Motivo (geometría algebraica)

Estructura para unificar las teorías de cohomología.

En geometría algebraica , motivos (o a veces motivos , siguiendo el uso francés ) es una teoría propuesta por Alexander Grothendieck en la década de 1960 para unificar la amplia gama de teorías de cohomología de comportamiento similar , como la cohomología singular , la cohomología de De Rham , la cohomología etale y la cohomología cristalina . Filosóficamente, un "motivo" es la "esencia de cohomología" de una variedad .

En la formulación de Grothendieck para variedades proyectivas suaves, un motivo es un triple , donde es una variedad proyectiva suave, es una correspondencia idempotente y hombre es un número entero , sin embargo, tal triple casi no contiene información fuera del contexto de la categoría de Grothendieck de puro. motivos, donde un morfismo de a viene dado por una correspondencia de grado . Pierre Deligne adopta un enfoque más centrado en el objeto en Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . En ese artículo, un motivo es un "sistema de realizaciones", es decir, una tupla ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\vdash X}$ ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle (Y,q,n)}$ ${\displaystyle n-m}$

${\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}$

compuesto por módulos

${\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}$

sobre los anillos

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}$

respectivamente, varios isomorfismos de comparación

${\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}$

entre los cambios de base obvios de estos módulos, filtraciones , una acción sobre y un automorfismo "Frobenius" de . Estos datos se modelan sobre las cohomologías de una variedad proyectiva suave y las estructuras y compatibilidades que admiten, y dan una idea sobre qué tipo de información está contenida en un motivo. ${\displaystyle W,F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Introducción

La teoría de los motivos se conjeturó originalmente como un intento de unificar un conjunto de teorías de cohomología que se multiplicaban rápidamente, incluida la cohomología de Betti , la cohomología de De Rham , la cohomología l -ádica y la cohomología cristalina . La esperanza general es que ecuaciones como

• [línea proyectiva] = [línea] + [punto]
• [plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

se puede poner sobre una base matemática cada vez más sólida y con un significado profundo. Por supuesto, ya se sabe que las ecuaciones anteriores son verdaderas en muchos sentidos, como en el sentido del complejo CW donde "+" corresponde a la unión de células, y en el sentido de varias teorías de cohomología, donde "+" corresponde a la suma directa.

Desde otro punto de vista, los motivos continúan la secuencia de generalizaciones desde funciones racionales sobre variedades hasta divisores sobre variedades y grupos de variedades Chow. La generalización ocurre en más de una dirección, ya que se pueden considerar motivos respecto de más tipos de equivalencia que de equivalencia racional. Las equivalencias admisibles vienen dadas por la definición de una relación de equivalencia adecuada .

Definición de motivos puros

La categoría de motivos puros a menudo se desarrolla en tres pasos. A continuación describimos el caso de los motivos Chow , donde k es cualquier campo. ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Primer paso: categoría de correspondencias (grado 0), Corr( k )

Los objetos de son simplemente variedades proyectivas suaves sobre k . Los morfismos son correspondencias . Generalizan morfismos de variedades , que pueden asociarse con sus gráficos en , a ciclos de Chow de dimensiones fijas en . ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Será útil describir correspondencias de grado arbitrario, aunque los morfismos en son correspondencias de grado 0. En detalle, sean X e Y variedades proyectivas suaves y considere una descomposición de X en componentes conectados: ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}$

Si , entonces las correspondencias de grado r de X a Y son ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}$

donde denota los ciclos Chow de codimensión k . Las correspondencias a menudo se indican utilizando la notación "⊢", por ejemplo, . Para cualquiera y su composición está definida por ${\displaystyle A^{k}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X\vdash Y}$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$ ${\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}$

donde el punto indica el producto en el anillo Chow (es decir, intersección).

