Disquisitiones Arithmeticae (Latínpara Investigaciones Aritméticas ) es un libro de texto sobreteoría de númerosescrito en latín porCarl Friedrich Gaussen 1798, cuando Gauss tenía 21 años, y publicado en 1801, cuando tenía 24. Tuvo un impacto revolucionario en la teoría de números al hacer que campo verdaderamente riguroso y sistemático y allanó el camino para la teoría de números moderna. En este libro, Gauss reunió y concilió resultados en teoría de números obtenidos por matemáticos tan eminentes comoFermat,Euler,LagrangeyLegendre, al tiempo que añadió sus propios resultados profundos y originales.
Las Disquisiciones cubren tanto la teoría elemental de números como partes del área de las matemáticas que ahora se llama teoría algebraica de números . Gauss no reconoció explícitamente el concepto de grupo , que es central en el álgebra moderna , por lo que no utilizó este término. Su propio título para su materia era Aritmética Superior. En su Prefacio a las Disquisitiones , Gauss describe el alcance del libro de la siguiente manera:
Las cuestiones que investigará este volumen pertenecen a la parte de Matemáticas que se ocupa de los números enteros.
Gauss también escribe: "Al enfrentar muchos problemas difíciles, se han suprimido las derivaciones en aras de la brevedad cuando los lectores hacen referencia a este trabajo". ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demostrationibus Syntheticis usus suma, analysinque per quam erutae sunt suprisi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")
El libro está dividido en siete secciones:
Estas secciones se subdividen en 366 elementos numerados, que exponen un teorema con demostración o desarrollan de otro modo una observación o pensamiento.
Las secciones I a III son esencialmente una revisión de resultados anteriores, incluido el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Wilson y la existencia de raíces primitivas . Aunque pocos de los resultados de estas secciones son originales, Gauss fue el primer matemático en reunir este material de manera sistemática. También se dio cuenta de la importancia de la propiedad de factorización única (asegurada por el teorema fundamental de la aritmética , estudiado por primera vez por Euclides ), que reafirma y demuestra utilizando herramientas modernas.
A partir de la Sección IV, gran parte del trabajo es original. La sección IV desarrolla una prueba de reciprocidad cuadrática ; La sección V, que ocupa más de la mitad del libro, es un análisis exhaustivo de las formas cuadráticas binarias y ternarias . La sección VI incluye dos pruebas de primalidad diferentes . Finalmente, la Sección VII es un análisis de los polinomios ciclotómicos , que concluye dando los criterios que determinan qué polígonos regulares son construibles , es decir, se pueden construir sólo con un compás y una regla sin marcar.
Gauss comenzó a escribir una octava sección sobre congruencias de orden superior, pero no la completó y se publicó por separado después de su muerte con el título Disquisitiones generales de congruentiis (en latín: 'Investigaciones generales sobre congruencias'). [1] En él, Gauss discute las congruencias de grado arbitrario, atacando el problema de las congruencias generales desde un punto de vista estrechamente relacionado con el adoptado más tarde por Dedekind , Galois y Emil Artin . El tratado allanó el camino para la teoría de los campos de funciones sobre un campo finito de constantes. Las ideas exclusivas de ese tratado son el claro reconocimiento de la importancia del morfismo de Frobenius y una versión del lema de Hensel .
Las Disquisiciones fueron una de las últimas obras matemáticas escritas en latín académico . Una traducción al inglés no fue publicada hasta 1965 por el erudito jesuita Arthur A. Clarke. Clarke fue el primer decano del campus del Lincoln Center de Fordham College. [2]
Antes de que se publicaran las Disquisiciones , la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aisladas. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores con su propio trabajo original en un marco sistemático, llenó lagunas, corrigió pruebas erróneas y amplió el tema de numerosas maneras.
La estructura lógica de las Disquisitiones ( enunciado del teorema seguido de demostración , seguido de corolarios ) estableció un estándar para textos posteriores. Si bien reconoce la importancia primordial de la demostración lógica, Gauss también ilustra muchos teoremas con ejemplos numéricos.
Las Disquisiciones fueron el punto de partida de otros matemáticos europeos del siglo XIX, entre ellos Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones de Gauss son, en realidad, anuncios de nuevas investigaciones propias, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron parecer particularmente crípticos a sus contemporáneos; Ahora se puede leer que contienen los gérmenes de las teorías de las funciones L y de la multiplicación compleja , en particular. [3]
Las Disquisiciones continuaron ejerciendo influencia en el siglo XX. Por ejemplo, en la sección V, artículo 303, Gauss resumió sus cálculos de los números de clase de formas cuadráticas binarias primitivas adecuadas, y conjeturó que los había encontrado todos con los números de clase 1, 2 y 3. Esto se interpretó más tarde como la determinación de campos de números cuadráticos imaginarios con discriminante par y número de clase 1, 2 y 3, y extendido al caso de discriminante impar. Esta pregunta más general, a veces llamada problema del número de clase , finalmente se confirmó en 1986 [4] (la pregunta específica que hizo Gauss fue confirmada por Landau en 1902 [5] para la clase número uno). En la sección VII, artículo 358, Gauss demostró lo que puede interpretarse como el primer caso no trivial de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos (el teorema de Hasse-Weil ). [6]
Medios relacionados con Disquisitiones Arithmeticae en Wikimedia Commons
Wikisource en latín tiene texto original relacionado con este artículo: Disquisitiones arithmeticae (original en latín) (primera ed. 1801) (ed. 1870)Wikisource en francés tiene texto original relacionado con este artículo: Recherches arithmétiques (traducción al francés) (ed. 1807)