Correspondencia nobeliana de Hodge

Correspondencia entre los haces de Higgs y las representaciones de los grupos fundamentales

En geometría algebraica y geometría diferencial , la correspondencia de Hodge no abeliana o correspondencia de Corlette-Simpson (llamada así en honor a Kevin Corlette y Carlos Simpson ) es una correspondencia entre los fibrados de Higgs y las representaciones del grupo fundamental de una variedad algebraica compleja proyectiva suave , o una variedad compacta de Kähler .

El teorema puede considerarse una amplia generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri , que define una correspondencia entre fibrados vectoriales estables y representaciones unitarias del grupo fundamental de una superficie compacta de Riemann . De hecho, el teorema de Narasimhan-Seshadri puede obtenerse como un caso especial de la correspondencia de Hodge no abeliana fijando el campo de Higgs en cero.

Historia

En 1965, MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron que los fibrados vectoriales estables en una superficie compacta de Riemann corresponden a representaciones unitarias proyectivas irreducibles del grupo fundamental. ^[1] Este teorema fue formulado bajo una nueva luz en el trabajo de Simon Donaldson en 1983, quien demostró que los fibrados vectoriales estables corresponden a conexiones de Yang–Mills , cuya holonomía da las representaciones del grupo fundamental de Narasimhan y Seshadri. ^[2] El teorema de Narasimhan–Seshadri fue generalizado desde el caso de superficies compactas de Riemann al escenario de variedades de Kähler compactas por Donaldson en el caso de superficies algebraicas, y en general por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau . ^{[3] [4]} Esta correspondencia entre fibrados vectoriales estables y conexiones hermíticas de Yang–Mills se conoce como la correspondencia de Kobayashi–Hitchin .

El teorema de Narasimhan-Seshadri se ocupa de las representaciones unitarias del grupo fundamental. Nigel Hitchin introdujo la noción de fibrado de Higgs como un objeto algebraico que debería corresponder a representaciones complejas del grupo fundamental (de hecho, la terminología "fibrado de Higgs" fue introducida por Carlos Simpson después del trabajo de Hitchin). La primera instancia del teorema de Hodge no abeliano fue demostrada por Hitchin, quien consideró el caso de fibrados de Higgs de rango dos sobre una superficie compacta de Riemann. ^[5] Hitchin demostró que un fibrado de Higgs poliestable corresponde a una solución de las ecuaciones de Hitchin , un sistema de ecuaciones diferenciales obtenido como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills a dimensión dos. En este caso, Donaldson demostró que las soluciones de las ecuaciones de Hitchin se corresponden con representaciones del grupo fundamental. ^[6]

Los resultados de Hitchin y Donaldson para los fibrados de Higgs de rango dos en una superficie compacta de Riemann fueron ampliamente generalizados por Carlos Simpson y Kevin Corlette. La afirmación de que los fibrados de Higgs poliestables corresponden a soluciones de las ecuaciones de Hitchin fue demostrada por Simpson. ^{[7] [8]} La correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Hitchin y las representaciones del grupo fundamental fue demostrada por Corlette. ^[9]

Definiciones

En esta sección recordamos los objetos de interés del teorema de Hodge no abeliano. ^{[7] [8]}

haces de Higgs

Un fibrado de Higgs sobre una variedad compacta de Kähler es un par donde es un fibrado vectorial holomorfo y es una forma holomorfa valuada en , llamada campo de Higgs . Además, el campo de Higgs debe satisfacer . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$

Un fibrado de Higgs es (semi)estable si, para cada subhaz coherente propio y distinto de cero que es preservado por el campo de Higgs, de modo que , se tiene ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$

$${\displaystyle {\frac {\deg({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$$Este número racional se denomina pendiente , se denota por , y la definición anterior refleja la de un fibrado vectorial estable . Un fibrado de Higgs es poliestable si es una suma directa de fibrados de Higgs estables de la misma pendiente y, por lo tanto, es semiestable. ${\displaystyle \mu (E)}$

Conexiones hermíticas de Yang-Mills y ecuaciones de Hitchin

La generalización de la ecuación de Hitchin a una dimensión superior puede expresarse como un análogo de las ecuaciones hermíticas de Yang-Mills para una cierta conexión construida a partir del par . Una métrica hermítica en un fibrado de Higgs da lugar a una conexión de Chern y una curvatura . La condición de que sea holomorfa puede expresarse como . Las ecuaciones de Hitchin, en una superficie compacta de Riemann, establecen que para una constante . En dimensiones superiores, estas ecuaciones se generalizan de la siguiente manera. Defina una conexión en por . Se dice que esta conexión es una conexión hermítica de Yang-Mills (y la métrica una métrica hermítica de Yang-Mills ) si Esto se reduce a las ecuaciones de Hitchin para una superficie compacta de Riemann. Nótese que la conexión no es una conexión hermítica de Yang-Mills en el sentido habitual, ya que no es unitaria, y la condición anterior es un análogo no unitario de la condición HYM normal. ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0}$ $${\displaystyle {\begin{cases}&F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname {Id} _{E}\\&{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \lambda =-2\pi i\mu (E)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}}$ $${\displaystyle \Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatorname {Id} _{E}.}$$ ${\displaystyle D}$

Representaciones del grupo fundamental y métricas armónicas

Una representación del grupo fundamental da lugar a un fibrado vectorial con conexión plana como sigue. La cubierta universal de es un fibrado principal sobre con grupo de estructura . Por lo tanto, hay un fibrado asociado a dado por Este fibrado vectorial viene naturalmente equipado con una conexión plana . Si es una métrica hermítica en , defina un operador como sigue. Descomponga en operadores de tipo y , respectivamente. Sea el único operador de tipo tal que la -conexión preserva la métrica . Defina , y haga . Defina la pseudocurvatura de como . ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ $${\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D_{h}''}$ ${\displaystyle D=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle A'+{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Phi =(\partial -A')/2}$ ${\displaystyle D_{h}''={\bar {\partial }}+\Phi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{h}=(D_{h}'')^{2}}$

Se dice que la métrica es armónica si Nótese que la condición es equivalente a las tres condiciones , por lo que si entonces el par define un haz de Higgs con estructura holomorfa en dada por el operador Dolbeault . ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Lambda _{\omega }G_{h}=0.}$$ ${\displaystyle G_{h}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0}$ ${\displaystyle G_{h}=0}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Un resultado de Corlette es que si es armónico, entonces se satisface automáticamente y da lugar a un haz de Higgs. ^[9] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G_{h}=0}$

Espacios de módulos

Para cada uno de los tres conceptos: fibrado de Higgs, conexiones planas y representaciones del grupo fundamental, se puede definir un espacio de módulos . Esto requiere una noción de isomorfismo entre estos objetos. A continuación, fijemos un fibrado vectorial complejo liso . Se considerará que cada fibrado de Higgs tiene el fibrado vectorial liso subyacente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

