funtor de fibra

Los functores de fibra en teoría de categorías , topología y geometría algebraica se refieren a varios funtores poco relacionados que generalizan los functores tomando un espacio que cubre la fibra sobre un punto . ${\displaystyle \pi \colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$

Definición

Un funtor de fibra (o funtor de fibra ) es un concepto vago que tiene múltiples definiciones según el formalismo considerado. Una de las principales motivaciones iniciales de los functores de fibras proviene de la teoría Topos . ^[1] Recordemos que un topos es la categoría de gavillas sobre un sitio. Si un sitio es un solo objeto, como ocurre con un punto, entonces el topos del punto equivale a la categoría de conjuntos, . Si tenemos el topos de haces en un espacio topológico , denotado , entonces dar un punto en es equivalente a definir functores adjuntos ${\displaystyle {\mathfrak {Set}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}(X)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle a^{*}:{\mathfrak {T}}(X)\leftrightarrows {\mathfrak {Set}}:a_{*}}$

El funtor envía un haz a su fibra sobre el punto ; es decir, su tallo. ^[2] ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$

De cubrir espacios

Considere la categoría de cubrir espacios sobre un espacio topológico , denotado . Entonces, desde un punto sale un funtor de fibra ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {Set}}}$

enviando un espacio de cobertura a la fibra . Este functor tiene automorfismos provenientes de ya que el grupo fundamental actúa cubriendo espacios en un espacio topológico . En particular, actúa en el plató . De hecho, los únicos automorfismos de provienen de . ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\subset Y}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}_{x}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

Con topologías étale

Existe un análogo algebraico de cubrir espacios proveniente de la topología étale en un esquema conexo . El sitio subyacente consta de cubiertas de étale finitas, que son morfismos sobreyectivos planos finitos ^{[4] [5]} tales que la fibra sobre cada punto geométrico es el espectro de un álgebra de étale finita. Para un punto geométrico fijo , considere la fibra geométrica y sea el conjunto de puntos subyacente . Entonces, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \kappa (s)}$ ${\displaystyle {\overline {s}}:{\text{Spec}}(\Omega )\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}{\text{Spec}}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}(X)}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}:{\mathfrak {Fet}}_{S}\to {\mathfrak {Sets}}}$

es un functor de fibra donde está el topos de la topología de étale finita en . De hecho, es un teorema de Grothendieck que los automorfismos de forman un grupo profinito , denotado , e inducen una acción grupal continua sobre estos conjuntos finitos de fibras, dando una equivalencia entre las coberturas y los conjuntos finitos con tales acciones. ${\displaystyle {\mathfrak {Fet}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}_{\overline {s}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S,{\overline {s}})}$

De las categorías tannakianas

Otra clase de funtores de fibra provienen de realizaciones cohomológicas de motivos en geometría algebraica. Por ejemplo, el funtor de cohomología de De Rham envía un motivo a sus grupos de cohomología de De-Rham subyacentes . ^[6] ${\displaystyle H_{dR}}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle H_{dR}^{*}(X)}$

Ver también

• topos
• Topología Étale
• Motivo (geometría algebraica)
• geometría anabeliana

Referencias

1. Grothendieck, Alejandro. "SGA 4 Exp. IV" (PDF) . págs. 46–54. Archivado (PDF) desde el original el 1 de mayo de 2020.
2. Cartier, Pierre. "El trabajo de un día loco: de Grothendieck a Connes y Kontsevich: la evolución de los conceptos de espacio y simetría" (PDF) . pag. 400 (12 en pdf). Archivado (PDF) desde el original el 5 de abril de 2020.
3. Szamuly. "Conferencias de Heidelberg sobre grupos fundamentales" (PDF) . pag. 2. Archivado (PDF) desde el original el 5 de abril de 2020.
4. "Grupos Galois y Grupos Fundamentales" (PDF) . págs. 15-16. Archivado (PDF) desde el original el 6 de abril de 2020.
5. Lo cual es necesario para garantizar que el mapa étale sea sobreyectivo; de lo contrario, se podrían incluir subesquemas abiertos . ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$
6. Deligne; Milne. "Categorías Tannakianas" (PDF) . pag. 58.

Enlaces externos

• SGA 4 y SGA 4 IV
• Grupo Motivic Galois - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf