En teoría de números , la curva modular clásica es una curva algebraica plana irreducible dada por una ecuación
tal que ( x , y ) = ( j ( nτ ), j ( τ )) es un punto en la curva. Aquí j ( τ ) denota el j -invariante .
A veces, la curva se denomina X 0 ( n ) , aunque a menudo se utiliza esa notación para la curva algebraica abstracta para la que existen varios modelos. Un objeto relacionado es el polinomio modular clásico , un polinomio en una variable definido como Φ n ( x , x ) .
Es importante señalar que las curvas modulares clásicas son parte de la teoría más amplia de curvas modulares . En particular , tiene otra expresión como cociente compactificado del semiplano superior complejo H.
La curva modular clásica, que llamaremos X 0 ( n ) , es de grado mayor o igual a 2 n cuando n > 1 , con igualdad si y solo si n es primo. El polinomio Φ n tiene coeficientes enteros y, por lo tanto, está definido sobre cada cuerpo. Sin embargo, los coeficientes son lo suficientemente grandes como para que el trabajo computacional con la curva pueda ser difícil. Como polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , tiene grado ψ ( n ) , donde ψ es la función psi de Dedekind . Como Φ n ( x , y ) = Φ n ( y , x ) , X 0 ( n ) es simétrico alrededor de la línea y = x , y tiene puntos singulares en las raíces repetidas del polinomio modular clásico, donde se cruza consigo mismo en el plano complejo. Éstas no son las únicas singularidades, y en particular cuando n > 2 , hay dos singularidades en el infinito, donde x = 0, y = ∞ y x = ∞, y = 0 , que tienen sólo una rama y por lo tanto tienen un invariante de nudo que es un verdadero nudo, y no sólo un vínculo.
Para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18 o 25 , X 0 ( n ) tiene género cero y, por lo tanto, puede parametrizarse [1] mediante funciones racionales. El ejemplo no trivial más simple es X 0 (2) , donde:
es (hasta el término constante) la serie de McKay–Thompson para la clase 2B del Monstruo , y η es la función eta de Dedekind , entonces
parametriza X 0 (2) en términos de funciones racionales de j 2 . No es necesario calcular realmente j 2 para utilizar esta parametrización; puede tomarse como un parámetro arbitrario.
Una curva C sobre Q se denomina curva modular si para algún n existe un morfismo sobreyectivo φ : X 0 ( n ) → C , dado por una función racional con coeficientes enteros. El famoso teorema de modularidad nos dice que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares.
También surgen aplicaciones en conexión con X 0 ( n ) puesto que los puntos en ella corresponden a algunos pares n -isógenos de curvas elípticas. Una isogenia entre dos curvas elípticas es un morfismo no trivial de variedades (definido por una aplicación racional) entre las curvas que también respeta las leyes de grupo, y por lo tanto que envía el punto en el infinito (que sirve como identidad de la ley de grupo) al punto en el infinito. Una aplicación de este tipo es siempre sobreyectiva y tiene un núcleo finito, cuyo orden es el grado de la isogenia. Los puntos en X 0 ( n ) corresponden a pares de curvas elípticas que admiten una isogenia de grado n con núcleo cíclico.
Cuando X 0 ( n ) tiene género uno, será en sí mismo isomorfo a una curva elíptica, que tendrá el mismo j -invariante .
Por ejemplo, X 0 (11) tiene j -invariante −2 12 11 −5 31 3 , y es isomorfa a la curva y 2 + y = x 3 − x 2 − 10 x − 20 . Si sustituimos este valor de j por y en X 0 (5) , obtenemos dos raíces racionales y un factor de grado cuatro. Las dos raíces racionales corresponden a clases de isomorfismo de curvas con coeficientes racionales que son 5-isógenos a la curva anterior, pero no isomorfos, y tienen un campo de funciones diferente. En concreto, tenemos los seis puntos racionales: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11, y x=-4096/11, y=-52893159101157376/11, más los tres puntos que intercambian x e y , todos en X 0 (5) , correspondientes a las seis isogenias entre estas tres curvas.
Si en la curva y 2 + y = x 3 − x 2 − 10 x − 20 , isomorfa a X 0 (11) sustituimos
y factorizamos, obtenemos un factor extraño de una función racional de x , y la curva y 2 + y = x 3 − x 2 , con j -invariante −2 12 11 −1 . Por lo tanto, ambas curvas son modulares de nivel 11 , con aplicaciones de X 0 (11) .
Por un teorema de Henri Carayol, si una curva elíptica E es modular entonces su conductor , un invariante de isogenia descrito originalmente en términos de cohomología , es el entero más pequeño n tal que existe una aplicación racional φ : X 0 ( n ) → E . Como ahora sabemos que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares, también sabemos que el conductor es simplemente el nivel n de su parametrización modular mínima.
La teoría de Galois de la curva modular fue investigada por Erich Hecke . Considerada como un polinomio en x con coeficientes en Z [ y ] , la ecuación modular Φ 0 ( n ) es un polinomio de grado ψ ( n ) en x , cuyas raíces generan una extensión de Galois de Q ( y ) . En el caso de X 0 ( p ) con p primo, donde la característica del cuerpo no es p , el grupo de Galois de Q ( x , y )/ Q ( y ) es PGL(2, p ) , el grupo lineal general proyectivo de transformaciones fraccionarias lineales de la línea proyectiva del cuerpo de p elementos, que tiene p + 1 puntos, el grado de X 0 ( p ) .
Esta extensión contiene una extensión algebraica F / Q donde si en la notación de Gauss entonces:
Si ampliamos el campo de constantes para que sea F , tenemos ahora una extensión con grupo de Galois PSL(2, p ) , el grupo lineal especial proyectivo del campo con p elementos, que es un grupo simple finito. Al especializar y en un elemento de campo específico, podemos, fuera de un conjunto delgado, obtener una infinidad de ejemplos de campos con grupo de Galois PSL(2, p ) sobre F , y PGL(2, p ) sobre Q .
Cuando n no es primo, los grupos de Galois se pueden analizar en términos de los factores de n como un producto de corona .