• (Fibrados de Higgs) El grupo de transformaciones de norma complejas actúa sobre el conjunto de fibrados de Higgs por la fórmula . Si y denotan los subconjuntos de fibrados de Higgs semiestables y estables, respectivamente, entonces se obtienen espacios de módulos donde estos cocientes se toman en el sentido de la teoría de invariantes geométricos , por lo que las órbitas cuyos cierres se intersecan se identifican en el espacio de módulos. Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de Dolbeault . Nótese que al establecer , se obtienen como subconjuntos los espacios de módulos de fibrados vectoriales holomórficos semiestables y estables y . También es cierto que si se define el espacio de módulos de fibrados de Higgs poliestables, entonces este espacio es isomorfo al espacio de fibrados de Higgs semiestables, ya que cada órbita de norma de fibrados de Higgs semiestables contiene en su cierre una órbita única de fibrados de Higgs poliestables. ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g\cdot (E,\Phi )=(g\cdot E,g\Phi g^{-1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{ss}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ $${\displaystyle M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}}}$$ ${\displaystyle \Phi =0}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}}$ ${\displaystyle M_{Dol}^{ps}}$
• (Conexiones planas) Las transformaciones de calibración complejas de grupo también actúan sobre el conjunto de conexiones planas en el fibrado vectorial liso . Defina los espacios de módulos donde denota el subconjunto que consiste en conexiones planas irreducibles que no se descomponen como una suma directa en alguna división del fibrado vectorial liso . Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de De Rham . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}}$ ${\displaystyle E=E_{1}\oplus E_{2}}$ ${\displaystyle E}$
• (Representaciones) El conjunto de representaciones del grupo fundamental de es afectado por el grupo lineal general por conjugación de representaciones. Denote por los superíndices y los subconjuntos que consisten en representaciones semisimples y representaciones irreducibles respectivamente. Luego defina espacios de módulos de representaciones semisimples e irreducibles, respectivamente. Estos cocientes se toman en el sentido de la teoría de invariantes geométricos , donde dos órbitas se identifican si sus clausuras se intersecan. Estos espacios de módulos se denominan espacios de módulos de Betti . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle M_{B}^{+}=\operatorname {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))//G,\qquad M_{B}^{*}=\operatorname {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))/G}$$

Declaración

El teorema de Hodge no abeliano se puede dividir en dos partes. La primera parte fue demostrada por Donaldson en el caso de fibrados de Higgs de rango dos sobre una superficie compacta de Riemann, y en general por Corlette. ^{[6] [9]} En general, el teorema de Hodge no abeliano se cumple para una variedad proyectiva compleja suave , pero algunas partes de la correspondencia se cumplen con mayor generalidad para variedades de Kähler compactas. ${\displaystyle X}$

Teorema de Hodge no abeliano (parte 1)  —  Una representación del grupo fundamental es semisimple si y solo si el fibrado vectorial plano admite una métrica armónica. Además, la representación es irreducible si y solo si el fibrado vectorial plano es irreducible. ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}}$

La segunda parte del teorema fue demostrada por Hitchin en el caso de fibrados de Higgs de rango dos en una superficie compacta de Riemann, y en general por Simpson. ^{[5] [7] [8]}

Teorema de Hodge no abeliano (parte 2)  —  Un fibrado de Higgs tiene una métrica hermítica de Yang-Mills si y solo si es poliestable. Esta métrica es una métrica armónica y, por lo tanto, surge de una representación semisimple del grupo fundamental, si y solo si las clases de Chern y se anulan. Además, un fibrado de Higgs es estable si y solo si admite una conexión hermítica de Yang-Mills irreducible y, por lo tanto, proviene de una representación irreducible del grupo fundamental. ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(E)}$

En conjunto, la correspondencia puede resumirse de la siguiente manera:

Teorema de Hodge no abeliano  :  un fibrado de Higgs (que es topológicamente trivial) surge de una representación semisimple del grupo fundamental si y solo si es poliestable. Además, surge de una representación irreducible si y solo si es estable.

En términos de espacios de módulos

La correspondencia no abeliana de Hodge no sólo da una biyección de conjuntos, sino también homeomorfismos de espacios de módulos. De hecho, si dos fibrados de Higgs son isomorfos, en el sentido de que pueden relacionarse mediante una transformación de norma y, por lo tanto, corresponden al mismo punto en el espacio de módulos de Dolbeault, entonces las representaciones asociadas también serán isomorfas y darán el mismo punto en el espacio de módulos de Betti. En términos de los espacios de módulos, el teorema no abeliano de Hodge puede formularse de la siguiente manera.

