Disquisitiones arithmeticae

Disquisitiones arithmeticae es un libro de teoría de números escrito por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando tenía 21 años, y publicado por primera vez en 1801 en Leipzig.Las Disquisitiones cubren tanto la teoría elemental de números como partes del área que hoy conocemos como teoría algebraica de números.Sin embargo, Gauss no reconoció explícitamente el concepto de un grupo, que es un concepto central en el álgebra moderna, por lo que no empleó dicho término.En el prefacio de las Disquisitiones, Gauss describe el enfoque del libro de esta manera: El libro se divide en siete secciones, que son: Una octava sección debía haber sido publicada en un segundo volumen, pero nunca vio la luz; hallada entre los manuscritos de Gauss, fue editada tras su muerte en sus Obras Completas.Esta sección, muy corta, introduce una nueva noción y una nueva notación cuyo impacto en el desarrollo de la teoría de números (y particularmente la aritmética modular) ha sido importante, las congruencias.El libro empieza con su definición: La notación '≡' se introduce en la siguiente sección y la adopta, indica Gauss, «a causa de la gran analogía que existe entre la igualdad y la congruencia».Gauss establece el hecho de que todo entero tiene un residuo móduloProporciona dos métodos, atribuidos a Euler y Lagrange, para resolver estas ecuaciones, observando que conducen al mismo algoritmo (art.[2]​ Los artículos 30, después el 33 y los siguientes, exponen diversos métodos derivados del teorema chino del resto; pero este no se determina con un enunciado formalmente identificado.42) y el teorema de Lagrange según el cual una congruencia polinómica módulo un número primo no puede tener más raíces que su grado (artículos 43-44).60) y se interesa por la posibilidad de decidir efectivamente esta alternativa sin tener que recurrir a las tablas (art.Gauss termina por declarar que «la mayoría de los métodos que sirven para hallar las raíces primitivas se basan en buena parte en el tanteo»[3]​ (art.Enuncia una versión muy general del teorema de Wilson (art.94 à 97); propone varios métodos para llegar al resultado.Posteriormente, trata la cuestión de un módulo compuesto (art.108 a 111), la respuesta ya se encuentra en la parte precedente (art.Quedando patente la necesidad de un enfoque más sistemático, Gauss enuncia en 131 lo que llama «teorema fundamental»:[4]​ Se reconoce aquí la ley de reciprocidad cuadrática, y Gauss proporciona la primera demostración de este resultado, que se basa en una recurrencia.Gauss estudia en primer lugar las formas cuadráticas enteras con dos incógnitas.154 a 156) proporciona una condición necesaria para el discriminante (al que Gauss denomina determinante) de una forma cuadrática para que represente un entero dado.A continuación, considera lo que se puede describir en lenguaje moderno como el problema de determinar las clases del conjunto de las formas cuadráticas bajo la acción del grupoLa estructura lógica de las Disquisitiones (enunciado de un teorema seguido por su demostración y a su vez por corolarios) estableció un formato estándar para textos posteriores.Aun reconociendo la importancia fundamental de las demostraciones lógicas, Gauss también ilustra muchos teoremas con ejemplos numéricos.