La cohomología motívica es un invariante de las variedades algebraicas y de los esquemas más generales . Es un tipo de cohomología relacionada con los motivos e incluye el anillo de Chow de los ciclos algebraicos como un caso especial. Algunos de los problemas más profundos en la geometría algebraica y la teoría de números son los intentos de comprender la cohomología motívica.
Sea X un esquema de tipo finito sobre un cuerpo k . Un objetivo clave de la geometría algebraica es calcular los grupos de Chow de X , porque dan información sólida sobre todas las subvariedades de X . Los grupos de Chow de X tienen algunas de las propiedades formales de la homología de Borel-Moore en topología, pero faltan algunas cosas. Por ejemplo, para un subesquema cerrado Z de X , hay una secuencia exacta de grupos de Chow, la secuencia de localización
mientras que en topología esto sería parte de una secuencia larga y exacta .
Este problema se resolvió generalizando los grupos de Chow a una familia bigradada de grupos, los grupos de homología motívica (Borel–Moore) (que Bloch llamó por primera vez grupos de Chow superiores ). [1] Es decir, para cada esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k y enteros i y j , tenemos un grupo abeliano H i ( X , Z ( j )), siendo el grupo de Chow habitual el caso especial
Para un subesquema cerrado Z de un esquema X , existe una secuencia de localización exacta larga para los grupos de homología motívica, que termina con la secuencia de localización para los grupos de Chow:
De hecho, esta es una de una familia de cuatro teorías construidas por Voevodsky : cohomología motívica, cohomología motívica con soporte compacto, homología motívica de Borel-Moore (como la anterior) y homología motívica con soporte compacto. [2] Estas teorías tienen muchas de las propiedades formales de las teorías correspondientes en topología. Por ejemplo, los grupos de cohomología motívica H i (X, Z ( j )) forman un anillo bigrado para cada esquema X de tipo finito sobre un cuerpo. Cuando X es suave de dimensión n sobre k , existe un isomorfismo de dualidad de Poincaré.
En particular, el grupo de Chow CH i ( X ) de ciclos de codimensión i es isomorfo a H 2 i ( X , Z ( i )) cuando X es suave sobre k .
La cohomología motívica H i ( X , Z ( j )) de un esquema suave X sobre k es la cohomología de X en la topología de Zariski con coeficientes en un cierto complejo de haces Z (j) en X . (Algunas propiedades son más fáciles de demostrar usando la topología de Nisnevich , pero esto da los mismos grupos de cohomología motívica. [3] ) Por ejemplo, Z (j) es cero para j < 0, Z (0) es el haz constante Z , y Z (1) es isomorfo en la categoría derivada de X a G m [−1]. [4] Aquí G m (el grupo multiplicativo ) denota el haz de funciones regulares invertibles , y el desplazamiento [−1] significa que este haz se considera un complejo de grado 1.
Las cuatro versiones de homología y cohomología motívicas pueden definirse con coeficientes en cualquier grupo abeliano. Las teorías con coeficientes diferentes están relacionadas por el teorema del coeficiente universal , como en topología.
Según Bloch, Lichtenbaum , Friedlander , Suslin y Levine, existe una secuencia espectral desde la cohomología motívica hasta la K-teoría algebraica para cada esquema suave X sobre un campo, análoga a la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en topología:
Al igual que en topología, la secuencia espectral degenera después de tensarse con los racionales. [5] Para esquemas arbitrarios de tipo finito sobre un campo (no necesariamente suave), existe una secuencia espectral análoga desde la homología motívica hasta la teoría G (la teoría K de haces coherentes , en lugar de fibrados vectoriales ).
La cohomología motívica proporciona una invariante rica ya para los campos. (Obsérvese que un campo k determina un esquema Spec( k ), para el que se define la cohomología motívica). Aunque la cohomología motívica H i ( k , Z ( j )) para los campos k está lejos de entenderse en general, hay una descripción cuando i = j :
donde K j M ( k ) es el j -ésimo grupo K de Milnor de k . [6] Dado que la K-teoría de Milnor de un campo se define explícitamente mediante generadores y relaciones, esta es una descripción útil de una parte de la cohomología motívica de k .
Sea X un esquema suave sobre un cuerpo k y sea m un entero positivo que es invertible en k . Entonces existe un homomorfismo natural (la función cíclica ) de la cohomología motívica a la cohomología étale :
donde Z / m ( j ) a la derecha significa el haz étale (μ m ) ⊗ j , donde μ m es la raíz m de la unidad. Esto generaliza el mapa de ciclo del anillo de Chow de una variedad suave a la cohomología étale.