Teorema de Hodge no abeliano (versión del espacio de módulos)  —  Hay homeomorfismos de espacios de módulos que se restringen a homeomorfismos . ${\displaystyle M_{Dol}^{ss}\cong M_{dR}\cong M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{Dol}^{s}\cong M_{dR}^{*}\cong M_{B}^{*}}$

En general, estos espacios de módulos no serán simplemente espacios topológicos , sino que tendrán alguna estructura adicional. Por ejemplo, el espacio de módulos de Dolbeault y el espacio de módulos de Betti son naturalmente variedades algebraicas complejas , y donde es suave, el espacio de módulos de De Rham es una variedad de Riemann. En el lugar geométrico común donde estos espacios de módulos son suaves, la función es un difeomorfismo, y dado que es una variedad compleja en el lugar geométrico suave, obtiene una estructura riemanniana y compleja compatible, y es, por lo tanto, una variedad de Kähler. ${\displaystyle M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{dR}}$ ${\displaystyle M_{dR}\to M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle M_{dR}}$

De manera similar, en el lugar geométrico liso, la función es un difeomorfismo. Sin embargo, aunque los espacios de módulos de Dolbeault y Betti tienen estructuras complejas naturales, no son isomorfos. De hecho, si se denotan (para las estructuras casi complejas integrables asociadas ) entonces . En particular, si se define una tercera estructura casi compleja por entonces . Si se combinan estas tres estructuras complejas con la métrica de Riemann que proviene de , entonces en el lugar geométrico liso los espacios de módulos se convierten en una variedad de Hyperkähler . ${\displaystyle M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle IJ=-JI}$ ${\displaystyle K=IJ}$ ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle M_{dR}}$

Relación con la correspondencia Hitchin-Kobayashi y las representaciones unitarias

Si se establece el campo de Higgs en cero, entonces un fibrado de Higgs es simplemente un fibrado vectorial holomorfo. Esto da lugar a una inclusión del espacio de módulos de fibrados vectoriales holomorfos semiestables en el espacio de módulos de fibrados de Higgs. La correspondencia de Hitchin-Kobayashi da lugar a una correspondencia entre fibrados vectoriales holomorfos y conexiones hermíticas de Yang-Mills sobre variedades de Kähler compactas y, por lo tanto, puede considerarse un caso especial de la correspondencia de Hodge no abeliana. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$

Cuando el fibrado vectorial subyacente es topológicamente trivial, la holonomía de una conexión hermítica de Yang–Mills dará lugar a una representación unitaria del grupo fundamental, . El subconjunto del espacio de módulos de Betti correspondiente a las representaciones unitarias, denotado , se mapeará isomórficamente sobre el espacio de módulos de fibrados vectoriales semiestables . ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {U} (r)}$ ${\displaystyle N_{B}^{+}}$ ${\displaystyle N_{Dol}^{ss}}$

Ejemplos

Haces de Higgs de rango uno en superficies compactas de Riemann

El caso especial donde el rango del fibrado vectorial subyacente es uno da lugar a una correspondencia más simple. ^[10] En primer lugar, cada fibrado lineal es estable, ya que no hay subhaces propios distintos de cero. En este caso, un fibrado de Higgs consiste en un par de fibrado lineal holomorfo y una forma -holomorfa, ya que el endomorfismo de un fibrado lineal es trivial. En particular, el campo de Higgs está desacoplado del fibrado lineal holomorfo, por lo que el espacio de módulos se dividirá como un producto, y la forma uno satisface automáticamente la condición . El grupo de calibración de un fibrado lineal es conmutativo, y por lo tanto actúa trivialmente en el campo de Higgs por conjugación. Por lo tanto, el espacio de módulos puede identificarse como un producto de la variedad jacobiana de , clasificando todos los fibrados lineales holomorfos hasta el isomorfismo, y el espacio vectorial de las formas -holomorfas . ${\displaystyle (L,\Phi )}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle M_{Dol}}$ ${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle M_{Dol}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$

