En matemáticas , un punto de Heegner es un punto de una curva modular que es la imagen de un punto imaginario cuadrático del semiplano superior . Fueron definidos por Bryan Birch y recibieron su nombre en honor a Kurt Heegner , quien utilizó ideas similares para demostrar la conjetura de Gauss sobre cuerpos cuadráticos imaginarios de clase número uno.
Teorema de Gross-Zagier
El teorema de Gross-Zagier (Gross y Zagier 1986) describe la altura de los puntos de Heegner en términos de una derivada de la función L de la curva elíptica en el punto s = 1. En particular, si la curva elíptica tiene rango (analítico) 1, entonces los puntos de Heegner pueden usarse para construir un punto racional en la curva de orden infinito (por lo que el grupo de Mordell-Weil tiene rango al menos 1). De manera más general, Gross, Kohnen y Zagier (1987) demostraron que los puntos de Heegner podían usarse para construir puntos racionales en la curva para cada entero positivo n , y las alturas de estos puntos eran los coeficientes de una forma modular de peso 3/2. Shou-Wu Zhang generalizó el teorema de Gross-Zagier de las curvas elípticas al caso de las variedades abelianas modulares (Zhang 2001, 2004, Yuan , Zhang y Zhang 2009).
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Posteriormente, Kolyvagin utilizó puntos de Heegner para construir sistemas de Euler , y los utilizó para demostrar gran parte de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para curvas elípticas de rango 1. Brown demostró la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para la mayoría de las curvas elípticas de rango 1 sobre campos globales de característica positiva (Brown 1994).
Cálculo
Los puntos de Heegner se pueden utilizar para calcular puntos racionales muy grandes en curvas elípticas de rango 1 (consulte (Watkins 2006) para obtener una encuesta) que no se podrían encontrar con métodos ingenuos. Las implementaciones del algoritmo están disponibles en Magma , PARI/GP y Sage .
Referencias
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- Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, eds. (2004), Puntos de Heegner y serie L de Rankin, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 49, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, Sr. 2083206
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