Reciprocidad cuadrática

Da condiciones para la solubilidad de ecuaciones cuadráticas módulo números primos

Gauss publicó la primera y segunda pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática en los artículos 125-146 y 262 de Disquisitiones Arithmeticae en 1801.

En teoría de números , la ley de reciprocidad cuadrática es un teorema sobre aritmética modular que establece las condiciones para la resolubilidad de ecuaciones cuadráticas módulo números primos . Debido a su sutileza, tiene muchas formulaciones, pero la afirmación más estándar es:

Ley de reciprocidad cuadrática  :  Sean p y q números primos impares distintos y definamos el símbolo de Legendre como:

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ for some integer }}n\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Esta ley, junto con sus complementos, permite el cálculo sencillo de cualquier símbolo de Legendre, haciendo posible determinar si existe una solución entera para cualquier ecuación cuadrática de la forma para un primo impar ; es decir, determinar los "cuadrados perfectos" módulo . Sin embargo, este es un resultado no constructivo : no proporciona ninguna ayuda para encontrar una solución específica ; para esto, se requieren otros métodos. Por ejemplo, en el caso de utilizar el criterio de Euler, se puede dar una fórmula explícita para las "raíces cuadradas" módulo de un residuo cuadrático , a saber, ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \pm a^{\frac {p+1}{4}}}$

en efecto,

${\displaystyle \left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.}$

Esta fórmula sólo funciona si se sabe de antemano que es un residuo cuadrático , lo que se puede comprobar mediante la ley de reciprocidad cuadrática. ${\displaystyle a}$

El teorema de reciprocidad cuadrática fue conjeturado por Euler y Legendre y demostrado por primera vez por Gauss , ^[1] quien se refirió a él como el "teorema fundamental" en sus Disquisitiones Arithmeticae y sus artículos, escribiendo

El teorema fundamental debe ser considerado, sin duda, como uno de los más elegantes de su tipo. (Art. 151)

En privado, Gauss se refería a él como el "teorema áureo". ^[2] Publicó seis demostraciones de este teorema y se encontraron dos más en sus artículos póstumos. Actualmente hay más de 240 demostraciones publicadas. ^[3] La demostración más corta conocida se incluye a continuación, junto con demostraciones cortas de los suplementos de la ley (los símbolos de Legendre de −1 y 2).

La generalización de la ley de reciprocidad a potencias superiores ha sido un problema importante en matemáticas y ha sido crucial para el desarrollo de gran parte de la maquinaria del álgebra moderna , la teoría de números y la geometría algebraica , que culminó con la reciprocidad de Artin , la teoría de campos de clases y el programa Langlands .

Ejemplos motivadores

La reciprocidad cuadrática surge de ciertos patrones sutiles de factorización que involucran números cuadrados perfectos. En esta sección, damos ejemplos que conducen al caso general.

Factorización  norte2 − 5

Considere el polinomio y sus valores para Las factorizaciones primas de estos valores se dan a continuación: ${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Los factores primos que dividen son , y todo primo cuyo último dígito es o ; nunca aparecen primos que terminen en o . Ahora bien, es un factor primo de algún siempre que , es decir, siempre que es decir, siempre que 5 sea un residuo cuadrático módulo . Esto sucede para y aquellos primos con y los últimos números y son precisamente los residuos cuadráticos módulo . Por lo tanto, excepto para , tenemos que es un residuo cuadrático módulo si y solo si es un residuo cuadrático módulo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n^{2}-5}$ ${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle p\equiv 1,4{\bmod {5}},}$ ${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$ ${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p=2,5}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 5}$

La ley de reciprocidad cuadrática da una caracterización similar de los divisores primos de para cualquier primo q , lo que conduce a una caracterización para cualquier entero . ${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$ ${\displaystyle q}$

Patrones entre residuos cuadráticos

Sea p un primo impar. Un número módulo p es un residuo cuadrático siempre que sea congruente con un cuadrado (mód p ); en caso contrario, es un residuo cuadrático no cuadrático. (Se puede omitir el término "cuadrático" si el contexto lo deja claro). Aquí excluimos el cero como caso especial. Entonces, como consecuencia del hecho de que el grupo multiplicativo de un cuerpo finito de orden p es cíclico de orden p-1 , se cumplen las siguientes afirmaciones:

• Hay un número igual de residuos cuadráticos y no residuos; y
• El producto de dos residuos cuadráticos es un residuo, el producto de un residuo y un no residuo es un no residuo, y el producto de dos no residuos es un residuo.

Para evitar dudas, estas afirmaciones no se cumplen si el módulo no es primo. Por ejemplo, solo hay 3 residuos cuadráticos (1, 4 y 9) en el grupo multiplicativo módulo 15. Además, aunque 7 y 8 son residuos cuadráticos no primos, su producto 7x8 = 11 también es un residuo cuadrático no primo, a diferencia del caso primo.

Los residuos cuadráticos aparecen como entradas en la siguiente tabla, indexados por el número de fila como módulo y el número de columna como raíz:

Esta tabla está completa para los primos impares menores que 50. Para comprobar si un número m es un residuo cuadrático módulo uno de estos primos p , encuentre a ≡ m (mod p ) y 0 ≤ a < p . Si a está en la fila p , entonces m es un residuo (mod p ); si a no está en la fila p de la tabla, entonces m es un no residuo (mod p ).

La ley de reciprocidad cuadrática es la afirmación de que ciertos patrones encontrados en la tabla son verdaderos en general.

La versión de Legendre

Otra forma de organizar los datos es ver qué primos son residuos mod qué otros primos, como se ilustra en la siguiente tabla. La entrada en la fila p columna q es R si q es un residuo cuadrático (mod p ); si no es un residuo, la entrada es N .

Si la fila, o la columna, o ambas, son ≡ 1 (mod 4), la entrada es azul o verde; si tanto la fila como la columna son ≡ 3 (mod 4), es amarilla o naranja.

Las entradas azul y verde son simétricas alrededor de la diagonal: la entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es R (resp N ).

Los amarillos y naranjas, por otro lado, son antisimétricos: la entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y sólo si la entrada en la fila q , columna p , es N (resp R ).

La ley de reciprocidad establece que estos patrones se cumplen para todos los p y q .

Ordenar las filas y columnas módulo 4 hace que el patrón sea más claro.

Suplementos a la reciprocidad cuadrática

Los suplementos aportan soluciones a casos específicos de reciprocidad cuadrática. A menudo se citan como resultados parciales, sin tener que recurrir al teorema completo.

q= ±1 y el primer suplemento

Trivialmente, 1 es un residuo cuadrático para todos los primos. La cuestión se vuelve más interesante para −1. Al examinar la tabla, encontramos −1 en las filas 5, 13, 17, 29, 37 y 41, pero no en las filas 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 o 47. El primer conjunto de primos es congruente con 1 módulo 4, y el segundo con 3 módulo 4.

Primer suplemento de la reciprocidad cuadrática. La congruencia es resoluble si y sólo si es congruente con 1 módulo 4. ${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$

q= ±2 y el segundo suplemento

Examinando la tabla, encontramos 2 en las filas 7, 17, 23, 31, 41 y 47, pero no en las filas 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 o 43. Los primeros primos son todos ≡ ±1 (mod 8), y los segundos son todos ≡ ±3 (mod 8). Esto nos lleva a

Segundo suplemento de la reciprocidad cuadrática. La congruencia es resoluble si y sólo si es congruente con ±1 módulo 8. ${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$

−2 está en las filas 3, 11, 17, 19, 41, 43, pero no en las filas 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 o 47. Las primeras son ≡ 1 o ≡ 3 (mod 8), y las últimas son ≡ 5, 7 (mod 8).

q= ±3

3 está en las filas 11, 13, 23, 37 y 47, pero no en las filas 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 o 43. Las primeras son ≡ ±1 (mod 12) y las últimas son todas ≡ ±5 (mod 12).

−3 está en las filas 7, 13, 19, 31, 37 y 43, pero no en las filas 5, 11, 17, 23, 29, 41 o 47. Las primeras son ≡ 1 (mod 3) y las últimas ≡ 2 (mod 3).

Como el único residuo (mod 3) es 1, vemos que −3 es un residuo cuadrático módulo todo primo que es un residuo módulo 3.

q= ±5

5 está en las filas 11, 19, 29, 31 y 41, pero no en las filas 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 o 47. Las primeras son ≡ ±1 (mod 5) y las últimas son ≡ ±2 (mod 5).

Como los únicos residuos (mod 5) son ±1, vemos que 5 es un residuo cuadrático módulo todo primo que es un residuo módulo 5.

−5 está en las filas 3, 7, 23, 29, 41, 43 y 47, pero no en las filas 11, 13, 17, 19, 31 o 37. Las primeras son ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) y las últimas son ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Más altoq

Las observaciones sobre −3 y 5 siguen siendo válidas: −7 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 7, −11 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 11, 13 es un residuo (mod p ) si y solo si p es un residuo módulo 13, etc. Las reglas de aspecto más complicado para los caracteres cuadráticos de 3 y −5, que dependen de congruencias módulo 12 y 20 respectivamente, son simplemente las de −3 y 5 trabajando con el primer suplemento.

Ejemplo. Para que −5 sea un residuo (mod p ), tanto 5 como −1 deben ser residuos (mod p ) o ambos deben ser no residuos: es decir, p ≡ ±1 (mod 5) y p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ ±2 (mod 5) y p ≡ 3 (mod 4). Usando el teorema chino del residuo, estos son equivalentes a p ≡ 1, 9 (mod 20) o p ≡ 3, 7 (mod 20).

La generalización de las reglas para −3 y 5 es la declaración de Gauss de reciprocidad cuadrática.

Enunciado del teorema

Reciprocidad cuadrática (enunciado de Gauss). Si , entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable. Si y , entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable. ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}}$

Reciprocidad cuadrática (propuesta combinada). Defina . Entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable. ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}}$

Reciprocidad cuadrática (enunciado de Legendre). Si p o q son congruentes con 1 módulo 4, entonces: es resoluble si y solo si es resoluble. Si p y q son congruentes con 3 módulo 4, entonces: es resoluble si y solo si no es resoluble. ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$

La última es inmediatamente equivalente a la forma moderna enunciada en la introducción anterior. Es un ejercicio simple demostrar que las afirmaciones de Legendre y Gauss son equivalentes: no se requiere más que el primer complemento y los hechos sobre la multiplicación de residuos y no residuos.

Prueba

Al parecer, la prueba más corta conocida hasta ahora fue publicada por B. Veklych en el American Mathematical Monthly . ^[4]

Pruebas de los suplementos

El valor del símbolo de Legendre (utilizado en la prueba anterior) se deriva directamente del criterio de Euler : ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}}$

por el criterio de Euler, pero ambos lados de esta congruencia son números de la forma , por lo que deben ser iguales. ${\displaystyle \pm 1}$

Si es un residuo cuadrático se puede concluir si conocemos el número de soluciones de la ecuación con la que se puede resolver por métodos estándar. Es decir, todas sus soluciones donde se pueden agrupar en octillizos de la forma , y lo que queda son cuatro soluciones de la forma y posiblemente cuatro soluciones adicionales donde y , que existen precisamente si es un residuo cuadrático. Es decir, es un residuo cuadrático precisamente si el número de soluciones de esta ecuación es divisible por . Y esta ecuación se puede resolver de la misma manera aquí que sobre los números racionales: sustituimos , donde exigimos que (omitiendo las dos soluciones ), entonces la ecuación original se transforma en ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$ ${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$ ${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$ ${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle (1,\pm 1)}$

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

Aquí puede tener cualquier valor que no haga que el denominador sea cero –para lo cual hay posibilidades (es decir, si es un residuo, si no)– y tampoco haga que sea cero, lo que excluye una opción más, . Por lo tanto, hay ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t=-1}$

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

posibilidades para , y por lo tanto junto con las dos soluciones excluidas hay soluciones globales de la ecuación original. Por lo tanto, es un residuo módulo si y solo si divide a . Esta es una reformulación de la condición establecida anteriormente. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

Historia y afirmaciones alternativas

El teorema fue formulado de muchas maneras antes de su forma moderna: Euler y Legendre no tenían la notación de congruencia de Gauss, ni Gauss tenía el símbolo de Legendre.

En este artículo, p y q siempre se refieren a números primos impares positivos distintos, y x e y a números enteros no especificados.

Fermat

Fermat demostró ^[5] (o afirmó haber demostrado) ^[6] una serie de teoremas sobre la expresión de un primo mediante una forma cuadrática:

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}}$

No enunció la ley de reciprocidad cuadrática, aunque los casos −1, ±2 y ±3 son deducciones fáciles de estos y otros de sus teoremas.

También afirmó tener una prueba de que si el número primo p termina en 7 (en base 10) y el número primo q termina en 3, y p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

Euler conjeturó, y Lagrange demostró, que ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

Probar estas y otras afirmaciones de Fermat fue una de las cosas que llevaron a los matemáticos al teorema de reciprocidad.