Volviendo a la construcción de la categoría, observe que la composición de las correspondencias de grado 0 es de grado 0. Por lo tanto, definimos los morfismos de como correspondencias de grado 0. ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

La siguiente asociación es un functor (aquí denota el gráfico de ): ${\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}$

Al igual que la categoría tiene sumas directas ( X ⊕ Y  := X ∐ Y ) y productos tensoriales ( X ⊗ Y  := X × Y ). Es una categoría preaditiva . La suma de morfismos se define por ${\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}$

Segundo paso: categoría de motivos Chow puros efectivos, Chow eff ( k )

La transición a los motivos se realiza tomando la envolvente pseudoabeliana de : ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))}$.

En otras palabras, los motivos Chow efectivos son pares de variedades proyectivas suaves X y correspondencias idempotentes α: X ⊢ X , y los morfismos son de cierto tipo de correspondencia:

${\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}$

La composición es la composición de correspondencias definida anteriormente, y el morfismo de identidad de ( X , α ) se define como α  : X ⊢ X .

La Asociación,

${\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}$,

donde Δ _X  := [ id _X ] denota la diagonal de X × X , es un funtor. El motivo [ X ] suele denominarse motivo asociado a la variedad X.

Según lo previsto, Chow ^eff ( k ) es una categoría pseudoabeliana . La suma directa de motivos efectivos está dada por

${\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}$

El producto tensorial de motivos efectivos se define por

${\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}$

dónde

${\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}$

También se puede definir el producto tensorial de morfismos. Sean f ₁  : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) y f ₂  : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) morfismos de motivos. Entonces sean γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) y γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y ₂ ) representantes de f ₁ y f ₂ . Entonces

${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}$,

donde π _i  : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i son las proyecciones.

Tercer paso: categoría de motivos Chow puros, Chow( k )

Para proceder a los motivos, adjuntamos a Chow ^eff ( k ) una inversa formal (con respecto al producto tensorial) de un motivo llamado motivo de Lefschetz. El efecto es que los motivos se convierten en triples en lugar de pares. El motivo L de Lefschetz es

${\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}$.

Si definimos el motivo 1 , llamado motivo trivial de Tate , por 1  := h(Spec( k )), entonces la ecuación elegante

${\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}$

sostiene, ya que

${\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}$

El tensor inverso del motivo de Lefschetz se conoce como motivo de Tate , T  := L ⁻¹ . Luego definimos la categoría de motivos Chow puros por

${\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}$.

Un motivo es entonces un triple

${\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}$

tal que los morfismos están dados por correspondencias

${\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}$

y la composición de morfismos proviene de la composición de correspondencias.

Como se esperaba, es una categoría pseudo-abeliana rígida . ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Otros tipos de motivos

Para definir un producto de intersección, los ciclos deben ser "móviles" para que podamos intersecarlos en su posición general. Elegir una relación de equivalencia adecuada en ciclos garantizará que cada par de ciclos tenga un par equivalente en posición general que podamos cruzar. Los grupos Chow se definen mediante equivalencia racional, pero son posibles otras equivalencias y cada una define un tipo diferente de motivo. Ejemplos de equivalencias, de más fuerte a más débil, son

• equivalencia racional
• Equivalencia algebraica
• Equivalencia smash-nilpotencia (a veces llamada equivalencia Voevodsky)
• Equivalencia homológica (en el sentido de la cohomología de Weil)
• Equivalencia numérica

La literatura ocasionalmente llama a cada tipo de motivo puro motivo Chow, en cuyo caso un motivo con respecto a la equivalencia algebraica se llamaría motivo Chow módulo de equivalencia algebraica .

Motivos mixtos

Para un campo de base fija k , la categoría de motivos mixtos es una categoría tensor abeliana conjetural , junto con un functor contravariante ${\displaystyle MM(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}$

tomando valores en todas las variedades (no sólo en las proyectivas suaves como era el caso de los motivos puros). Esto debería ser tal que la cohomología motívica definida por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}$

coincide con el predicho por la teoría K algebraica y contiene la categoría de motivos de Chow en un sentido adecuado (y otras propiedades). Alexander Beilinson conjeturó la existencia de tal categoría .

En lugar de construir dicha categoría, Deligne propuso construir primero una categoría DM que tenga las propiedades que uno espera para la categoría derivada.

${\displaystyle D^{b}(MM(k))}$.

Recuperar MM de DM se lograría entonces mediante una estructura t motívica (conjetural) .

El estado actual de la teoría es que tenemos una categoría DM adecuada . Esta categoría ya es útil en aplicaciones. La prueba de la conjetura de Milnor de Vladimir Voevodsky, ganadora de la Medalla Fields, utiliza estos motivos como ingrediente clave.

Existen diferentes definiciones debido a Hanamura, Levine y Voevodsky. Se sabe que son equivalentes en la mayoría de los casos y a continuación daremos la definición de Voevodsky. La categoría contiene motivos Chow como una subcategoría completa y proporciona la cohomología motívica "correcta". Sin embargo, Voevodsky también muestra que (con coeficientes integrales) no admite una estructura t motívica.

Motivos geométricos mixtos

Notación

Aquí arreglaremos un campo k de característica.0 y sea nuestro anillo de coeficientes. Establecidas como categoría de variedades cuasiproyectivas sobre k se encuentran esquemas separados de tipo finito. Dejaremos también la subcategoría de variedades suaves. ${\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Var}}/k}$ ${\displaystyle {\mathcal {Sm}}/k}$

Variedades suaves con correspondencias.

Dada una variedad suave X y una variedad Y, llame a un subesquema cerrado integral que es finito sobre X y sobreyectivo sobre un componente de Y una correspondencia prima de X a Y. Entonces, podemos tomar el conjunto de correspondencias primas de X a Y y construir un módulo A libre . Sus elementos se llaman correspondencias finitas . Entonces, podemos formar una categoría aditiva cuyos objetos sean variedades suaves y los morfismos estén dados por correspondencias suaves. La única parte no trivial de esta "definición" es el hecho de que necesitamos describir composiciones. Estos están dados por una fórmula push-pull de la teoría de los anillos de Chow. ${\displaystyle W\subset X\times Y}$ ${\displaystyle C_{A}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}$

Ejemplos de correspondencias

Ejemplos típicos de correspondencias primas provienen de la gráfica de un morfismo de variedades . ${\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Localizando la categoría de homotopía.

A partir de aquí podemos formar la categoría de homotopía de complejos acotados de correspondencias suaves. Aquí se indicarán las variedades suaves . Si localizamos esta categoría con respecto a la subcategoría gruesa más pequeña (lo que significa que está cerrada bajo extensiones) que contiene morfismos ${\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}$ ${\displaystyle [X]}$

${\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}$

y

${\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}$

entonces podemos formar la categoría triangulada de motivos geométricos efectivos. Tenga en cuenta que la primera clase de morfismos son homotopías localizadoras de variedades, mientras que la segunda dará la categoría de motivos geométricos mixtos la secuencia de Mayer-Vietoris . ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Además, tenga en cuenta que esta categoría tiene una estructura tensorial dada por el producto de variedades, por lo que . ${\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}$

Invirtiendo el motivo Tate

Usando la estructura triangulada podemos construir un triángulo.

${\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}$

del mapa canónico . Lo estableceremos y lo llamaremos el motivo Tate . Tomar el producto tensorial iterativo nos permite construir . Si tenemos un motivo geométrico efectivo M, lo denotamos. Además , este se comporta funcionalmente y forma un functor triangulado. Finalmente, podemos definir la categoría de motivos geométricos mixtos como la categoría de pares para M un motivo geométrico mixto efectivo yn un número entero que representa el giro por el motivo Tate. Los grupos hom son entonces el colimit ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}$ ${\displaystyle A(k)}$ ${\displaystyle M(k)}$ ${\displaystyle M\otimes A(k).}$ ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}$ ${\displaystyle (M,n)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}$

Ejemplos de motivos

Motivos de tate

Hay varios ejemplos elementales de motivos que son fácilmente accesibles. Uno de ellos son los motivos de Tate, denotados , , o , dependiendo de los coeficientes utilizados en la construcción de la categoría de Motivos. Éstos son elementos fundamentales en la categoría de motivos porque forman la "otra parte" además de las variedades abelianas. ${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Motivos de curvas.

El motivo de una curva se puede entender explícitamente con relativa facilidad: su anillo Chow es simplemente

$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$

${\displaystyle C}$

Explicación para no especialistas.

Una técnica comúnmente aplicada en matemáticas es estudiar objetos que llevan una estructura particular introduciendo una categoría cuyos morfismos preservan esta estructura. Entonces uno puede preguntar cuándo dos objetos dados son isomorfos y pedir un representante "particularmente agradable" en cada clase de isomorfismo. La clasificación de variedades algebraicas, es decir, la aplicación de esta idea a las variedades algebraicas , es muy difícil debido a la estructura altamente no lineal de los objetos. La cuestión relajada de estudiar variedades hasta el isomorfismo biracional ha llevado al campo de la geometría biracional . Otra forma de abordar la cuestión es asociar a una variedad dada X un objeto de naturaleza más lineal, es decir, un objeto susceptible de utilizar las técnicas del álgebra lineal , por ejemplo un espacio vectorial . Esta "linealización" suele recibir el nombre de cohomología .

Existen varias teorías de cohomología importantes, que reflejan diferentes aspectos estructurales de las variedades. La teoría de los motivos (en parte conjetural) es un intento de encontrar una manera universal de linealizar variedades algebraicas, es decir, se supone que los motivos proporcionan una teoría de cohomología que encarna todas estas cohomologías particulares. Por ejemplo, el género de una curva proyectiva suave C , que es un invariante interesante de la curva, es un número entero, que puede leerse en la dimensión del primer grupo de cohomología de Betti de C. Entonces, el motivo de la curva debe contener la información del género. Por supuesto, el género es una invariante bastante burda, por lo que el motivo de C es algo más que este número.

La búsqueda de una cohomología universal

Cada variedad algebraica X tiene un motivo correspondiente [ X ], por lo que los ejemplos más simples de motivos son:

• [punto]
• [línea proyectiva] = [punto] + [línea]
• [plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

Estas 'ecuaciones' son válidas en muchas situaciones, concretamente para la cohomología de De Rham y la cohomología de Betti , la cohomología l -ádica , el número de puntos sobre cualquier campo finito y en notación multiplicativa para funciones zeta locales .

La idea general es que un motivo tiene la misma estructura en cualquier teoría de cohomología razonable con buenas propiedades formales; en particular, cualquier teoría de cohomología de Weil tendrá tales propiedades. Existen diferentes teorías de cohomología de Weil, se aplican en diferentes situaciones y tienen valores en diferentes categorías, y reflejan diferentes aspectos estructurales de la variedad en cuestión:

• La cohomología de Betti se define para variedades sobre (subcampos de) los números complejos , tiene la ventaja de estar definida sobre los números enteros y es una invariante topológica.
• La cohomología de Rham (para variedades anteriores ) viene con una estructura de Hodge mixta , es un invariante geométrico diferencial ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• La cohomología l -ádica (sobre cualquier campo de característica ≠ l) tiene una acción canónica del grupo Galois , es decir, tiene valores en representaciones del grupo Galois (absoluto).
• cohomología cristalina

Todas estas teorías de cohomología comparten propiedades comunes, por ejemplo, la existencia de secuencias de Mayer-Vietoris , la invariancia de homotopía ( el producto de X con la línea afín ) y otras. Además, están vinculados mediante isomorfismos de comparación, por ejemplo, la cohomología de Betti de una variedad suave X con coeficientes finitos es isomorfa a la cohomología l -ádica con coeficientes finitos. ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}$ ${\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La teoría de los motivos es un intento de encontrar una teoría universal que encarne todas estas cohomologías particulares y sus estructuras y proporcione un marco para "ecuaciones" como

[línea proyectiva] = [línea]+[punto].

En particular, calcular el motivo de cualquier variedad X proporciona directamente toda la información sobre las diversas teorías de cohomología de Weil H ^* _Betti ( X ), H ^* _DR ( X ), etc.