En el caso de fibrados de Higgs de rango uno en superficies compactas de Riemann, se obtiene una descripción adicional del espacio de módulos. El grupo fundamental de una superficie compacta de Riemann, un grupo de superficies , viene dado por donde es el género de la superficie de Riemann. Las representaciones de en el grupo lineal general vienen dadas, por tanto, por -tuplas de números complejos distintos de cero: Como es abeliano, la conjugación en este espacio es trivial, y el espacio de módulos de Betti es . Por otro lado, por la dualidad de Serre , el espacio de las -formas holomorfas es dual a la cohomología de haces . La variedad jacobiana es una variedad abeliana dada por el cociente , por lo que tiene espacios tangentes dados por el espacio vectorial , y fibrado cotangente Es decir, el espacio de módulos de Dolbeault, el espacio de módulos de fibrados lineales de Higgs holomorfos, es simplemente el fibrado cotangente al jacobiano, el espacio de módulos de fibrados lineales holomorfos. La correspondencia de Hodge no abeliana da por tanto un difeomorfismo que no es un biholomorfismo. Se puede comprobar que las estructuras complejas naturales en estos dos espacios son diferentes y satisfacen la relación , dando una estructura hiperkähler en el fibrado cotangente al jacobiano. $${\displaystyle \pi _{1}(X)=\langle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}\mid [a_{1},b_{1}]\cdots [a_{g},b_{g}]=e\rangle }$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (1,\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 2g}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} ^{*})=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M_{B}=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle \operatorname {Jac} (X)={\frac {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}{H^{1}(X,\mathbb {Z} )}},}$$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)=\operatorname {Jac} (X)\times H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})^{*}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})=M_{Dol}.}$$ $${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)\cong (\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$$ ${\displaystyle IJ=-JI}$

Generalizaciones

Es posible definir la noción de un fibrado principal de Higgs para un grupo algebraico reductivo complejo , una versión de los fibrados de Higgs en la categoría de fibrados principales . Existe una noción de fibrado principal estable , y se puede definir un fibrado principal de Higgs estable. Una versión del teorema de Hodge no abeliano se aplica a estos objetos, relacionando los fibrados principales de Higgs con representaciones del grupo fundamental en . ^{[7] [8] [11]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Teoría no abeliana de Hodge

La correspondencia entre los fibrados de Higgs y las representaciones del grupo fundamental puede expresarse como una especie de teorema de Hodge no abeliano , es decir, una analogía de la descomposición de Hodge de una variedad de Kähler , pero con coeficientes en el grupo no abeliano en lugar del grupo abeliano . La exposición aquí sigue la discusión de Oscar García-Prada en el apéndice de Análisis diferencial en variedades complejas de Wells . ^[12] ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Descomposición de Hodge

La descomposición de Hodge de una variedad compacta de Kähler descompone la cohomología de De Rham compleja en la cohomología de Dolbeault más fina :

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{Dol}^{p,q}(X).}$$

En el grado uno esto da una suma directa

$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )=H^{0,1}(X)\oplus H^{1,0}(X)\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$

donde hemos aplicado el teorema de Dolbeault para expresar la cohomología de Dolbeault en términos de cohomología de haces del haz de formas holomorfas y el haz de estructuras de funciones holomorfas en . ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Cohomología no abeliana

Al construir la cohomología de haces , el coeficiente haces siempre es un haz de grupos abelianos. Esto se debe a que, para un grupo abeliano, cada subgrupo es normal , por lo que el grupo cociente de cociclos de haces por colímites de haces siempre está bien definido. Cuando el haz no es abeliano, estos cocientes no están necesariamente bien definidos, por lo que no existen teorías de cohomología de haces, excepto en los siguientes casos especiales: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\check {H}}^{k}(X,{\mathcal {F}})=Z^{k}(X,{\mathcal {F}})/B^{k}(X,{\mathcal {F}})}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle k=0}$:El grupo de cohomología del haz 0 es siempre el espacio de las secciones globales del haz , por lo que siempre está bien definido incluso si no es abeliano. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=1}$:El primer conjunto de cohomología de haces está bien definido para un haz no abeliano , pero no es en sí mismo un grupo cociente . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=2}$:En algunos casos especiales, se puede definir un análogo de la cohomología de haces de segundo grado para haces no abelianos utilizando la teoría de gerbes .

