Una curva elíptica modular es una curva elíptica E que admite una parametrización X 0 ( N ) → E mediante una curva modular . Esto no es lo mismo que una curva modular que resulta ser una curva elíptica, algo que podría llamarse curva modular elíptica. El teorema de modularidad , también conocido como conjetura de Taniyama-Shimura, afirma que toda curva elíptica definida sobre los números racionales es modular.
En las décadas de 1950 y 1960, el matemático japonés Goro Shimura conjeturó una conexión entre curvas elípticas y formas modulares basándose en ideas planteadas por Yutaka Taniyama . En Occidente se hizo muy conocido gracias a un artículo de 1967 de André Weil . Con Weil dando evidencia conceptual de ello, a veces se le llama conjetura de Taniyama-Shimura-Weil . Afirma que toda curva elíptica racional es modular .
En una rama separada del desarrollo, a finales de la década de 1960, Yves Hellegouarch tuvo la idea de asociar soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. [1] La curva consta de todos los puntos del plano cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen la relación
Una curva elíptica de este tipo gozaría de propiedades muy especiales, que se deben a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y al hecho de que an + b n = c n es también una n -ésima potencia .
En el verano de 1986, Ken Ribet demostró que, tal como había anticipado Gerhard Frey , un caso especial de la conjetura de Taniyama-Shimura (todavía no demostrada en ese momento), junto con la conjetura épsilon ahora demostrada (ahora llamada teorema de Ribet ), implica el último teorema de Fermat. Por tanto, si la conjetura de Taniyama-Shimura es cierta para curvas elípticas semiestables, entonces el último teorema de Fermat sería verdadero. Sin embargo, este enfoque teórico se consideró en general inalcanzable, ya que la propia conjetura de Taniyama-Shimura se consideraba completamente inaccesible a la prueba con el conocimiento actual. [2] Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible probarlo realmente", [3] y Ken Ribet se consideraba "una de la gran mayoría de personas que creían que [esto] era completamente inaccesible". [4]
Al enterarse de la prueba de 1986 de la conjetura épsilon, Wiles decidió comenzar a investigar exclusivamente para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y demostrarlo". [4]
Wiles anunció su prueba por primera vez el miércoles 23 de junio de 1993, en una conferencia en Cambridge titulada "Curvas elípticas y representaciones de Galois". [5] Sin embargo, se descubrió que la prueba contenía un error en septiembre de 1993. Un año después, el lunes 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida laboral", Wiles tropezó con un revelación, "tan indescriptiblemente hermosa... tan simple y tan elegante", que le permitió corregir la prueba a satisfacción de la comunidad matemática. La prueba correcta se publicó en mayo de 1995. La prueba utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat.
El teorema establece que cualquier curva elíptica sobre Q se puede obtener mediante un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica.
para algún número entero N ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se llama parametrización modular de nivel N. Si N es el entero más pequeño para el cual se puede encontrar tal parametrización (que por el propio teorema de modularidad ahora se sabe que es un número llamado conductor ) , entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de forma modular de peso dos y nivel N , una nueva forma normalizada con expansión q entera , seguida si es necesario por una isogenia .
El teorema de modularidad implica una afirmación analítica estrechamente relacionada: a una curva elíptica E sobre Q podemos adjuntarle una serie L correspondiente . La serie L es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita
donde el producto y los coeficientes se definen en la función zeta de Hasse-Weil . La función generadora de los coeficientes es entonces
Si hacemos la sustitución
vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función de la variable compleja τ , por lo que los coeficientes de la serie q también se consideran coeficientes de Fourier de . La función obtenida de esta manera es, sorprendentemente, una forma cúspide de peso dos y nivel N y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se deriva del teorema de modularidad.
Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomórficos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles , correspondientes a las formas propias de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las formas propias de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella es isógena a la curva original (pero, en general, no es isomorfa a ella).
