Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Problema de arcilla sobre el conjunto de soluciones racionales de ecuaciones que definen una curva elíptica

En matemáticas , la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (a menudo llamada conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer ) describe el conjunto de soluciones racionales a ecuaciones que definen una curva elíptica . Es un problema abierto en el campo de la teoría de números y es ampliamente reconocido como uno de los problemas matemáticos más desafiantes. Recibe su nombre de los matemáticos Bryan John Birch y Peter Swinnerton-Dyer , quienes desarrollaron la conjetura durante la primera mitad de la década de 1960 con la ayuda de la computación por máquina. Solo se han demostrado casos especiales de la conjetura.

La formulación moderna de la conjetura relaciona datos aritméticos asociados con una curva elíptica E sobre un cuerpo numérico K con el comportamiento de la función L de Hasse-Weil L ( E ,  s ) de E en s  = 1. Más específicamente, se conjetura que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de E es el orden del cero de L ( E ,  s ) en s = 1. El primer coeficiente distinto de cero en la expansión de Taylor de L ( E ,  s ) en s = 1 está dado por datos aritméticos más refinados asociados a E sobre K (Wiles 2006).

La conjetura fue elegida como uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Instituto de Matemáticas Clay , que ha ofrecido un premio de $1,000,000 para la primera prueba correcta. ^[1]

Fondo

Mordell (1922) demostró el teorema de Mordell : el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene una base finita . Esto significa que para cualquier curva elíptica existe un subconjunto finito de puntos racionales de la curva, a partir del cual se pueden generar todos los demás puntos racionales.

Si el número de puntos racionales en una curva es infinito, entonces algún punto en una base finita debe tener un orden infinito . El número de puntos de base independientes con un orden infinito se denomina rango de la curva y es una propiedad invariante importante de una curva elíptica.

Si el rango de una curva elíptica es 0, entonces la curva tiene solo un número finito de puntos racionales. Por otro lado, si el rango de la curva es mayor que 0, entonces la curva tiene un número infinito de puntos racionales.

Aunque el teorema de Mordell muestra que el rango de una curva elíptica es siempre finito, no proporciona un método eficaz para calcular el rango de cada curva. El rango de ciertas curvas elípticas se puede calcular utilizando métodos numéricos pero (en el estado actual de conocimiento) se desconoce si estos métodos manejan todas las curvas.

Se puede definir una función L L ( E ,  s ) para una curva elíptica E construyendo un producto de Euler a partir del número de puntos de la curva módulo cada primo p . Esta función L es análoga a la función zeta de Riemann y a la serie L de Dirichlet que se define para una forma cuadrática binaria . Es un caso especial de una función L de Hasse–Weil .

La definición natural de L ( E ,  s ) sólo converge para valores de s en el plano complejo con Re( s ) > 3/2. Helmut Hasse conjeturó que L ( E ,  s ) podría extenderse por continuación analítica a todo el plano complejo. Esta conjetura fue demostrada por primera vez por Deuring (1941) para curvas elípticas con multiplicación compleja . Posteriormente se demostró que era cierta para todas las curvas elípticas sobre Q , como consecuencia del teorema de modularidad en 2001.

Encontrar puntos racionales en una curva elíptica general es un problema difícil. Encontrar los puntos de una curva elíptica módulo de un primo p dado es conceptualmente sencillo, ya que solo hay un número finito de posibilidades para comprobarlo. Sin embargo, para los primos grandes es un proceso computacional intensivo.

Historia

A principios de los años 1960, Peter Swinnerton-Dyer utilizó la computadora EDSAC-2 en el Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge para calcular el número de puntos módulo p (denotado por N _p ) para un gran número de primos p en curvas elípticas cuyo rango era conocido. A partir de estos resultados numéricos, Birch y Swinnerton-Dyer (1965) conjeturaron que N _p para una curva E con rango r obedece una ley asintótica.

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

donde C es una constante.

Inicialmente, esto se basó en tendencias algo tenues en los gráficos, lo que indujo un cierto escepticismo en JWS Cassels (asesor de doctorado de Birch). ^[2] Con el tiempo, la evidencia numérica se acumuló.

Esto, a su vez, los llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L ( E ,  s ) en s = 1, a saber, que tendría un cero de orden r en este punto. Esta fue una conjetura con visión de futuro para la época, dado que la continuación analítica de L ( E ,  s ) solo se estableció para curvas con multiplicación compleja, que también eran la principal fuente de ejemplos numéricos. (Nótese que el recíproco de la función L es desde algunos puntos de vista un objeto de estudio más natural; en ocasiones, esto significa que uno debería considerar polos en lugar de ceros).

