético de la dualidad de Poincaré , una dualidad para la cohomología de gavillas en una variedad compacta. En este paralelo, el ( espectro del) anillo de números enteros en un campo numérico corresponde a una variedad 3 . Siguiendo el trabajo de Mazur , Deninger (1984) extendió la dualidad Artin-Verdier a los campos funcionales . Luego, Deninger amplió estos resultados en varias direcciones, como poleas sin torsión (1986), superficies aritméticas (1987), así como campos locales de dimensiones superiores (con Wingberg, 1986). La aparición de los complejos motívicos de Bloch considerados en estos últimos artículos influyó en el trabajo de varios autores, incluido Geisser (2010), quien identificó los complejos de Bloch como complejos dualizantes sobre esquemas de dimensiones superiores.

Valores especiales de funciones L

Otro grupo de artículos de Deninger estudia las funciones L y sus valores especiales. Un ejemplo clásico de una función L es la función zeta de Riemann ζ( s ), para la cual fórmulas como

ζ(2) = π2 ^/ 6

son conocidos desde Euler. En un artículo histórico, Beilinson (1984) había propuesto un conjunto de conjeturas de gran alcance que describían los valores especiales de L -funciones, es decir, los valores de L -funciones en números enteros. En términos muy generales, las conjeturas de Beilinson afirman que para una variedad algebraica proyectiva suave X sobre Q , la cohomología motívica de X debería estar estrechamente relacionada con la cohomología de Deligne de X. Además, la relación entre estas dos teorías de cohomología debería explicar, según la conjetura de Beilinson, los órdenes de los polos y los valores de

L ( h ^norte ( X ), s )

Dos de los tres anillos borromeos pueden separarse, pero los tres anillos están unidos. El producto de Massey de las tres clases de cohomología dadas al enrollar cada círculo se puede utilizar para capturar este fenómeno algebraicamente.

en números enteros s . Bloch y Beilinson demostraron partes esenciales de esta conjetura para h ¹ ( X ) en el caso en que X es una curva elíptica con multiplicación compleja y s =2. En 1988, Deninger & Wingberg expusieron ese resultado. En 1989 y 1990, Deninger amplió este resultado a determinadas curvas elípticas consideradas por Shimura, en todo s ≥2. Deninger y Nart (1995) expresaron el emparejamiento de altura , un ingrediente clave de la conjetura de Beilinson, como un emparejamiento natural de grupos Ext en una determinada categoría de motivos. En 1995, Deninger estudió los productos de Massey en cohomología de Deligne y a partir de ahí conjeturó una fórmula para el valor especial de la función L de una curva elíptica en s =3, que fue posteriormente confirmada por Goncharov (1996). A partir de 2018, la conjetura de Beilinson todavía está abierta y las contribuciones de Deninger siguen siendo algunos de los pocos casos en los que la conjetura de Beilinson ha sido atacada con éxito (las encuestas sobre el tema incluyen Deninger & Scholl (1991), Nekovář (1994)).

Funciones L a través de determinantes regularizados

La función ζ de Riemann se define utilizando un producto de factores de Euler

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

para cada número primo p . Para obtener una ecuación funcional para ζ( s ), es necesario multiplicarlos por un término adicional que involucre la función Gamma :

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

Las funciones L más generales también están definidas por productos de Euler, que involucran, en cada lugar finito, el determinante del endomorfismo de Frobenius que actúa sobre la cohomología l-ádica de alguna variedad X / Q , mientras que los factores de Euler para el lugar infinito son, según Serre , productos de funciones Gamma dependiendo de las estructuras de Hodge unidas a X / Q . Deninger (1991) expresó estos factores Γ en términos de determinantes regularizados y pasó, en 1992 y en mayor generalidad en 1994, a unificar los factores de Euler de funciones L tanto en lugares finitos como infinitos utilizando determinantes regularizados. Por ejemplo, para los factores de Euler de la función zeta de Riemann, esta descripción uniforme dice

