Grupo fundamental de Étale

Concepto topológico en geometría algebraica

El grupo étale o grupo fundamental algebraico es un análogo en geometría algebraica , para esquemas , del grupo fundamental usual de espacios topológicos .

Discusión topológica analógica/informal

En topología algebraica , el grupo fundamental de un espacio topológico puntiagudo se define como el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en . Esta definición funciona bien para espacios como variedades reales y complejas , pero da resultados indeseables para una variedad algebraica con la topología de Zariski . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle x}$

En la clasificación de los espacios de recubrimiento , se muestra que el grupo fundamental es exactamente el grupo de transformaciones de cubierta del espacio de recubrimiento universal . Esto es más prometedor: los morfismos étale finitos de variedades algebraicas son el análogo apropiado de los espacios de recubrimiento de los espacios topológicos. Desafortunadamente, una variedad algebraica a menudo no tiene una "cobertura universal" que sea finita sobre , por lo que se debe considerar toda la categoría de recubrimientos étale finitos de . Entonces se puede definir el grupo fundamental étale como un límite inverso de los grupos de automorfismos finitos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición formal

Sea un esquema conexo y localmente noetheriano , sea un punto geométrico de y sea la categoría de pares tal que es un morfismo étale finito de un esquema Los morfismos en esta categoría son morfismos como esquemas sobre Esta categoría tiene un funtor natural para la categoría de conjuntos, a saber, el funtor: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (Y,f)}$ ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$ ${\displaystyle X.}$

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

geométricamente esta es la fibra de sobre y abstractamente es el funtor de Yoneda representado por en la categoría de esquemas sobre . El funtor no es típicamente representable en ; sin embargo, es pro-representable en , de hecho por las cubiertas de Galois de . Esto significa que tenemos un sistema proyectivo en , indexado por un conjunto dirigido donde los son cubiertas de Galois de , es decir, esquemas étale finitos sobre tales que . ^[1] También significa que hemos dado un isomorfismo de funtores: ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)}$

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}$.

En particular, tenemos un punto marcado del sistema proyectivo. ${\displaystyle P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})}$

Para dos de estos, la función induce un homomorfismo de grupo que produce un sistema proyectivo de grupos de automorfismos a partir del sistema proyectivo . Entonces, hacemos la siguiente definición: el grupo fundamental étale de at es el límite inverso: ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$ ${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),}$

con la topología límite inversa.

El funtor es ahora un funtor de a la categoría de conjuntos finitos y continuos y establece una equivalencia de categorías entre y la categoría de conjuntos finitos y continuos. ^[2] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

Ejemplos y teoremas

El ejemplo más básico de es el grupo fundamental étale de un cuerpo . Esencialmente, por definición, se puede demostrar que el grupo fundamental de es isomorfo al grupo absoluto de Galois . Más precisamente, la elección de un punto geométrico de es equivalente a dar un campo de extensión cerrado separablemente , y el grupo fundamental étale con respecto a ese punto base se identifica con el grupo de Galois . Esta interpretación del grupo de Galois se conoce como la teoría de Galois de Grothendieck . ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spec} k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

De manera más general, para cualquier variedad geométricamente conexa sobre un cuerpo (es decir, es tal que es conexa) existe una secuencia exacta de grupos profinitos : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.}$

Esquemas sobre un campo de característica cero

Para un esquema que es de tipo finito sobre , los números complejos, hay una relación estrecha entre el grupo fundamental étale de y el grupo fundamental topológico usual de , el espacio analítico complejo adjunto a . El grupo fundamental algebraico, como se le llama típicamente en este caso, es la completitud profinita de . Esto es una consecuencia del teorema de existencia de Riemann, que dice que todos los recubrimientos étale finitos de se derivan de unos de . En particular, como el grupo fundamental de curvas suaves sobre (es decir, superficies de Riemann abiertas ) se entiende bien; esto determina el grupo fundamental algebraico. Más generalmente, el grupo fundamental de un esquema propio sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero es conocido, porque una extensión de cuerpos algebraicamente cerrados induce grupos fundamentales isomorfos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Esquemas sobre un campo de característica positiva y el grupo fundamental domesticado

Para un cuerpo algebraicamente cerrado de característica positiva, los resultados son diferentes, ya que existen recubrimientos Artin-Schreier en esta situación. Por ejemplo, el grupo fundamental de la línea afín no está topológicamente finitamente generado . El grupo fundamental domesticado de algún esquema U es un cociente del grupo fundamental usual de que toma en cuenta solo recubrimientos que están ramificados domesticamente a lo largo de , donde es alguna compactificación y es el complemento de en . ^{[3] [4]} Por ejemplo, el grupo fundamental domesticado de la línea afín es cero. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Esquemas afines sobre un cuerpo de característica p

Resulta que cada esquema afín es un -espacio, en el sentido de que el tipo de homotopía étale de está completamente determinado por su grupo de homotopía étale. ^[5] Nótese que es un punto geométrico. ${\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$

Otros temas

Desde un punto de vista de teoría de categorías , el grupo fundamental es un funtor:

{ Variedades algebraicas puntiagudas } → { Grupos profinitos }.

El problema inverso de Galois plantea la pregunta de qué grupos pueden surgir como grupos fundamentales (o grupos de Galois de extensiones de campo). La geometría anabelina , por ejemplo la conjetura de la sección de Grothendieck , busca identificar clases de variedades que están determinadas por sus grupos fundamentales. ^[6]

Friedlander (1982) estudia los grupos de homotopía étale superiores mediante el tipo de homotopía étale de un esquema.

El grupo fundamental pro-étale

Bhatt y Scholze (2015, §7) han introducido una variante del grupo fundamental étale llamada grupo fundamental pro-étale . Se construye considerando, en lugar de cubiertas étale finitas, funciones que son a la vez étale y satisfacen el criterio valuativo de propiedad . Para esquemas geométricamente unibranquiales (por ejemplo, esquemas normales), los dos enfoques coinciden, pero en general el grupo fundamental pro-étale es un invariante más fino: su completitud profinita es el grupo fundamental étale.

Véase también

• morfismo de estrella
• Grupo fundamental
• Esquema de grupo fundamental

Notas

1. JS Milne, Conferencias sobre cohomología de Étale , versión 2.21: 26-27
2. Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France , págs. xviii+327 , ver exp. V, IX, X, arXiv : math.AG/0206203 , ISBN  978-2-85629-141-2
3. Grothendieck, Alexander ; Murre, Jacob P. (1971), El grupo fundamental domesticado de un vecindario formal de un divisor con cruces normales en un esquema , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 208, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
4. Schmidt, Alexander (2002), "Revestimientos domesticados de esquemas aritméticos", Mathematische Annalen , 322 (1): 1–18, arXiv : math/0005310 , doi :10.1007/s002080100262, S2CID  29899627
5. Achinger, Piotr (noviembre de 2017). "Ramificación salvaje y espacios K(pi, 1)". Inventiones Mathematicae . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . doi :10.1007/s00222-017-0733-5. ISSN  0020-9910. S2CID  119146164.
6. (Tamagawa 1997)

Referencias

• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), "La topología pro-étale para esquemas", Astérisque : 99–201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode :2013arXiv1309.1198B, MR  3379634
• Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial schemes , Anales de estudios matemáticos, vol. 104, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08288-2
• Murre, JP (1967), Conferencias sobre una introducción a la teoría del grupo fundamental de Grothendieck , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR  0302650
• Tamagawa, Akio (1997), "La conjetura de Grothendieck para curvas afines", Compositio Mathematica , 109 (2): 135–194, doi : 10.1023/A:1000114400142 , MR  1478817
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