Espacio anillado

Haz de anillos en matemáticas

En matemáticas , un espacio anillado es una familia de anillos ( conmutativos ) parametrizados por subconjuntos abiertos de un espacio topológico junto con homomorfismos de anillos que desempeñan funciones de restricciones . Precisamente, se trata de un espacio topológico dotado de un haz de anillos denominado haz de estructura . Se trata de una abstracción del concepto de anillos de funciones continuas (con valores escalares) sobre subconjuntos abiertos.

Entre los espacios anillados, especialmente importante y prominente es un espacio anillado localmente : un espacio anillado en el que es válida la analogía entre el tallo en un punto y el anillo de gérmenes de funciones en un punto.

Los espacios anillados aparecen tanto en el análisis como en la geometría algebraica compleja y en la teoría de esquemas de la geometría algebraica .

Nota : En la definición de un espacio anillado, la mayoría de las exposiciones tienden a restringir los anillos a ser anillos conmutativos , incluidos Hartshorne y Wikipedia. Elementos de geometría algébrica , por otro lado, no impone el supuesto de conmutatividad, aunque el libro considera principalmente el caso conmutativo. ^[1]

Definiciones

Un espacio anillado es un espacio topológico junto con un haz de anillos en . El haz se denomina haz de estructura de . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio anillado localmente es un espacio anillado tal que todos los tallos de son anillos locales (es decir, tienen ideales maximales únicos ). Nótese que no se requiere que sea un anillo local para cada conjunto abierto ; de hecho, este casi nunca es el caso. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Ejemplos

Un espacio topológico arbitrario puede considerarse un espacio anillado localmente tomando como el haz de funciones continuas de valor real (o de valor complejo ) en subconjuntos abiertos de . El tallo en un punto puede considerarse como el conjunto de todos los gérmenes de funciones continuas en ; este es un anillo local con el ideal máximo único que consiste en aquellos gérmenes cuyo valor en es . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Si es una variedad con alguna estructura extra, también podemos tomar el haz de funciones diferenciables u holomorfas . Ambas dan lugar a espacios anillados localmente. ${\displaystyle X}$

Si es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski , podemos definir un espacio anillado localmente tomando como el anillo de aplicaciones racionales definidas en el conjunto abierto de Zariski que no explotan (se vuelven infinitas) dentro de . La generalización importante de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo conmutativo; estos espectros también son espacios anillados localmente. Los esquemas son espacios anillados localmente obtenidos al "pegar" espectros de anillos conmutativos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Morfismos

Un morfismo de a es un par , donde es una función continua entre los espacios topológicos subyacentes, y es un morfismo del haz de estructura de a la imagen directa del haz de estructura de X . En otras palabras, un morfismo de a viene dado por los siguientes datos: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f,\varphi )}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

• un mapa continuo ${\displaystyle f:X\to Y}$
• una familia de homomorfismos de anillo para cada conjunto abierto de que conmutan con las funciones de restricción. Es decir, si son dos subconjuntos abiertos de , entonces el siguiente diagrama debe conmutar (las funciones verticales son los homomorfismos de restricción): ${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Existe un requisito adicional para los morfismos entre espacios anillados localmente :

• Los homomorfismos de anillo inducidos por entre los tallos de y los tallos de deben ser homomorfismos locales , es decir, para cada el ideal máximo del anillo local (tallo) en se mapea en el ideal máximo del anillo local en . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Se pueden componer dos morfismos para formar un nuevo morfismo, y se obtiene la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios localmente anillados. Los isomorfismos en estas categorías se definen de la forma habitual.

Espacios tangentes

Los espacios anillados localmente tienen la estructura justa para permitir la definición significativa de espacios tangentes . Sea un espacio anillado localmente con estructura haz ; queremos definir el espacio tangente en el punto . Tome el anillo local (tallo) en el punto , con ideal máximo . Entonces es un cuerpo y es un espacio vectorial sobre ese cuerpo (el espacio cotangente ). El espacio tangente se define como el dual de este espacio vectorial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}(X)}$

La idea es la siguiente: un vector tangente en debería decirte cómo "diferenciar" "funciones" en , es decir, los elementos de . Ahora basta con saber cómo diferenciar funciones cuyo valor en es cero, ya que todas las demás funciones difieren de estas solo por una constante, y sabemos cómo diferenciar constantes. Así que solo necesitamos considerar . Además, si se dan dos funciones con valor cero en , entonces su producto tiene derivada 0 en , por la regla del producto . Así que solo necesitamos saber cómo asignar "números" a los elementos de , y esto es lo que hace el espacio dual. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

Módulos sobre la estructura de vigas

Dado un espacio anillado localmente , en las aplicaciones se dan ciertos haces de módulos en , los -módulos. Para definirlos, considere un haz de grupos abelianos en . Si es un módulo sobre el anillo para cada conjunto abierto en , y las funciones de restricción son compatibles con la estructura del módulo, entonces llamamos a un -módulo. En este caso, el tallo de en será un módulo sobre el anillo local (tallo) , para cada . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Un morfismo entre dos de estos -módulos es un morfismo de haces que es compatible con las estructuras de módulos dadas. La categoría de -módulos sobre un espacio fijo anillado localmente es una categoría abeliana . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Una subcategoría importante de la categoría de -módulos es la categoría de haces cuasi-coherentes en . Un haz de -módulos se llama cuasi-coherente si es, localmente, isomorfo al co-núcleo de una función entre -módulos libres. Un haz coherente es un haz cuasi-coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada subconjunto abierto del núcleo de cualquier morfismo desde un -módulo libre de rango finito hasta también es de tipo finito. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{U}}$

Citas

1. Éléments de géométrie algébrique , Capítulo 0, 4.1.1.

Referencias

• Sección 0.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

Enlaces externos

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio anillado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press