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\right)^{-1}.}$

Aquí p es un número primo o infinito, correspondiente a los factores de Euler no de Arquímedes y al factor de Euler de Arquímedes respectivamente, y R _p es el espacio de series finitas de Fourier con valores reales en R /log( p ) Z para un número primo p , y R _∞ = R [exp(−2 y )]. Finalmente, Θ es la derivada de la R -acción dada al desplazar tales funciones. Deninger (1994) también exhibió un enfoque unificador similar para los factores ε (que expresan la relación entre funciones L completadas en s y en 1− s ).

El sitio aritmético

Estos resultados llevaron a Deninger a proponer un programa sobre la existencia de un "sitio aritmético" Y asociado a la compactación de Spec Z. Entre otras propiedades, este sitio estaría dotado de una acción de R , y cada número primo p correspondería a una órbita cerrada de la acción R de longitud log( p ). Además, las analogías entre fórmulas de la teoría analítica de números y la dinámica de espacios foliados llevaron a Deninger a conjeturar la existencia de una foliación en este sitio. Además, se supone que este sitio está dotado de una teoría de cohomología de dimensión infinita tal que la función L de un motivo M está dada por

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

Aquí M es un motivo , como los motivos h ⁿ ( X ) que aparecen en la conjetura de Beilinson, y F ( M ) se concibe como la gavilla de Y unida al motivo M. El operador Θ es el generador infinitesimal del flujo dado por la acción R. La hipótesis de Riemann sería, según este programa, consecuencia de propiedades paralelas a la positividad del par de intersección en la teoría de Hodge . Deninger (1993) ha demostrado por otros medios una versión de la fórmula de trazas de Lefschetz en este sitio, que sería parte de esta configuración conjetural. En 2010, Deninger demostró que las conjeturas clásicas de Beilinson y Bloch sobre la teoría de la intersección de ciclos algebraicos serían consecuencias adicionales de su programa.

Este programa fue examinado por Deninger en sus charlas en el Congreso Europeo de Matemáticos en 1992, en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1998, y también por Leichtnam (2005). En 2002, Deninger construyó un espacio foliado que corresponde a una curva elíptica sobre un campo finito , y Hesselholt (2016) demostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad propia suave sobre F _p se puede expresar utilizando determinantes regularizados que involucran a Hochschild topológico. homología . Además, la analogía entre nudos y números primos se ha estudiado fructíferamente en topología aritmética . Sin embargo, a partir de 2018, la construcción de un espacio foliado correspondiente a la especificación Z sigue siendo difícil de alcanzar.

Paquetes de vectores en curvas p -ádicas

Una serie de artículos conjuntos con Annette Werner examinan haces de vectores en curvas p -ádicas. Un resultado clásico que motiva este estudio es el teorema de Narasimhan-Seshadri , piedra angular de la correspondencia de Simpson . Afirma que un paquete de vectores en una superficie compacta de Riemann X es estable si surge de una representación unitaria del grupo fundamental π ₁ ( X ).

En Deninger y Werner (2005) establecieron un análogo p -ádico del mismo: para una curva algebraica proyectiva suave sobre C _p , obtenida por cambio de base de , construyeron una acción del grupo fundamental etale π ₁ (X) sobre las fibras en ciertos haces de vectores, incluidos los de grado 0 y que tienen una reducción potencialmente fuertemente semiestable. En otro artículo de 2005, relacionaron las representaciones resultantes del grupo fundamental de la curva X con representaciones del módulo de Tate de la variedad jacobiana de X. En 2007 y 2010 continuaron este trabajo mostrando que dichos paquetes de vectores forman una categoría Tannakiana que equivale a identificar esta clase de paquetes de vectores como una categoría de representaciones de un determinado grupo. ${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$

Foliaciones y el grupo de Heisenberg.