Un objetivo frecuente en geometría algebraica o teoría de números es calcular la cohomología motívica, mientras que la cohomología étale es a menudo más fácil de entender. Por ejemplo, si el cuerpo base k son los números complejos, entonces la cohomología étale coincide con la cohomología singular (con coeficientes finitos). Un poderoso resultado demostrado por Voevodsky, conocido como la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum , dice que muchos grupos de cohomología motívica son de hecho isomorfos a los grupos de cohomología étale. Esto es una consecuencia del teorema de isomorfismo de residuo normativo . Es decir, la conjetura de Beilinson-Lichtenbaum (teorema de Voevodsky) dice que para un esquema suave X sobre un cuerpo k y m un entero positivo invertible en k , la función de ciclo
es un isomorfismo para todo j ≥ i y es inyectivo para todo j ≥ i − 1. [7]
Para cualquier cuerpo k y anillo conmutativo R , Voevodsky definió una categoría triangulada R -lineal llamada categoría derivada de motivos sobre k con coeficientes en R , DM( k ; R ). Cada esquema X sobre k determina dos objetos en DM llamados el motivo de X , M( X ), y el motivo de X con soporte compacto , M c ( X ); los dos son isomorfos si X es propio sobre k .
Un punto básico de la categoría derivada de motivos es que los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica surgen todos como conjuntos de morfismos en esta categoría. Para describir esto, primero observe que hay motivos de Tate R ( j ) en DM( k ; R ) para todos los enteros j , tales que el motivo del espacio proyectivo es una suma directa de motivos de Tate:
donde M ↦ M [1] denota el desplazamiento o "funtor de traslación" en la categoría triangulada DM( k ; R ). En estos términos, la cohomología motívica (por ejemplo) viene dada por
para cada esquema X de tipo finito sobre k .
Cuando los coeficientes R son los números racionales, una versión moderna de una conjetura de Beilinson predice que la subcategoría de objetos compactos en DM(k; Q ) es equivalente a la categoría derivada acotada de una categoría abeliana MM( k ), la categoría de motivos mixtos sobre k . En particular, la conjetura implicaría que los grupos de cohomología motívica pueden identificarse con grupos Ext en la categoría de motivos mixtos. [8] Esto está lejos de ser conocido. Concretamente, la conjetura de Beilinson implicaría la conjetura de Beilinson- Soulé de que H i (X, Q ( j )) es cero para i < 0, lo que se conoce solo en unos pocos casos.
Por el contrario, una variante de la conjetura de Beilinson-Soulé, junto con las conjeturas estándar de Grothendieck y las conjeturas de Murre sobre los motivos de Chow, implicarían la existencia de una categoría abeliana MM ( k ) como el corazón de una t-estructura en DM ( k ; Q ). [9] Se necesitaría más para identificar grupos Ext en MM ( k ) con cohomología motívica.
Para k, un subcuerpo de los números complejos, Nori ha definido un candidato para la categoría abeliana de motivos mixtos. [10] Si existe una categoría MM ( k ) con las propiedades esperadas (en particular, que el funtor de realización de Betti de MM ( k ) a Q -espacios vectoriales es fiel ), entonces debe ser equivalente a la categoría de Nori.
Sea X una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo de números. La conjetura de Bloch-Kato sobre valores de funciones L predice que el orden de desaparición de una función L de X en un punto entero es igual al rango de un grupo de cohomología motívica adecuado. Este es uno de los problemas centrales de la teoría de números, que incorpora conjeturas anteriores de Deligne y Beilinson. La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es un caso especial. Más precisamente, la conjetura predice el coeficiente principal de la función L en un punto entero en términos de reguladores y un emparejamiento de altura en la cohomología motívica.
La primera señal clara de una posible generalización de los grupos de Chow a una teoría de cohomología motívica más general para variedades algebraicas fue la definición y desarrollo de la teoría K algebraica de Quillen (1973), generalizando el grupo K 0 de Grothendieck de fibrados vectoriales. A principios de los años 1980, Beilinson y Soulé observaron que las operaciones de Adams daban una división de la teoría K algebraica tensada con los racionales; los sumandos ahora se denominan cohomología motívica (con coeficientes racionales). Beilinson y Lichtenbaum hicieron conjeturas influyentes que predijeron la existencia y las propiedades de la cohomología motívica. La mayoría de sus conjeturas, pero no todas, ya han sido demostradas.
La definición de Bloch de grupos de Chow superiores (1986) fue la primera definición integral (en oposición a racional) de homología motívica para esquemas sobre un cuerpo k (y por lo tanto de cohomología motívica, en el caso de esquemas suaves). La definición de grupos de Chow superiores de X es una generalización natural de la definición de grupos de Chow, que involucra ciclos algebraicos sobre el producto de X con el espacio afín que cumple con un conjunto de hiperplanos (considerados como las caras de un símplex ) en la dimensión esperada.
Finalmente, Voevodsky (basándose en su trabajo con Suslin) definió los cuatro tipos de homología motívica y cohomología motívica en 2000, junto con la categoría derivada de motivos. Hanamura y Levine también definieron categorías relacionadas.
El trabajo de Elmanto y Morrow [11] ha extendido la construcción de la cohomología motívica a esquemas arbitrarios cuasi-compactos y cuasi-separados sobre un campo.
![{\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84342525df2e30f1ab854fa13211aac96453b46)
![{\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9937f305ae94970ecf8a015b384b96c57ac91e35)
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