En matemáticas , un fibrado de Higgs es un par formado por un fibrado vectorial holomorfo E y un campo de Higgs , una 1-forma holomorfa que toma valores en el fibrado de endomorfismos de E tales que . Dichos pares fueron introducidos por Nigel Hitchin (1987), [1] quien nombró al campo en honor a Peter Higgs debido a una analogía con los bosones de Higgs. El término 'fibrado de Higgs' y la condición (que es nula en la configuración original de Hitchin sobre superficies de Riemann ) fueron introducidos posteriormente por Carlos Simpson . [2]
Un fibrado de Higgs puede considerarse como una "versión simplificada" de una conexión holomorfa plana sobre un fibrado vectorial holomorfo, donde la derivada se escala a cero. La correspondencia de Hodge no abeliana dice que, en condiciones de estabilidad adecuadas, la categoría de conexiones holomorfas planas sobre una variedad algebraica compleja proyectiva suave , la categoría de representaciones del grupo fundamental de la variedad y la categoría de fibrados de Higgs sobre esta variedad son en realidad equivalentes. Por lo tanto, se pueden deducir resultados sobre la teoría de calibración con conexiones planas trabajando con los fibrados de Higgs más simples.
Los fibrados de Higgs fueron introducidos por primera vez por Hitchin en 1987, [1] para el caso específico en el que el fibrado vectorial holomorfo E se encuentra sobre una superficie compacta de Riemann . Además, el artículo de Hitchin analiza principalmente el caso en el que el fibrado vectorial es de rango 2 (es decir, la fibra es un espacio vectorial bidimensional). El fibrado vectorial de rango 2 surge como el espacio de solución de las ecuaciones de Hitchin para un fibrado principal SU(2) .
La teoría sobre superficies de Riemann fue generalizada por Carlos Simpson al caso donde la variedad base es compacta y Kähler . Restringiendo al caso de dimensión uno se recupera la teoría de Hitchin.
De particular interés en la teoría de los fibrados de Higgs es la noción de fibrado de Higgs estable . Para ello, primero se deben definir subfibrados invariantes.
En la discusión original de Hitchin, un subfibrado de rango 1 etiquetado como L es -invariante si con el fibrado canónico sobre la superficie de Riemann M . Entonces un fibrado de Higgs es estable si, para cada subfibrado invariante de , siendo la noción usual de grado para un fibrado vectorial complejo sobre una superficie de Riemann.