En varios artículos conjuntos, Deninger y Wilhelm Singhof estudiaron cocientes del grupo H de Heisenberg de n dimensiones mediante la red estándar que consta de matrices con valores enteros,

X = H / Γ,

desde varios puntos de vista. En 1984, calcularon la e-invariante de X en términos de ζ(− n ), lo que conduce a una construcción de elementos en los grupos de homotopía estable de esferas de orden arbitrariamente grande. En 1988, utilizaron métodos de teoría analítica de números para dar estimaciones sobre la dimensión de la cohomología de álgebras de Lie nilpotentes .

El hecho clásico de la teoría de Hodge de que cualquier clase de cohomología en una variedad de Kähler admite un armónico único había sido generalizado por Álvarez López y Kordyukov (2001) a foliaciones riemannianas . Deninger y Singhof (2001) muestran que las foliaciones en el espacio X anterior , que satisfacen sólo condiciones ligeramente más débiles, no admiten tales propiedades teóricas de Hodge. En otro trabajo conjunto de 2001, establecieron una fórmula dinámica de trazas de Lefschetz: relaciona la traza de un operador en formas armónicas con las trazas locales que aparecen en las órbitas cerradas (en ciertos espacios foliados con acción R ). Este resultado sirve como una corroboración del programa de Deninger mencionado anteriormente en el sentido de que verifica una predicción hecha por este programa en el lado analítico, es decir, el relativo a la dinámica en espacios foliados.

Medidas de entropía y Mahler

Otro grupo de trabajos de Deninger gira en torno al espacio

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

donde Γ es un grupo discreto, f es un elemento de su anillo de grupo Z Γ, y el sombrero denota el dual de Pontryagin . Para Γ = Z ⁿ y , Lind, Schmidt y Ward (1990) habían demostrado que la entropía de la acción Γ sobre X _f viene dada por la medida de Mahler. ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots ,z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

Además, se sabía que las medidas de Mahler de ciertos polinomios eran expresables en términos de valores especiales de ciertas funciones L. En 1997, Deninger observó que el integrando en la definición de la medida de Mahler tiene una explicación natural en términos de cohomología de Deligne. Utilizando casos conocidos de la conjetura de Beilinson, dedujo que m ( f ) es la imagen del símbolo { f , t ₁ , ..., t _n } bajo el regulador de Beilinson, donde la variedad es el complemento en la dimensión n . toro del conjunto cero de f . Esto condujo a una explicación conceptual de las fórmulas antes mencionadas para las medidas de Mahler. Besser y Deninger (1999) y Deninger más tarde en 2009 trasladaron estas ideas al mundo p -ádico, reemplazando el mapa regulador de Beilinson con la cohomología de Deligne por un mapa regulador con la cohomología sintómica , y el logaritmo que aparece en la definición de la entropía por un logaritmo p -ádico .

En 2006 y 2007, Deninger y Klaus Schmidt impulsaron el paralelo entre la entropía y las medidas de Mahler más allá de los grupos abelianos, es decir, los grupos Γ , discretamente contables y residualmente finitos . Demostraron que la acción de Γ sobre X _f es expansiva si y sólo si f es invertible en el álgebra de convolución L 1 ^de Γ. Además, el logaritmo del determinante de Fuglede-Kadison en el álgebra de von Neumann NΓ asociado a Γ (que reemplaza la medida de Mahler para Z ⁿ ) concuerda con la entropía de la acción anterior.

Vectores de wit

Joachim Cuntz y Deninger trabajaron juntos en los vectores de Witt . En dos artículos alrededor de 2014, simplificaron la teoría al dar una presentación del anillo de vectores de Witt en términos de una finalización del álgebra monoide Z R. Este enfoque evita los polinomios universales utilizados en la definición clásica de la suma de vectores de Witt.

Bibliografía seleccionada

Dualidad Artin-Verdier

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enlaces externos

• Sitio web de la Universidad de Münster