Teorema de Tunnell

Sobre el problema de los números congruentes: ¿qué números enteros son el área de un triángulo rectángulo racional?

En teoría de números , el teorema de Tunnell proporciona una resolución parcial al problema de los números congruentes y, bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , una resolución completa.

Problema de números congruentes

El problema de los números congruentes plantea la pregunta de qué números enteros positivos pueden ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esto con el número de soluciones integrales de unas pocas ecuaciones diofánticas bastante simples .

Teorema

Para un entero n sin cuadrados dado , defina

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}}$

El teorema de Tunnell establece que, suponiendo que n es un número congruente, si n es impar, entonces 2 A _n = B _n y si n es par, entonces 2 C _n = D _n . Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es válida para curvas elípticas de la forma , estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

Historia

El teorema debe su nombre a Jerrold B. Tunnell , un teórico de números de la Universidad Rutgers , quien lo demostró en Tunnell (1983).

Importancia

La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que proporciona se puede comprobar mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para un determinado , los números se pueden calcular buscando exhaustivamente en el rango . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle -{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}}$

Véase también

• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
• Número congruente

Referencias

• Koblitz, Neal (2012), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas (libro 97) (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7
• Tunnell, Jerrold B. (1983), "Un problema diofántico clásico y formas modulares de peso 3/2", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, doi :10.1007/BF01389327, hdl : 10338.dmlcz/137483