numero congruente

Triángulo de área 6, un número congruente.

En teoría de números , un número congruente es un número entero positivo que es el área de un triángulo rectángulo con tres lados de números racionales . ^{[1] [2]} Una definición más general incluye todos los números racionales positivos con esta propiedad. ^[3]

La secuencia de números (enteros) congruentes comienza con

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (secuencia A003273 en el OEIS )

Tabla de números congruentes: n ≤ 120

Por ejemplo, 5 es un número congruente porque es el área de un triángulo (20/3, 3/2, 41/6). De manera similar, 6 es un número congruente porque es el área de un triángulo (3,4,5). 3 y 4 no son números congruentes.

Si q es un número congruente, entonces s ² q también es un número congruente para cualquier número natural s (simplemente multiplicando cada lado del triángulo por s ), y viceversa. Esto lleva a la observación de que si un número racional distinto de cero q es un número congruente depende sólo de su residuo en el grupo

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$,

¿ Dónde está el conjunto de los números racionales distintos de cero? ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$

Cada clase de residuo en este grupo contiene exactamente un entero sin cuadrados y, por lo tanto, es común considerar solo enteros positivos sin cuadrados cuando se habla de números congruentes.

problema de números congruentes

La cuestión de determinar si un número racional dado es un número congruente se llama problema de números congruentes . Este problema (a partir de 2019) no se ha resuelto exitosamente. El teorema de Tunnell proporciona un criterio fácilmente comprobable para determinar si un número es congruente; pero su resultado se basa en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , que aún no ha sido demostrada.

El teorema del triángulo rectángulo de Fermat , llamado así en honor a Pierre de Fermat , establece que ningún número cuadrado puede ser un número congruente. Sin embargo, en la forma en que todo congruum (la diferencia entre elementos consecutivos en una progresión aritmética de tres cuadrados) es no cuadrado, Fibonacci ya lo sabía (sin pruebas) . ^[4] Todo congruo es un número congruente, y todo número congruente es producto de un congruo por el cuadrado de un número racional. ^[5] Sin embargo, determinar si un número es congruente es mucho más fácil que determinar si es congruente, porque existe una fórmula parametrizada para congruo para la cual sólo es necesario probar un número finito de valores de parámetros. ^[6]

Soluciones

n es un número congruente si y sólo si el sistema

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=u^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}=v^{2}}$

tiene una solución donde y son números enteros. ^[7] ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

Dada una solución, los tres números , y estarán en una progresión aritmética con diferencia común . ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle ny^{2}}$

Además, si hay una solución (donde los lados derechos son cuadrados), entonces hay infinitas soluciones: dada cualquier solución , se puede calcular otra solución a partir de ^[8] ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2}}$,

${\displaystyle y'=2xyuv}$.

Por ejemplo, con , las ecuaciones son: ${\displaystyle n=6}$

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=u^{2}}$,

${\displaystyle x^{2}+6y^{2}=v^{2}}$.

Una solución es (para que ). Otra solución es ${\displaystyle x=5,y=2}$ ${\displaystyle u=1,v=7}$

${\displaystyle x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201}$,

${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140}$.

Con este nuevo y , los lados derechos siguen siendo ambos cuadrados: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle u^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}}$.

Dado , y , se puede obtener , y tal que ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, y ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

de

${\displaystyle a={\frac {v-u}{y}}}$, , . ${\displaystyle b={\frac {v+u}{y}}}$ ${\displaystyle c={\frac {2x}{y}}}$

Entonces y son los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo con área . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

Los valores anteriores producen . Los valores dan . Ambos triángulos rectángulos tienen área . ${\displaystyle (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(3,4,5)}$ ${\displaystyle (1201,140,1151,1249)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)}$ ${\displaystyle n=6}$

Relación con curvas elípticas

La cuestión de si un número dado es congruente resulta ser equivalente a la condición de que cierta curva elíptica tenga rango positivo . ^[3] A continuación se presenta un enfoque alternativo a la idea (que esencialmente también se puede encontrar en la introducción al artículo de Tunnell).

Supongamos que a , b , c son números (no necesariamente positivos o racionales) que satisfacen las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Luego establezca x = n ( a + c )/ by y = 2 n ² ( a + c )/ b ² . Un cálculo muestra

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

y y no es 0 (si y = 0 entonces a = - c , entonces b = 0 , pero ( 1 ⁄ 2 ) ab = n es distinto de cero, una contradicción).

Por el contrario, si x e y son números que satisfacen la ecuación anterior e y no es 0, establezca a = ( x ² - n ² )/ y , b = 2 nx / y y c = ( x ² + n ² )/ y . Un cálculo muestra que estos tres números satisfacen las dos ecuaciones para a , b y c anteriores.