A partir de Grothendieck, se ha intentado durante muchos años definir con precisión esta teoría.

Cohomología motívica

La propia cohomología motívica se inventó antes de la creación de motivos mixtos mediante la teoría K algebraica . La categoría anterior proporciona una manera clara de (re)definirla mediante

${\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}$

donde n y m son números enteros y es la m -ésima potencia tensor del objeto Tate que en la configuración de Voevodsky es el complejo desplazado en –2, y [n] significa el desplazamiento habitual en la categoría triangulada. ${\displaystyle \mathbb {Z} (m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1),}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }$

Conjeturas relacionadas con motivos.

Las conjeturas estándar se formularon por primera vez en términos de la interacción de ciclos algebraicos y teorías de cohomología de Weil. La categoría de motivos puros proporciona un marco categórico para estas conjeturas.

Las conjeturas estándar se consideran comúnmente muy difíciles y abiertas en el caso general. Grothendieck, con Bombieri, mostró la profundidad del enfoque motívico al producir una prueba condicional (muy breve y elegante) de las conjeturas de Weil (que Deligne demuestra por diferentes medios ), asumiendo que se cumplen las conjeturas estándar.

Por ejemplo, la conjetura estándar de Künneth , que establece la existencia de ciclos algebraicos π ⁱ ⊂ X × X que inducen los proyectores canónicos H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (para cualquier cohomología de Weil H ) implica que todo motivo puro M se descompone en trozos graduados de peso n : M = ⨁ Gr _n M . Los pesos terminológicos provienen de una descomposición similar de, digamos, la cohomología de De-Rham de variedades proyectivas suaves; consulte la teoría de Hodge .

La conjetura D , que establece la concordancia de la equivalencia numérica y homológica , implica la equivalencia de motivos puros respecto de la equivalencia homológica y numérica. (En particular, la primera categoría de motivos no dependería de la elección de la teoría de la cohomología de Weil). Jannsen (1992) demostró el siguiente resultado incondicional: la categoría de motivos (puros) sobre un campo es abeliana y semisimple si y sólo si la relación de equivalencia elegida es la equivalencia numérica.

La conjetura de Hodge puede reformularse claramente utilizando motivos: se cumple si la realización de Hodge que asigna cualquier motivo puro con coeficientes racionales (sobre un subcampo de ) a su estructura de Hodge es un funtor completo ( estructuras racionales de Hodge ). Aquí motivo puro significa motivo puro con respecto a la equivalencia homológica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}$

De manera similar, la conjetura de Tate es equivalente a: la llamada realización de Tate, es decir, cohomología ℓ-ádica, es un functor completo (motivos puros hasta equivalencia homológica, representaciones continuas del grupo absoluto de Galois del campo base k ), que toma valores en representaciones semisimples. (La última parte es automática en el caso del análogo de Hodge). ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}$

Formalismo tannakiano y grupo motívico de Galois

Para motivar al grupo motívico de Galois (conjetural), fije un campo k y considere el functor

extensiones finitas separables K de k → conjuntos finitos no vacíos con una acción transitiva (continua) del grupo absoluto de Galois de k

