En geometría aritmética , el grupo de Tate–Shafarevich Ш( A / K ) de una variedad abeliana A (o más generalmente un esquema de grupo ) definido sobre un cuerpo de números K consiste en los elementos del grupo de Weil–Châtelet , donde es el grupo de Galois absoluto de K , que se vuelven triviales en todas las completaciones de K (es decir, las completaciones reales y complejas así como los cuerpos p -ádicos obtenidos a partir de K completando con respecto a todas sus valoraciones arquimedianas y no arquimedianas v ). Por lo tanto, en términos de cohomología de Galois , Ш( A / K ) puede definirse como
Este grupo fue introducido por Serge Lang y John Tate [1] e Igor Shafarevich . [2] Cassels introdujo la notación Ш( A / K ) , donde Ш es la letra cirílica " Sha ", para Shafarevich, reemplazando la antigua notación TS o TŠ .
Geométricamente, los elementos no triviales del grupo de Tate-Shafarevich pueden considerarse como los espacios homogéneos de A que tienen K v - puntos racionales para cada lugar v de K , pero ningún punto K -racional. Por lo tanto, el grupo mide el grado en el que el principio de Hasse no se cumple para ecuaciones racionales con coeficientes en el cuerpo K . Carl-Erik Lind dio un ejemplo de un espacio homogéneo de este tipo, al mostrar que la curva de género 1 x 4 − 17 = 2 y 2 tiene soluciones sobre los números reales y sobre todos los cuerpos p -ádicos, pero no tiene puntos racionales. [3] Ernst S. Selmer dio muchos más ejemplos, como 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 . [4]
El caso especial del grupo de Tate-Shafarevich para el esquema de grupo finito que consiste en puntos de un orden finito dado n de una variedad abeliana está estrechamente relacionado con el grupo de Selmer .
La conjetura de Tate-Shafarevich establece que el grupo de Tate-Shafarevich es finito. Karl Rubin demostró esto para algunas curvas elípticas de rango 1 como máximo con multiplicación compleja . [5] Victor A. Kolyvagin extendió esto a curvas elípticas modulares sobre los racionales de rango analítico como máximo 1 (el teorema de modularidad mostró más tarde que el supuesto de modularidad siempre se cumple). [6]
Se sabe que el grupo de Tate-Shafarevich es un grupo de torsión , [7] [8] por lo tanto la conjetura es equivalente a afirmar que el grupo está finitamente generado .
El apareamiento de Cassels–Tate es un apareamiento bilineal Ш( A ) × Ш(  ) → Q / Z , donde A es una variedad abeliana y  es su dual. Cassels introdujo esto para curvas elípticas , cuando A puede identificarse con  y el apareamiento es una forma alternada. [9] El núcleo de esta forma es el subgrupo de elementos divisibles, lo cual es trivial si la conjetura de Tate–Shafarevich es verdadera. Tate extendió el apareamiento a variedades abelianas generales, como una variación de la dualidad de Tate . [10] Una elección de polarización en A da una función de A a  , que induce un apareamiento bilineal en Ш( A ) con valores en Q / Z , pero a diferencia del caso de las curvas elípticas, esto no necesita ser alternado o incluso asimétrico.
Para una curva elíptica, Cassels demostró que el apareamiento es alternante, y una consecuencia es que si el orden de Ш es finito entonces es un cuadrado. Para variedades abelianas más generales a veces se creyó incorrectamente durante muchos años que el orden de Ш es un cuadrado siempre que sea finito; este error se originó en un artículo de Swinnerton-Dyer, [11] quien citó incorrectamente uno de los resultados de Tate. [10] Poonen y Stoll dieron algunos ejemplos donde el orden es el doble de un cuadrado, como el jacobiano de cierta curva de género 2 sobre los racionales cuyo grupo de Tate-Shafarevich tiene orden 2, [12] y Stein dio algunos ejemplos donde la potencia de un primo impar que divide el orden es impar. [13] Si la variedad abeliana tiene una polarización principal entonces la forma en Ш es antisimétrica lo que implica que el orden de Ш es un cuadrado o dos veces un cuadrado (si es finito), y si además la polarización principal proviene de un divisor racional (como es el caso de las curvas elípticas) entonces la forma es alternada y el orden de Ш es un cuadrado (si es finito). Por otro lado, basándose en los resultados recién presentados, Konstantinous demostró que para cualquier número libre de cuadrados n hay una variedad abeliana A definida sobre Q y un entero m con | Ш | = n ⋅ m 2 . [14] En particular Ш es finito en los ejemplos de Konstantinous y estos ejemplos confirman una conjetura de Stein. Por lo tanto, módulo cuadrados cualquier entero puede ser del orden de Ш .
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