La conjetura se amplió posteriormente para incluir la predicción del coeficiente de Taylor principal preciso de la función L en s  = 1. Se da conjeturalmente por ^[3]

${\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {tor} })^{2}}}}$

donde las cantidades del lado derecho son invariantes de la curva, estudiadas por Cassels, Tate , Shafarevich y otros (Wiles 2006):

${\displaystyle \#E_{\mathrm {tor} }}$es el orden del grupo de torsión ,

${\displaystyle \#\mathrm {Sha} (E)=}$#Ш(E) es el orden del grupo Tate-Shafarevich ,

${\displaystyle \Omega _{E}}$es el período real de E multiplicado por el número de componentes conectados de E ,

${\displaystyle R_{E}}$es el regulador de E que se define a través de las alturas canónicas de una base de puntos racionales,

${\displaystyle c_{p}}$es el número de Tamagawa de E en un primo p que divide el conductor N de E. Se puede encontrar mediante el algoritmo de Tate .

En el momento en que se creó la conjetura, se sabía poco, ni siquiera si el lado izquierdo (denominado analítico) o el lado derecho (denominado algebraico) de esta ecuación estaban bien definidos. John Tate lo expresó en 1974 en una famosa cita. ^{[4] : 198}

Esta notable conjetura relaciona el comportamiento de una función en un punto donde actualmente no se sabe si está definida con el orden de un grupo Ш que no se sabe si es finito. ${\displaystyle L}$

Por el teorema de modularidad demostrado en 2001 para curvas elípticas sobre el lado izquierdo ahora se sabe que está bien definido y se conoce la finitud de Ш(E) cuando además el rango analítico es como máximo 1, es decir, si se anula como máximo al orden 1 en . Ambas partes permanecen abiertas. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L(E,s)}$ ${\displaystyle s=1}$

Estado actual

Un gráfico, en azul, de la curva y ²  =  x ³  − 5 x a medida que X varía a lo largo de los primeros 100000 primos. El eje X está en escala log(log) - X se dibuja a una distancia proporcional a desde 0 - y el eje Y está en una escala logarítmica, por lo que la conjetura predice que los datos deberían tender a una línea de pendiente igual al rango de la curva, que es 1 en este caso -es decir, el cociente como , con C , r como en el texto. A modo de comparación, una línea de pendiente 1 en escala (log(log),log) -es decir, con ecuación- se dibuja en rojo en el gráfico. ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ ${\displaystyle \log(\log(X))}$ ${\displaystyle {\frac {\log \left(\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}\right)}{\log C+r\log(\log X))}}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle X\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \log y=a+\log(\log x)}$

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sólo se ha demostrado en casos especiales:

1. Coates y Wiles (1977) demostraron que si E es una curva sobre un cuerpo de números F con multiplicación compleja por un cuerpo cuadrático imaginario K de clase número 1, F = K o Q , y L ( E , 1) no es 0 entonces E ( F ) es un grupo finito. Esto fue extendido al caso donde F es cualquier extensión abeliana finita de K por Arthaud (1978).
2. Gross y Zagier (1986) demostraron que si una curva elíptica modular tiene un cero de primer orden en s = 1, entonces tiene un punto racional de orden infinito; véase el teorema de Gross-Zagier .
3. Kolyvagin (1989) demostró que una curva elíptica modular E para la cual L ( E , 1) no es cero tiene rango 0, y una curva elíptica modular E para la cual L ( E , 1) tiene un cero de primer orden en s = 1 tiene rango 1.
4. Rubin (1991) demostró que para curvas elípticas definidas sobre un campo cuadrático imaginario K con multiplicación compleja por K , si la serie L de la curva elíptica no era cero en s = 1, entonces la parte p del grupo de Tate-Shafarevich tenía el orden predicho por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, para todos los primos p > 7.
5. Breuil et al. (2001), extendiendo el trabajo de Wiles (1995), demostraron que todas las curvas elípticas definidas sobre números racionales son modulares , lo que extiende los resultados #2 y #3 a todas las curvas elípticas sobre los racionales, y muestra que las funciones L de todas las curvas elípticas sobre Q están definidas en s = 1.
6. Bhargava y Shankar (2015) demostraron que el rango promedio del grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica sobre Q está acotado por encima por 7/6. Combinando esto con el teorema de p-paridad de Nekovář (2009) y Dokchitser y Dokchitser (2010) y con la prueba de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa para GL(2) de Skinner y Urban (2014), concluyen que una proporción positiva de curvas elípticas sobre Q tienen rango analítico cero y, por lo tanto, según Kolyvagin (1989), satisfacen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Actualmente no existen pruebas que involucren curvas con un rango mayor que 1.