Un ejemplo clave de cohomología no abeliana ocurre cuando el haz de coeficientes es , el haz de funciones holomorfas en el grupo lineal general complejo . En este caso es un hecho bien conocido de la cohomología de Čech que el conjunto de cohomología está en correspondencia biunívoca con el conjunto de fibrados vectoriales holomorfos de rango en , salvo isomorfismo. Nótese que hay un fibrado vectorial holomorfo distinguido de rango , el fibrado vectorial trivial, por lo que este es en realidad un conjunto puntiagudo de cohomología . En el caso especial, el grupo lineal general es el grupo abeliano de números complejos distintos de cero con respecto a la multiplicación. En este caso se obtiene el grupo de fibrados lineales holomorfos hasta isomorfismo, también conocido como el grupo de Picard . ${\displaystyle {\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Teorema de Hodge no abeliano

El primer grupo de cohomología es isomorfo al grupo de homomorfismos del grupo fundamental a . Esto se puede entender, por ejemplo, aplicando el teorema de Hurewicz . Por lo tanto, la descomposición regular de Hodge mencionada anteriormente se puede expresar como ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} )\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

La correspondencia de Hodge no abeliana proporciona una analogía de esta afirmación del teorema de Hodge para la cohomología no abeliana, como sigue. Un fibrado de Higgs consiste en un par donde es un fibrado vectorial holomorfo, y es una forma holomorfa, con valor de endomorfismo . El fibrado vectorial holomorfo puede identificarse con un elemento de como se mencionó anteriormente. Por lo tanto, un fibrado de Higgs puede considerarse como un elemento del producto directo ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Phi \in H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$

$${\displaystyle (E,\Phi )\in {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

La correspondencia de Hodge no abeliana da un isomorfismo desde el espacio de módulos de las representaciones del grupo fundamental al espacio de módulos de los fibrados de Higgs, que por lo tanto podría escribirse como un isomorfismo. ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))\cong {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

Esto puede verse como una analogía de la descomposición regular de Hodge anterior. El espacio de módulos de representaciones desempeña el papel de la primera cohomología de con coeficientes no abelianos, el conjunto de cohomología desempeña el papel del espacio y el grupo desempeña el papel de las formas (1,0) holomorfas . ${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$

El isomorfismo aquí se escribe , pero este no es un isomorfismo real de conjuntos, ya que el espacio de módulos de los fibrados de Higgs no está dado literalmente por la suma directa anterior, ya que esto es solo una analogía. ${\displaystyle \cong }$

Estructura de Hodge

El espacio de módulos de los fibrados de Higgs semiestables tiene una acción natural del grupo multiplicativo , dada por el escalamiento del campo de Higgs: para . Para la cohomología abeliana, tal acción da lugar a una estructura de Hodge , que es una generalización de la descomposición de Hodge de la cohomología de una variedad compacta de Kähler. Una forma de entender el teorema de Hodge no abeliano es utilizar la acción sobre el espacio de módulos para obtener una filtración de Hodge. Esto puede conducir a nuevos invariantes topológicos de la variedad subyacente . Por ejemplo, de esta manera se obtienen restricciones sobre qué grupos pueden aparecer como grupos fundamentales de variedades compactas de Kähler. ^[7] ${\displaystyle M_{Dol}^{ss}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \cdot (E,\Phi )=(E,\lambda \Phi )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M_{B}^{+}}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

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