Euler

Traducido a notación moderna, Euler afirmó ^[8] que para primos impares distintos p y q :

1. Si q ≡ 1 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y sólo si existe algún entero b tal que p ≡ b ² (mod q ).
2. Si q ≡ 3 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y sólo si existe algún entero b que sea impar y no divisible por q tal que p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Esto es equivalente a la reciprocidad cuadrática.

No pudo probarlo, pero sí probó el segundo suplemento. ^[9]

Legendre y su símbolo

Fermat demostró que si p es un número primo y a es un entero,

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.}$

Por lo tanto, si p no divide a a , utilizando el hecho no obvio (ver por ejemplo Ireland y Rosen a continuación) de que los residuos módulo p forman un cuerpo y, por lo tanto, en particular el grupo multiplicativo es cíclico, entonces puede haber como máximo dos soluciones para una ecuación cuadrática:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.}$

Legendre ^[10] hace que a y A representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b y B primos positivos ≡ 3 (mod 4), y establece una tabla de ocho teoremas que juntos son equivalentes a la reciprocidad cuadrática:

Dice que dado que las expresiones de la forma

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

Aparecerán tan a menudo que los abreviará así:

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.}$

Esto ahora se conoce como el símbolo de Legendre , y hoy en día se utiliza una definición equivalente ^{[11] [12] : para todos los números enteros} a y todos los primos impares p

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

La versión de Legendre de la reciprocidad cuadrática

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Señala que estos se pueden combinar:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Varias pruebas, especialmente aquellas basadas en el lema de Gauss , ^[13] calculan explícitamente esta fórmula.

Las leyes complementarias que utilizan símbolos de Legendre

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

A partir de estos dos suplementos, podemos obtener una tercera ley de reciprocidad para el carácter cuadrático -2 como sigue:

Para que -2 sea un residuo cuadrático, -1 o 2 son ambos residuos cuadráticos, o ambos no residuos: . ${\displaystyle {\bmod {p}}}$

Por lo tanto, o bien: ambos son pares o ambos son impares. La suma de estas dos expresiones es ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {p^{2}+4p-5}{8}}}$que es un entero. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

El intento de Legendre de demostrar la reciprocidad se basa en un teorema suyo:

Teorema de Legendre. Sean a , b y c números enteros donde cualquier par de los tres son primos entre sí. Además, supongamos que al menos uno de ab , bc o ca es negativo (es decir, no todos tienen el mismo signo). Si

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}}$

son solucionables entonces la siguiente ecuación tiene una solución no trivial en números enteros:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

Ejemplo. El teorema I se resuelve dejando a ≡ 1 y b ≡ 3 (mod 4) como primos y suponiendo que y, contrariamente al teorema, que Entonces tiene una solución, y tomando congruencias (mod 4) se llega a una contradicción. ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{a}}\right)=1}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.}$ ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0}$

Esta técnica no funciona para el Teorema VIII. Sea b ≡ B ≡ 3 (mod 4) y supongamos

${\displaystyle \left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.}$

Entonces, si hay otro primo p ≡ 1 (mod 4) tal que

${\displaystyle \left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,}$

La solubilidad de conduce a una contradicción (mod 4). Pero Legendre no pudo demostrar que tiene que existir tal primo p ; más tarde pudo demostrar que todo lo que se requiere es: ${\displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$

Lema de Legendre. Si p es un primo congruente con 1 módulo 4, entonces existe un primo impar q tal que ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.}$

Pero tampoco pudo demostrarlo. El símbolo de Hilbert (abajo) analiza cómo se pueden hacer funcionar las técnicas basadas en la existencia de soluciones. ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$

Gauss

Parte del artículo 131 de la primera edición (1801) de las Disquisitiones , que enumera los 8 casos de reciprocidad cuadrática

Gauss demuestra primero ^[14] las leyes suplementarias. Establece ^[15] las bases para la inducción demostrando el teorema para ±3 y ±5. Observando ^[16] que es más fácil enunciar para −3 y +5 que para +3 o −5, enuncia ^[17] el teorema general en la forma:

Si p es un primo de la forma 4 n  + 1 entonces p , pero si p es de la forma 4 n + 3 entonces − p , es un residuo cuadrático (o no residuo) de todo primo, que, con un signo positivo, es un residuo (o no residuo) de p . En la siguiente oración, lo bautiza como el "teorema fundamental" (Gauss nunca utilizó la palabra "reciprocidad").

