Orden multiplicativo

Sin saber que estamos trabajando en un grupo finito, se puede demostrar que a tiene un orden si las potencias de a sólo pueden tomar un número finito de valores módulo n, por lo que debe haber dos exponentes, s y t, tales que as ≡ at (mód n).Como a y n son coprimos, esto implica que a|s-t| ≡ 1 módulo n. El concepto de orden multiplicativo es un caso especial del orden de elementos de un grupo.El orden multiplicativo de un número a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo cuyos elementos son los residuos módulo n de los números coprimos con n, y cuya operación de grupo es la multiplicación módulo n. Este es el grupo de unidades del anillo Zn; tiene φ(n) elementos (donde φ denota la función φ de Euler), y se denota por U(n) o U(Zn).Como consecuencia del teorema de Lagrange, ordna siempre divide a φ(n).Si ordn a es igual a φ(n) y por tanto tiene el valor máximo que puede tener, entonces a se dice raíz primitiva módulo n. Esto significa que el grupo U(n) es cíclico y la clase de residuos de a lo genera.