que asigna K al conjunto (finito) de incorporaciones de K en un cierre algebraico de k . En la teoría de Galois, se demuestra que este functor es una equivalencia de categorías. Observe que los campos son de dimensión 0. Los motivos de este tipo se denominan motivos Artin . Al linealizar los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es decir que los motivos de Artin son equivalentes a espacios vectoriales finitos junto con una acción del grupo de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El objetivo del grupo motivic Galois es extender la equivalencia anterior a variedades de dimensiones superiores. Para hacer esto, se utiliza la maquinaria técnica de la teoría de categorías de Tannak (que se remonta a la dualidad Tannaka-Krein , pero una teoría puramente algebraica). Su propósito es arrojar luz tanto sobre la conjetura de Hodge como sobre la conjetura de Tate , las cuestiones pendientes en la teoría del ciclo algebraico . Arreglar una teoría de cohomología de Weil H. Proporciona un funtor desde M _num (motivos puros que usan equivalencia numérica) hasta espacios vectoriales de dimensión finita . Se puede demostrar que la primera categoría es una categoría Tannakiana. Suponiendo la equivalencia de equivalencia homológica y numérica, es decir, la conjetura estándar anterior D , el funtor H es un tensor-functor exacto y fiel. Aplicando el formalismo tannakiano, se concluye que M _num es equivalente a la categoría de representaciones de un grupo algebraico G , conocido como grupo motívico de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El grupo motívico de Galois es para la teoría de los motivos lo que el grupo Mumford-Tate es para la teoría de Hodge . Hablando de nuevo en términos generales, las conjeturas de Hodge y Tate son tipos de teoría invariante (los espacios que son moralmente ciclos algebraicos se seleccionan por invariancia bajo un grupo, si se establecen las definiciones correctas). El grupo motivic Galois tiene la teoría de la representación circundante. (Lo que no es es un grupo de Galois ; sin embargo, en términos de la conjetura de Tate y las representaciones de Galois en la cohomología étale , predice la imagen del grupo de Galois o, más exactamente, su álgebra de Lie ).

Ver también

• Anillo de periodos
• Cohomología motívica
• Prehaz con transferencias
• Módulo Hodge mixto
• Funciones L de motivos.

Referencias

Artículos de encuesta

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• Motivos sobre campos finitos - JS Milne
• Mazur, Barry (2004), "¿Qué es... un motivo?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 51 (10): 1214–1216, ISSN  0002-9920, MR  2104916(texto de motivos para tontos).
• Serre, Jean-Pierre (1991), "Motifs" (PDF) , Astérisque (en francés) (198): 11, 333–349 (1992), ISSN  0303-1179, MR  1144336, archivado desde el original (PDF) en 2022-01-10(introducción de alto nivel a los motivos en francés).
• Tabauda, ​​Goncalo (2011), "Un recorrido guiado por el jardín de los motivos no conmutativos", Journal of K-theory , arXiv : 1108.3787

Libros

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• Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre , eds. (1994), Motivos , Actas de simposios de matemática pura, vol. 55, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-1636-3, SEÑOR  1265518
  • L. Breen: categorías tannakianas .
  • S. Kleiman: Las conjeturas estándar .
  • A. Scholl: Motivos clásicos . (exposición detallada de los motivos de Chow)
• Huber, Annette; Müller-Stach, Stefan (20 de marzo de 2017), Períodos y motivos del nori , Springer, ISBN 978-3-319-50925-9
• Mazza, Carlos; Voevodsky, Vladimir ; Weibel, Charles (2006), Apuntes de conferencias sobre cohomología motívica, Clay Mathematics Monographs , vol. 2, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-3847-1, señor  2242284
• Levine, Marc (1998). Motivos mixtos . Encuestas y monografías matemáticas, 57. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0785-9.
• Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (2005). Manual de teoría K. Saltador. ISBN 978-3-540-23019-9.

Literatura de referencia

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• Kleiman, Steven L. (1972), "Motives", en Oort, F. (ed.), Geometría algebraica, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff , págs. 53–82(relaciones de equivalencia adecuadas en ciclos).
• Milne, James S. Motivos - El sueño de Grothendieck
• Voevodsky, Vladimir ; Suslin, Andrei ; Friedlander, Eric M. (2000), Ciclos, transferencias y teorías de homología motívica, Annals of Mathematics Studies, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04814-7(Definición de motivos mixtos de Voevodsky. Altamente técnica).
• Huber, Annette (2000). "Realización de los motivos de Voevodsky" (PDF) . Revista de Geometría Algebraica . 9 : 755–799. S2CID  17160833. Archivado desde el original (PDF) el 26 de septiembre de 2017.

Direcciones futuras

• Reflexiones sobre Q ( 1 / 4 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (1/4)}: estructuras aritméticas de espín en curvas elípticas
• ¿Qué son los "motivos fraccionarios"?

enlaces externos

• Citas relacionadas con el motivo (geometría algebraica) en Wikiquote