Introduciendo la notación a R b (resp. a N b ) para significar que a es un residuo cuadrático (resp. no residuo) (mod b ), y dejando que a , a ′, etc. representen primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b , b ′, etc. primos positivos ≡ 3 (mod 4), lo descompone en los mismos 8 casos que Legendre:

En el siguiente artículo, generaliza esto a lo que son básicamente las reglas para el símbolo de Jacobi (abajo). Sea A , A ′, etc. cualquier número positivo (primo o compuesto) ≡ 1 (mod 4) y B , B ′, etc. cualquier número positivo ≡ 3 (mod 4):

Todos estos casos toman la forma "si un primo es un residuo (mod un compuesto), entonces el compuesto es un residuo o no residuo (mod el primo), dependiendo de las congruencias (mod 4)". Demuestra que esto se sigue de los casos 1) - 8).

Gauss necesitaba, y pudo demostrar, ^[18] un lema similar al que necesitaba Legendre:

Lema de Gauss. Si p es un primo congruente con 1 módulo 8 entonces existe un primo impar q tal que:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

La prueba de reciprocidad cuadrática utiliza inducción completa .

Versión de Gauss en símbolos de Legendre.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Estos se pueden combinar:

Versión combinada de Gauss en símbolos de Legendre .

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

En otras palabras:

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.}$

Entonces:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

Varias demostraciones del teorema, especialmente aquellas basadas en sumas de Gauss ^[19] o la división de primos en cuerpos de números algebraicos , ^{[20] [21]} derivan esta fórmula.

Otras declaraciones

Las afirmaciones de esta sección son equivalentes a la reciprocidad cuadrática: si, por ejemplo, se supone la versión de Euler, se puede deducir de ella la versión de Legendre-Gauss, y viceversa.

Formulación de Euler de la reciprocidad cuadrática. ^[22] Si entonces ${\displaystyle p\equiv \pm q{\bmod {4a}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

Esto se puede demostrar utilizando el lema de Gauss .

Reciprocidad cuadrática (Gauss; cuarta prueba). ^[23] Sean a , b , c , ... primos impares positivos desiguales, cuyo producto es n , y sea m el número de ellos que son ≡ 3 (mod 4); comprobar si n / a es un residuo de a , si n / b es un residuo de b , .... El número de no residuos encontrados será par cuando m ≡ 0, 1 (mod 4), y será impar si m ≡ 2, 3 (mod 4).

La cuarta demostración de Gauss consiste en demostrar este teorema (mediante la comparación de dos fórmulas para el valor de las sumas de Gauss) y luego restringirlo a dos primos. A continuación da un ejemplo: Sea a = 3, b = 5, c = 7 y d = 11. Tres de estos, 3, 7 y 11 ≡ 3 (mod 4), por lo que m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11 R 3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; y 3×5×7 N 11, por lo que hay un número impar de residuos no válidos.

Formulación de reciprocidad cuadrática de Eisenstein. ^[24] Supongamos

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

Formulación de reciprocidad cuadrática de Mordell. ^[25] Sean a , b y c números enteros. Para cada primo, p , dividiendo abc si la congruencia

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

tiene una solución no trivial, entonces también la tiene:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.}$

Formulación de la función zeta

Como se menciona en el artículo sobre funciones zeta de Dedekind , la reciprocidad cuadrática es equivalente a que la función zeta de un campo cuadrático sea el producto de la función zeta de Riemann y una determinada función L de Dirichlet.

Símbolo de Jacobi

El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre; la principal diferencia es que el número de abajo tiene que ser positivo e impar, pero no tiene por qué ser primo. Si es primo, los dos símbolos coinciden. Obedece las mismas reglas de manipulación que el símbolo de Legendre. En particular

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

y si ambos números son positivos e impares (esto a veces se llama "ley de reciprocidad de Jacobi"):

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

Sin embargo, si el símbolo de Jacobi es 1 pero el denominador no es primo, no se sigue necesariamente que el numerador sea un residuo cuadrático del denominador. Los casos de Gauss 9) - 14) anteriores se pueden expresar en términos de símbolos de Jacobi:

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

y como p es primo, el lado izquierdo es un símbolo de Legendre, y sabemos si M es un residuo módulo p o no.