Estas dos correspondencias entre ( a , b , c ) y ( x , y ) son inversas entre sí, por lo que tenemos una correspondencia uno a uno entre cualquier solución de las dos ecuaciones en a , b y c y cualquier solución. de la ecuación en xey con y distinto de cero. En particular, a partir de las fórmulas de las dos correspondencias, para n racional vemos que a , b y c son racionales si y sólo si los correspondientes x e y son racionales, y viceversa. (También tenemos que a , b y c son todos positivos si y sólo si x e y son todos positivos; de la ecuación y ² = x ³ - xn ² = x ( x ² - n ² ) vemos que si x e y son positivos, entonces x ² - n ² deben ser positivos, por lo que la fórmula para a anterior es positiva).

Por tanto, un número racional positivo n es congruente si y sólo si la ecuación y ² = x ³ - n ² x tiene un punto racional con y distinto de 0. Puede demostrarse (como una aplicación del teorema de Dirichlet sobre números primos en progresión aritmética ) que los únicos puntos de torsión en esta curva elíptica son aquellos con y igual a 0, por lo que la existencia de un punto racional con y distinto de cero equivale a decir que la curva elíptica tiene rango positivo.

Otro enfoque para resolver es comenzar con un valor entero de n denotado como N y resolver

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{matrix}c&=&n^{2}/e+e\\a&=&2n\\b&=&n^{2}/e-e\end{matrix}}}$

Soluciones más pequeñas

David Goldberg ha calculado números libres de cuadrados congruentes menores que 10 ⁴ , junto con los valores a y b correspondientes . ^[9]

Progreso actual

Se ha trabajado mucho en la clasificación de números congruentes.

Por ejemplo, se sabe ^[10] que para un número primo p , se cumple lo siguiente:

• si p ≡ 3 ( mod 8) , entonces p no es un número congruente, pero 2 p es un número congruente.
• si p ≡ 5 (mod 8) , entonces p es un número congruente.
• si p ≡ 7 (mod 8) , entonces p y 2 p son números congruentes.

También se sabe ^[11] que en cada una de las clases de congruencia 5, 6, 7 (mod 8) , para cualquier k dada hay infinitos números congruentes libres de cuadrados con k factores primos.

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Número congruente". MundoMatemático .
2. Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números ([3ª ed.] ed.). Nueva York: Springer. págs. 195-197. ISBN 0-387-20860-7. OCLC  54611248.
3. Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Nueva York: Springer-Verlag , p. 3, ISBN 0-387-97966-2
4. Ore, Øystein (2012), La teoría de números y su historia, Courier Dover Corporation, págs. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1.
5. Conrad, Keith (otoño de 2008), "El problema de los números congruentes" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) el 20 de enero de 2013.
6. Darling, David (2004), El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón, John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
7. Uspensky, JV ; Heaslet, MA (1939). Teoría elemental de números . vol. 2. McGraw Hill. pag. 419.
8. Dickson, Leonard Eugene (1966). Historia de la Teoría de los Números . vol. 2. Chelsea. págs. 468–469.
9. Goldberg, David (7 de junio de 2021). "Lados del triángulo para números congruentes menores que 10.000". arXiv : 2106.07373 [matemáticas.NT].
10. Paul Monsky (1990), "Puntos simulados de Heegner y números congruentes", Mathematische Zeitschrift , 204 (1): 45–67, doi :10.1007/BF02570859, S2CID  121911966
11. Tian, ​​Ye (2014), "Números congruentes y puntos de Heegner", Cambridge Journal of Mathematics , 2 (1): 117–161, arXiv : 1210.8231 , doi :10.4310/CJM.2014.v2.n1.a4, MR  3272014 , S2CID  55390076.

Referencias

• Alter, Ronald (1980), "El problema de los números congruentes", American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América, 87 (1): 43–45, doi :10.2307/2320381, JSTOR  2320381
• Chandrasekar, V. (1998), "El problema de los números congruentes" (PDF) , Resonancia , 3 (8): 33–45, doi :10.1007/BF02837344, S2CID  123495100
• Dickson, Leonard Eugene (2005), "Capítulo XVI", Historia de la teoría de números , Dover Books on Mathematics, vol. II: Análisis diofántico, Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-44233-4- ver, para una historia del problema.
• Guy, Richard (2004), Problemas no resueltos en teoría de números , Libros de problemas de matemáticas (libro 1) (3.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001- En él se dan muchas referencias.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), "Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Bibcode :1983InMat..72..323T, doi :10.1007/ BF01389327, hdl : 10338.dmlcz/137483

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número congruente". MundoMatemático .
• Se puede encontrar una breve discusión del estado actual del problema con muchas referencias en Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (Posdata) de Alice Silverberg .
• Un billón de triángulos: los matemáticos han resuelto el primer billón de casos (condicionado a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer ).