En matemáticas , una categoría tannakiana es un tipo particular de categoría monoidal C , equipada con alguna estructura adicional relativa a un cuerpo dado K. El papel de tales categorías C es generalizar la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K. Se han realizado varias aplicaciones importantes de la teoría, o podrían realizarse en la búsqueda de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica y la teoría de números contemporáneas .
El nombre proviene de la dualidad de Tadao Tannaka y Tannaka–Krein , una teoría sobre los grupos compactos G y su teoría de representación. La teoría fue desarrollada primero en la escuela de Alexander Grothendieck . Más tarde fue reconsiderada por Pierre Deligne y se le hicieron algunas simplificaciones. El patrón de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck , que es una teoría sobre las representaciones de permutación finita de los grupos G que son grupos profinitos .
La esencia de la teoría es que el funtor de fibra Φ de la teoría de Galois es reemplazado por un funtor tensorial exacto y fiel F de C a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre K . El grupo de transformaciones naturales de Φ a sí mismo, que resulta ser un grupo profinito en la teoría de Galois, es reemplazado por el grupo G de transformaciones naturales de F en sí mismo, que respetan la estructura tensorial. En general, este no es un grupo algebraico sino un esquema de grupo más general que es un límite inverso de grupos algebraicos (grupo proalgebraico), y entonces se descubre que C es equivalente a la categoría de representaciones lineales de dimensión finita de G .
En términos más generales, puede ser que los funtores de fibra F como los anteriores solo existan para categorías de espacios vectoriales de dimensión finita sobre campos de extensión no triviales L/K . En tales casos, el esquema de grupo G se reemplaza por una gerbe en el sitio fpqc de Spec( K ), y C es entonces equivalente a la categoría de representaciones (de dimensión finita) de .
Sea K un cuerpo y C una categoría tensorial rígida abeliana K -lineal (es decir, un monoidal simétrico ) tal que . Entonces C es una categoría de Tannakian (sobre K ) si existe un cuerpo de extensión L de K tal que existe un funtor tensorial exacto y fiel K -lineal (es decir, un funtor monoidal fuerte ) F desde C hasta la categoría de espacios vectoriales L de dimensión finita . Una categoría de Tannakian sobre K es neutral si existe dicho funtor tensorial exacto y fiel F con L=K . [1]
La construcción tannakiana se utiliza en las relaciones entre la estructura de Hodge y la representación l-ádica . Moralmente, la filosofía de los motivos nos dice que la estructura de Hodge y la representación de Galois asociada a una variedad algebraica están relacionadas entre sí. Los grupos algebraicos estrechamente relacionados, el grupo de Mumford-Tate y el grupo de Galois motívico , surgen de categorías de estructuras de Hodge, categorías de representaciones de Galois y motivos a través de categorías tannakianas. La conjetura de Mumford-Tate propone que los grupos algebraicos que surgen de la estructura de Hodge y la representación de Galois por medio de categorías tannakianas son isomorfos entre sí hasta componentes conexos.
Estas áreas de aplicación están estrechamente relacionadas con la teoría de los motivos . Otro lugar en el que se han utilizado las categorías de Tannaki es en relación con la conjetura de p-curvatura de Grothendieck-Katz ; en otras palabras, en la delimitación de grupos monodromía .
La equivalencia geométrica de Satake establece una equivalencia entre representaciones del grupo dual de Langlands de un grupo reductivo G y ciertos haces perversos equivariantes en el Grassmanniano afín asociado a G . Esta equivalencia proporciona una construcción no combinatoria del grupo dual de Langlands. Se demuestra mostrando que la categoría mencionada de haces perversos es una categoría de Tannakiana e identificando su grupo dual de Tannaka con .
Wedhorn (2004) ha establecido resultados parciales de dualidad de Tannaka en la situación en la que la categoría es R -lineal, donde R ya no es un campo (como en la dualidad clásica de Tannak), sino ciertos anillos de valoración . Iwanari (2018) ha iniciado y desarrollado la dualidad de Tannaka en el contexto de categorías infinitas .