Las fórmulas enumeradas en la sección anterior son válidas para los símbolos de Jacobi siempre que los símbolos estén definidos. La fórmula de Euler puede escribirse

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

Ejemplo.

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2 es un residuo módulo los primos 7, 23 y 31:

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.}$

Pero 2 no es un residuo cuadrático módulo 5, por lo que no puede ser uno módulo 15. Esto está relacionado con el problema que tenía Legendre: si entonces a es un no residuo módulo cada primo en la progresión aritmética m + 4 a , m + 8 a , ..., si hay primos en esta serie, pero eso no se demostró hasta décadas después de Legendre. ^[26] ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$

La fórmula de Eisenstein requiere condiciones de primalidad relativa (que son verdaderas si los números son primos)

Sean números enteros impares positivos tales que: ${\displaystyle a,b,a',b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

Símbolo de Hilbert

La ley de reciprocidad cuadrática se puede formular en términos del símbolo de Hilbert , donde a y b son dos números racionales cualesquiera distintos de cero y v se extiende sobre todos los valores absolutos no triviales de los racionales (el de Arquímedes y los valores absolutos p-ádicos para los primos p ) . El símbolo de Hilbert es 1 o −1. Se define como 1 si y solo si la ecuación tiene una solución en la completitud de los racionales en v distinta de . La ley de reciprocidad de Hilbert establece que , para a y b fijos y v variable, es 1 para todos los v excepto un número finito y el producto de todos los v es 1. (Esto se asemeja formalmente al teorema del residuo del análisis complejo). ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x=y=z=0}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$ ${\displaystyle (a,b)_{v}}$

La prueba de la reciprocidad de Hilbert se reduce a comprobar algunos casos especiales, y los casos no triviales resultan ser equivalentes a la ley principal y las dos leyes suplementarias de reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre. No hay ningún tipo de reciprocidad en la ley de reciprocidad de Hilbert; su nombre simplemente indica la fuente histórica del resultado en la reciprocidad cuadrática. A diferencia de la reciprocidad cuadrática, que requiere condiciones de signo (a saber, positividad de los primos involucrados) y un tratamiento especial del primo 2, la ley de reciprocidad de Hilbert trata todos los valores absolutos de los racionales en pie de igualdad. Por lo tanto, es una forma más natural de expresar la reciprocidad cuadrática con vistas a la generalización: la ley de reciprocidad de Hilbert se extiende con muy pocos cambios a todos los cuerpos globales y esta extensión puede considerarse correctamente una generalización de la reciprocidad cuadrática a todos los cuerpos globales.

Conexión con campos ciclotómicos

Las primeras demostraciones de la reciprocidad cuadrática son relativamente poco esclarecedoras. La situación cambió cuando Gauss utilizó las sumas de Gauss para demostrar que los cuerpos cuadráticos son subcuerpos de los cuerpos ciclotómicos y dedujo implícitamente la reciprocidad cuadrática a partir de un teorema de reciprocidad para cuerpos ciclotómicos. Su demostración fue formulada en forma moderna por los teóricos de números algebraicos posteriores. Esta demostración sirvió como modelo para la teoría de cuerpos de clases , que puede considerarse como una vasta generalización de la reciprocidad cuadrática.

Robert Langlands formuló el programa Langlands , que ofrece una amplia generalización conjetural de la teoría de campos de clases. Escribió: ^[27]

Confieso que, como estudiante que no conocía la historia de la materia ni la relación con la ciclotomía, no me atraían ni la ley ni sus denominadas demostraciones elementales. Supongo que, aunque no me hubiera expresado (ni hubiera podido hacerlo) de esa manera, la consideraba poco más que una curiosidad matemática, más apta para aficionados que para el matemático serio en el que entonces esperaba convertirme. Sólo en el libro de Hermann Weyl sobre la teoría algebraica de los números ^[28] la aprecié como algo más.

Otros anillos

También existen leyes de reciprocidad cuadrática en anillos distintos de los números enteros.

Números enteros gaussianos

En su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica ^[29] Gauss enunció la reciprocidad cuadrática para el anillo de números enteros gaussianos , diciendo que es un corolario de la ley bicuadrática en pero no proporcionó una prueba de ninguno de los teoremas. Dirichlet ^[30] demostró que la ley en se puede deducir de la ley para sin usar la reciprocidad cuártica. ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para un primo gaussiano impar y un entero gaussiano relativamente primo se define el carácter cuadrático mediante: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sean primos gaussianos distintos donde a y c son impares y b y d son pares. Entonces ^[31] ${\displaystyle \lambda =a+bi,\mu =c+di}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

Números enteros de Eisenstein

Consideremos la siguiente tercera raíz de unidad:

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.}$

El anillo de los enteros de Eisenstein es ^[32] Para un primo de Eisenstein y un entero de Eisenstein con define el carácter cuadrático para mediante la fórmula ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ].}$ ${\displaystyle \pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gcd(\alpha ,\pi )=1,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sean λ = a + bω y μ = c + dω primos de Eisenstein distintos donde a y c no son divisibles por 3 y b y d son divisibles por 3. Eisenstein demostró ^[33]

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

Campos cuadráticos imaginarios

Las leyes anteriores son casos especiales de leyes más generales que se cumplen para el anillo de números enteros en cualquier cuerpo de números cuadráticos imaginarios . Sea k un cuerpo de números cuadráticos imaginarios con anillo de números enteros Para un ideal primo con norma impar y defina el carácter cuadrático para como ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}}$

Para un ideal arbitrario factorizado en ideales primos se define ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},}$

y para definir ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.}$

Sea ie una base integral para Para con norma impar se definen los números enteros (ordinarios) a , b , c , d mediante las ecuaciones, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},}$ ${\displaystyle \left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} \nu ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}}$

y una función

${\displaystyle \chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.}$

Si m = Nμ y n = Nν son ambos impares, Herglotz demostró ^[34]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

Además, si

${\displaystyle \mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}}$

Entonces ^[35]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

Polinomios sobre un cuerpo finito

Sea F un cuerpo finito con q = p ⁿ elementos, donde p es un número primo impar y n es positivo, y sea F [ x ] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en F . Si y f es irreducible , mónico y tiene grado positivo, defina el carácter cuadrático para F [ x ] de la manera habitual: ${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

Si es un producto de irreducibles mónicos sea ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{n}}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).}$

Dedekind demostró que si son mónicos y tienen grados positivos, ^[36] ${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.}$

Poderes superiores

El intento de generalizar la reciprocidad cuadrática para potencias superiores al segundo fue uno de los principales objetivos que llevaron a los matemáticos del siglo XIX, incluidos Carl Friedrich Gauss , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Carl Gustav Jakob Jacobi , Gotthold Eisenstein , Richard Dedekind , Ernst Kummer y David Hilbert al estudio de los campos de números algebraicos generales y sus anillos de números enteros; ^[37] específicamente Kummer inventó ideales para enunciar y probar leyes de reciprocidad superiores.

El noveno de la lista de 23 problemas sin resolver que David Hilbert propuso al Congreso de Matemáticos en 1900 pedía la "Prueba de la ley de reciprocidad más general para un cuerpo de números arbitrario". ^[38] Basándose en el trabajo de Philipp Furtwängler , Teiji Takagi , Helmut Hasse y otros, Emil Artin descubrió la reciprocidad de Artin en 1923, un teorema general para el cual todas las leyes de reciprocidad conocidas son casos especiales, y lo demostró en 1927. ^[39]

Véase también

• Función zeta de Dedekind
• Ley de reciprocidad racional
• El lema de Zolotarev

Notas

1. Gauss, DA § 4, artículos 107-150
2. Por ejemplo, en la entrada de su diario matemático del 8 de abril de 1796 (fecha en la que demostró por primera vez la reciprocidad cuadrática). Véase la página facsímil de Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX de Felix Klein
3. Véase la cronología y la bibliografía de pruebas de F. Lemmermeyer en las referencias externas.
4. Veklych, Bogdan (2019). "Una prueba minimalista de la ley de reciprocidad cuadrática". The American Mathematical Monthly . 126 (10): 928. arXiv : 2106.08121 . doi :10.1080/00029890.2019.1655331. S2CID  214219919.
5. Lemmermeyer, págs. 2-3
6. Gauss, DA, artículo 182
7. Lemmermeyer, pág. 3
8. Lemmermeyer, pag. 5, Irlanda y Rosen, págs. 54, 61
9. Ireland & Rosen, págs. 69-70. Su demostración se basa en lo que ahora se denominan sumas de Gauss.
10. Esta sección se basa en Lemmermeyer, págs. 6-8
11. La equivalencia es el criterio de Euler
12. El análogo de la definición original de Legendre se utiliza para símbolos de residuos de mayor potencia.
13. Por ejemplo, la prueba de Kronecker (Lemmermeyer, ej. pág. 31, 1.34) consiste en utilizar el lema de Gauss para establecer que

    ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)}$

    y luego intercambia p y q .
14. Gauss, DA, artículos 108-116
15. Gauss, DA, artículos 117-123
16. Gauss, DA, artículos 130
17. Gauss, DA, Arte 131
18. Gauss, DA, artículos 125-129
19. Porque la suma básica de Gauss es igual a ${\displaystyle {\sqrt {q^{*}}}.}$
20. Porque el campo cuadrático es un subcampo del campo ciclotómico ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {q^{*}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\frac {2\pi i}{q}})}$
21. Ver la conexión con los campos ciclotómicos a continuación.
22. Irlanda y Rosen, págs. 60-61.
23. Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art", reimpreso en Untersuchumgen uber hohere Arithmetik , páginas 463–495
24. Lemmermeyer, Tesis 2.28, págs. 63-65
25. Lemmermeyer, ejemplo 1.9, pág. 28
26. Por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837
27. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2012. Consultado el 27 de junio de 2013 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
28. Weyl, Hermann (1998). Teoría algebraica de números . Princeton University Press. ISBN 0691059179.
29. Gauss, BQ § 60
30. La prueba de Dirichlet se encuentra en Lemmermeyer, Prop. 5.1 p.154, y Ireland & Rosen, ex. 26 p. 64
31. Lemmermeyer, Proposición 5.1, pág. 154
32. Consulte los artículos sobre reciprocidad cúbica y entera de Eisenstein para obtener definiciones y notaciones.
33. Lemmermeyer, Teoría 7.10, pág. 217
34. Lemmermeyer, Tesis 8.15, pág. 256 y siguientes
35. Lemmermeyer Teoría 8.18, pág. 260
36. Bach y Shallit, Teoría 6.7.1
37. Lemmermeyer, p. 15, y Edwards, pp.79-80, ambos sostienen sólidamente que el estudio de una mayor reciprocidad fue mucho más importante como motivación que el último teorema de Fermat.
38. Lemmermeyer, pág. viii
39. Lemmermeyer, pág. ix y siguientes

Referencias

Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas (del latín) al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos los artículos de Gauss sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre reciprocidad bicuadrática y notas inéditas. Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithemeticae . Traducido por Clarke, Arthur A. (Segunda edición corregida). Nueva York: Springer . ISBN. 0-387-96254-9.
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) . Traducido por Maser, Hermann (Segunda ed.). Nueva York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1 a 23 y la segunda los §§ 24 a 76. Las notas a pie de página que hacen referencia a ellos tienen la forma "Gauss, BQ, § n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estos se encuentran en Werke de Gauss , volumen II, págs. 65–92 y 93–148. Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 de Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Todos los libros de texto sobre teoría elemental de números (y muchos sobre teoría algebraica de números ) contienen una prueba de reciprocidad cuadrática. Dos de ellas son especialmente destacables:

Franz Lemmermeyer's Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein contiene muchas demostraciones (algunas en forma de ejercicios) de leyes de reciprocidad cuadráticas y de potencias superiores y un análisis de su historia. Su inmensa bibliografía incluye citas bibliográficas de 196 demostraciones publicadas diferentes de la ley de reciprocidad cuadrática .

A Classical Introduction to Modern Number Theory de Kenneth Ireland y Michael Rosen también contiene muchas pruebas de reciprocidad cuadrática (y muchos ejercicios), y también cubre los casos cúbicos y bicuadráticos. El ejercicio 13.26 (p. 202) lo dice todo.

Cuente el número de pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática dadas hasta ahora en este libro y elabore otra.

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1966), Teoría algorítmica de números (Vol I: Algoritmos eficientes) , Cambridge: The MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
• Edwards, Harold (1977), El último teorema de Fermat , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-90230-9
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, Sr.  1761696
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

Enlaces externos

• "Ley de reciprocidad cuadrática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema de reciprocidad cuadrática de MathWorld
• Una obra que compara dos pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática
• Una prueba de este teorema en PlanetMath
• Una prueba diferente en MathPages
• Cronología y bibliografía de las demostraciones de la ley de reciprocidad cuadrática de F. Lemmermeyer (332 demostraciones)