Los Elementos de geometría algebraica ( EGA ; del francés : «Elementos de geometría algebraica ») de Alexander Grothendieck (con la ayuda de Jean Dieudonné ) es un tratado riguroso sobre geometría algebraica que se publicó (en ocho partes o fascículos ) entre 1960 y 1967 por el Institut des Hautes Études Scientifiques . En él, Grothendieck estableció fundamentos sistemáticos de la geometría algebraica, basándose en el concepto de esquemas , que él mismo definió. La obra se considera ahora la base y la referencia básica de la geometría algebraica moderna.
Inicialmente se planificaron trece capítulos, pero sólo se publicaron los cuatro primeros (que suman un total de aproximadamente 1500 páginas). Gran parte del material que se habría encontrado en los capítulos siguientes se puede encontrar, de forma menos pulida, en el Séminaire de géométrie algébrique (conocido como SGA ). De hecho, como explicó Grothendieck en el prefacio de la versión publicada de SGA , en 1970 había quedado claro que incorporar todo el material planeado en EGA requeriría cambios significativos en los capítulos anteriores ya publicados y que, por lo tanto, las perspectivas de completar EGA en el corto plazo eran limitadas. Un ejemplo obvio lo proporcionan las categorías derivadas , que se convirtieron en una herramienta indispensable en los volúmenes posteriores de SGA , pero que aún no se utilizaron en EGA III porque la teoría aún no estaba desarrollada en ese momento. Por lo tanto, se dedicó un esfuerzo considerable para llevar los volúmenes publicados de SGA a un alto grado de integridad y rigor. Antes de que se abandonara el trabajo sobre el tratado, hubo planes en 1966-67 para ampliar el grupo de autores para incluir a los estudiantes de Grothendieck, Pierre Deligne y Michel Raynaud , como lo demuestra la correspondencia publicada entre Grothendieck y David Mumford . [1] La carta de Grothendieck del 4 de noviembre de 1966 a Mumford también indica que la estructura revisada de la segunda edición ya estaba en su lugar en ese momento, con el Capítulo VIII ya destinado a cubrir el esquema de Picard . En esa carta, estimó que al ritmo de escritura hasta ese momento, los siguientes cuatro capítulos (V a VIII) habrían tardado ocho años en completarse, lo que indica una extensión prevista comparable a los primeros cuatro capítulos, que habían estado en preparación durante aproximadamente ocho años en ese momento.
Grothendieck, sin embargo, escribió una versión revisada de EGA I que fue publicada por Springer-Verlag . En ella se actualiza la terminología, reemplazando "preesquema" por "esquema" y "esquema" por "esquema separado", y se enfatiza fuertemente el uso de funtores representables . El nuevo prefacio de la segunda edición también incluye un plan ligeramente revisado del tratado completo, ahora dividido en doce capítulos.
El volumen EGA V de Grothendieck , que trata de los teoremas de tipo Bertini, está disponible hasta cierto punto en el sitio web del Círculo Grothendieck. La revista Monografie Matematyczne de Polonia ha aceptado publicar este volumen, pero el proceso de edición es bastante lento (a fecha de 2010). James Milne ha conservado algunas de las notas originales de Grothendieck y una traducción de las mismas al inglés. Pueden estar disponibles en sus sitios web relacionados con la Universidad de Michigan en Ann Arbor .
La siguiente tabla presenta el plan original y revisado del tratado e indica dónde (en SGA o en otro lugar) los temas previstos para los capítulos posteriores no publicados fueron tratados por Grothendieck y sus colaboradores.
Además de los capítulos propiamente dichos, se dividió un extenso "Capítulo 0" sobre diversos preliminares entre los volúmenes en los que apareció el tratado. Los temas tratados abarcan desde la teoría de categorías , la teoría de haces y la topología general hasta el álgebra conmutativa y el álgebra homológica . La parte más larga del Capítulo 0, adjunta al Capítulo IV, tiene más de 200 páginas.
Grothendieck nunca dio permiso para que se reeditara la segunda edición de EGA I , por lo que las copias son escasas pero se encuentran en muchas bibliotecas. El trabajo sobre EGA finalmente se vio interrumpido por la salida de Grothendieck, primero del IHÉS en 1970 y poco después del mundo de las matemáticas. Las notas incompletas de Grothendieck sobre EGA V se pueden encontrar en Grothendieck Circle.
En términos históricos, el desarrollo del enfoque EGA marcó el comienzo de la aplicación de la teoría de haces a la geometría algebraica, iniciada por el artículo básico FAC de Serre . También contenía la primera exposición completa del enfoque algebraico al cálculo diferencial, a través de las partes principales. La unificación fundamental que proponía (véase, por ejemplo, teorías unificadoras en matemáticas ) ha resistido la prueba del tiempo.
EGA ha sido escaneada por NUMDAM y está disponible en su sitio web en "Publications mathématiques de l'IHÉS", volúmenes 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV.1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) y 32 (EGAIV.4e).