Hay amplia evidencia numérica de la verdad de la conjetura. ^[5]

Consecuencias

Al igual que la hipótesis de Riemann , esta conjetura tiene múltiples consecuencias, incluidas las dos siguientes:

• Sea n un entero impar sin cuadrados . Suponiendo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, n es el área de un triángulo rectángulo con lados racionales (un número congruente ) si y solo si el número de tripletes de enteros ( x , y , z ) que satisfacen 2 x ² + y ² + 8 z ² = n es el doble del número de tripletes que satisfacen 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . Esta afirmación, debida al teorema de Tunnell (Tunnell 1983), está relacionada con el hecho de que n es un número congruente si y solo si la curva elíptica y ² = x ³ − n ² x tiene un punto racional de orden infinito (por lo tanto, bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, su función L tiene un cero en 1 ). El interés de esta afirmación es que la condición se verifica fácilmente. ^[6]
• En una dirección diferente, ciertos métodos analíticos permiten una estimación del orden de cero en el centro de la franja crítica de familias de funciones L. Admitiendo la conjetura BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de las familias de curvas elípticas en cuestión. Por ejemplo: supongamos la hipótesis generalizada de Riemann y la conjetura BSD, el rango promedio de las curvas dado por y ² = x ³ + ax + b es menor que 2 . ^[7]

Generalizaciones

Existe una versión de esta conjetura para variedades abelianas generales sobre cuerpos numéricos. Una versión para variedades abelianas sobre es la siguiente: ^{[8] : 462} ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \lim _{s\to 1}{\frac {L(A/\mathbb {Q} ,s)}{(s-1)^{r}}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (A)\Omega _{A}R_{A}\prod _{p|N}c_{p}}{\#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}}.}$

Todos los términos tienen el mismo significado que para las curvas elípticas, excepto que el cuadrado del orden de la torsión debe reemplazarse por el producto que involucra la variedad abeliana dual . Las curvas elípticas como variedades abelianas unidimensionales son sus propios duales, es decir , lo que simplifica el enunciado de la conjetura BSD. El regulador debe entenderse para el emparejamiento entre una base para las partes libres de y en relación con el fibrado de Poincaré en el producto . ${\displaystyle \#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=E}$ ${\displaystyle R_{A}}$ ${\displaystyle A(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$

La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer de rango uno para curvas elípticas modulares y variedades abelianas modulares de tipo GL(2) sobre cuerpos de números totalmente reales fue demostrada por Shou-Wu Zhang en 2001. ^{[9] [10]}

Otra generalización la da la conjetura de Bloch-Kato . ^[11]

Notas

1. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer en el Instituto de Matemáticas Clay
2. Stewart, Ian (2013), Visiones del infinito: Los grandes problemas matemáticos, Basic Books, pág. 253, ISBN 9780465022403Al principio , Cassels se mostró muy escéptico..
3. Cremona, John (2011). "Evidencia numérica de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" (PDF) . Charla en la Conferencia del 50º aniversario de la BSD, mayo de 2011 ., página 50
4. Tate, John T. (1974). "La aritmética de las curvas elípticas". Invent Math . 23 : 179–206. doi :10.1007/BF01389745., página 198
5. Cremona, John (2011). "Evidencia numérica de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" (PDF) . Charla en la Conferencia del 50º aniversario de la BSD, mayo de 2011 .
6. Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 97 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
7. Heath-Brown, DR (2004). "El rango analítico promedio de las curvas elípticas". Duke Mathematical Journal . 122 (3): 591–623. arXiv : math/0305114 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3. MR  2057019. S2CID  15216987.
8. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 201. Nueva York, NY: Springer. p. 462. doi :10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 978-0-387-98975-4.
9. Zhang, Wei (2013). "La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y los puntos de Heegner: un estudio". Desarrollos actuales en matemáticas . 2013 : 169–203. doi : 10.4310/CDM.2013.v2013.n1.a3 ..
10. Leong, YK (julio-diciembre de 2018). "Shou-Wu Zhang: teoría de números y geometría algebraica aritmética" (PDF) . Impresos . N.º 32. Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. págs. 32–36 . Consultado el 5 de mayo de 2019 .
11. Kings, Guido (2003). "La conjetura de Bloch-Kato sobre valores especiales de funciones L. Un estudio de resultados conocidos". Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 15 (1): 179–198. doi : 10.5802/jtnb.396 . ISSN  1246-7405. MR  2019010.

Referencias

• Arthaud, Nicole (1978). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para curvas elípticas con multiplicación compleja". Compositio Mathematica . 37 (2): 209–232. MR  0504632.
• Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul (2015). "Formas cúbicas ternarias que tienen invariantes acotadas y la existencia de una proporción positiva de curvas elípticas que tienen rango 0". Anales de Matemáticas . 181 (2): 587–621. arXiv : 1007.0052 . doi :10.4007/annals.2015.181.2.4. S2CID  1456959.
• Birch, Bryan ; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). "Notas sobre curvas elípticas (II)". J. Reine Angew. Matemáticas. 165 (218): 79–108. doi :10.1515/crll.1965.218.79. S2CID  122531425.
• Breuil, Christophe ; Conrad, Brian ; Diamond, Fred ; Taylor, Richard (2001). "Sobre la modularidad de las curvas elípticas sobre Q: ejercicios 3-ádicos salvajes". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 14 (4): 843–939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 .
• Coates, JH ; Greenberg, R.; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999). Teoría aritmética de curvas elípticas . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1716. Springer-Verlag . ISBN. 3-540-66546-3.
• Coates, J. ; Wiles, A. (1977). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer". Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. Bibcode :1977InMat..39..223C. doi :10.1007/BF01402975. S2CID  189832636. Zbl  0359.14009.
• Deuring, Max (1941). "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 14 (1): 197–272. doi :10.1007/BF02940746. S2CID  124821516.
• Dokchitser, Tim; Dokchitser, Vladimir (2010). "Sobre los cocientes de Birch–Swinnerton-Dyer módulo cuadrados". Anales de Matemáticas . 172 (1): 567–596. arXiv : math/0610290 . doi :10.4007/annals.2010.172.567. MR  2680426. S2CID  9479748.
• Gross, Benedict H. ; Zagier, Don B. (1986). "Puntos de Heegner y derivadas de series L". Inventiones Mathematicae . 84 (2): 225–320. Bibcode :1986InMat..84..225G. doi :10.1007/BF01388809. MR  0833192. S2CID  125716869.
• Kolyvagin, Victor (1989). "Finitud de E ( Q ) y X ( E ,  Q ) para una clase de curvas de Weil". Matemáticas. URSS Izv . 32 (3): 523–541. Código Bibliográfico :1989IzMat..32..523K. doi :10.1070/im1989v032n03abeh000779.
• Mordell, Louis (1922). "Sobre las soluciones racionales de las ecuaciones indeterminadas de tercer y cuarto grado". Proc. Camb. Phil. Soc. 21 : 179–192.
• Nekovář, Jan (2009). "Sobre la paridad de rangos de los grupos de Selmer IV". Compositio Mathematica . 145 (6): 1351–1359. doi : 10.1112/S0010437X09003959 .
• Rubin, Karl (1991). "Las 'conjeturas principales' de la teoría de Iwasawa para cuerpos cuadráticos imaginarios". Inventiones Mathematicae . 103 (1): 25–68. Bibcode :1991InMat.103...25R. doi :10.1007/BF01239508. S2CID  120179735. Zbl  0737.11030.
• Skinner, Christopher ; Urban, Éric (2014). "Las principales conjeturas de Iwasawa para GL ₂ ". Inventiones Mathematicae . 195 (1): 1–277. Bibcode :2014InMat.195....1S. CiteSeerX  10.1.1.363.2008 . doi :10.1007/s00222-013-0448-1. S2CID  120848645.
• Tunnell, Jerrold B. (1983). "Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 72 (2): 323–334. Bibcode :1983InMat..72..323T. doi :10.1007/BF01389327. hdl :10338.dmlcz/137483. S2CID  121099824. Zbl  0515.10013.
• Wiles, Andrew (1995). "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118559. MR  1333035.
• Wiles, Andrew (2006). "La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer" (PDF) . En Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew (eds.). Los problemas del premio del milenio . American Mathematical Society. págs. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. MR  2238272. Archivado desde el original (PDF) el 29 de marzo de 2018 . Consultado el 16 de diciembre de 2013 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Swinnerton-Dyer". MathWorld .
• "Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer". PlanetMath .
• La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: entrevista con el profesor Henri Darmon por Agnes F. Beaudry
• ¿Qué es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer? Conferencia de Manjul Bhargava (septiembre de 2016) impartida durante la Conferencia de Investigación de Arcilla celebrada en la Universidad de Oxford