Categoría triangulada

En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un "funtor de traducción" y una clase de "triángulos exactos". Ejemplos destacados son la categoría derivada de una categoría abeliana , así como la categoría de homotopía estable . Los triángulos exactos generalizan las secuencias exactas cortas en una categoría abeliana, así como las secuencias de fibras y las secuencias de cofibras en topología.

Gran parte del álgebra homológica se clarifica y amplía mediante el lenguaje de las categorías trianguladas, siendo un ejemplo importante la teoría de la cohomología de haces . En la década de 1960, un uso típico de las categorías trianguladas era extender las propiedades de los haces en un espacio X a complejos de haces, vistos como objetos de la categoría derivada de haces en X. Más recientemente, las categorías trianguladas se han convertido en objetos de interés por derecho propio. Se han demostrado o conjeturado muchas equivalencias entre categorías trianguladas de diferentes orígenes. Por ejemplo, la conjetura de simetría especular homológica predice que la categoría derivada de una variedad de Calabi-Yau es equivalente a la categoría de Fukaya de su variedad simpléctica "espejo" . El operador de desplazamiento es un análogo descategorizado de la categoría triangulada.

Historia

Las categorías trianguladas fueron introducidas independientemente por Dieter Puppe (1962) y Jean-Louis Verdier (1963), aunque los axiomas de Puppe eran menos completos (carecían del axioma octaédrico (TR 4)). ^[1] Puppe estaba motivado por la categoría de homotopía estable. El ejemplo clave de Verdier fue la categoría derivada de una categoría abeliana, que también definió, desarrollando ideas de Alexander Grothendieck . Las primeras aplicaciones de las categorías derivadas incluyeron la dualidad coherente y la dualidad de Verdier , que extiende la dualidad de Poincaré a los espacios singulares.

Definición

Un funtor de desplazamiento o traslación en una categoría D es un automorfismo aditivo (o para algunos autores, una autoequivalencia ) de D a D . Es común escribir para números enteros n . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X[n]=\Sigma ^{n}X}$

Un triángulo ( X , Y , Z , u , v , w ) consta de tres objetos X , Y y Z , junto con los morfismos , y . Los triángulos se escriben generalmente en forma desenredada: ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ ${\displaystyle v\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle w\colon Z\to X[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],}$

o

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}}$

Para abreviar.

Una categoría triangulada es una categoría aditiva D con un funtor de traslación y una clase de triángulos, llamados triángulos exactos ^[2] (o triángulos distinguidos ), que satisfacen las siguientes propiedades (TR 1), (TR 2), (TR 3) y (TR 4). (Estos axiomas no son completamente independientes, ya que (TR 3) puede derivarse de los otros. ^[3] )

TR1 (Traducción al Español)

• Para cada objeto X , el siguiente triángulo es exacto:

${\displaystyle X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]}$

• Para cada morfismo , hay un objeto Z (llamado cono o cofibra del morfismo u ) que encaja en un triángulo exacto. ${\displaystyle u\colon X\to Y}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y\to Z\to X[1]}$

El nombre "cono" proviene del cono de una función de cadenas complejas , que a su vez se inspiró en el cono de función en topología. De los otros axiomas se desprende que un triángulo exacto (y en particular el objeto Z ) está determinado hasta el isomorfismo por el morfismo , aunque no siempre hasta un isomorfismo único. ^[4] ${\displaystyle X\to Y}$

• Todo triángulo isomorfo a un triángulo exacto es exacto. Esto significa que si

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

es un triángulo exacto, y , , y son isomorfismos, entonces ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Y'}$ ${\displaystyle h\colon Z\to Z'}$

${\displaystyle X'{\xrightarrow {guf^{-1}}}Y'{\xrightarrow {hvg^{-1}}}Z'{\xrightarrow {f[1]wh^{-1}}}X'[1]}$

También es un triángulo exacto.

TR2

Si

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

es un triángulo exacto, entonces también lo son los dos triángulos rotados

${\displaystyle Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]{\xrightarrow {-u[1]}}Y[1]}$

y

${\displaystyle Z[-1]{\xrightarrow {-w[-1]}}X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z.\ }$

En vista del último triángulo, el objeto Z [−1] se llama fibra del morfismo . ${\displaystyle X\to Y}$

El segundo triángulo rotado tiene una forma más compleja cuando y no son isomorfismos sino solo equivalencias mutuamente inversas de categorías, ya que es un morfismo de a , y para obtener un morfismo a uno debe componer con la transformación natural . Esto conduce a preguntas complejas sobre los posibles axiomas que uno tiene que imponer en las transformaciones naturales haciendo y en un par de equivalencias inversas. Debido a este problema, la suposición de que y son isomorfismos mutuamente inversos es la opción habitual en la definición de una categoría triangulada. ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -w[-1]}$ ${\displaystyle Z[-1]}$ ${\displaystyle (X[1])[-1]}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle (X[1])[-1]{\xrightarrow {}}X}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle [-1]}$

TR3

Dados dos triángulos exactos y una función entre los primeros morfismos de cada triángulo, existe una función entre los terceros objetos de cada uno de los dos triángulos que hace que todos los cuadrados conmuten . Es decir, en el siguiente diagrama (donde las dos filas son triángulos exactos y f y g son morfismos tales que gu = u′f ), existe una función h (no necesariamente única) que hace que todos los cuadrados conmuten:

TR 4: El axioma octaédrico

Sean y morfismos, y considere el morfismo compuesto . Forme triángulos exactos para cada uno de estos tres morfismos de acuerdo con TR 1. El axioma octaédrico establece (aproximadamente) que los tres conos de aplicación pueden convertirse en los vértices de un triángulo exacto de modo que "todo conmuta". ${\displaystyle u\colon X\to Y}$ ${\displaystyle v\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle vu\colon X\to Z}$

Más formalmente, dados triángulos exactos

${\displaystyle X{\xrightarrow {u\,}}Y{\xrightarrow {j}}Z'{\xrightarrow {k}}X[1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {v\,}}Z{\xrightarrow {l}}X'{\xrightarrow {i}}Y[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop vu}}Z{\xrightarrow {m}}Y'{\xrightarrow {n}}X[1]}$,

Existe un triangulo exacto

${\displaystyle Z'{\xrightarrow {f}}Y'{\xrightarrow {g}}X'{\xrightarrow {h}}Z'[1]}$

de tal manera que

${\displaystyle l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.}$

Este axioma se denomina "axioma octaédrico" porque al dibujar todos los objetos y morfismos se obtiene el esqueleto de un octaedro , cuatro de cuyas caras son triángulos exactos. La presentación que se presenta aquí es del propio Verdier y aparece, completa con un diagrama octaédrico, en (Hartshorne 1966). En el siguiente diagrama, u y v son los morfismos dados, y las letras con prima son los conos de varias aplicaciones (escogidas de modo que cada triángulo exacto tenga una letra X , una Y y una Z ). Se han marcado varias flechas con [1] para indicar que son de "grado 1"; por ejemplo, la aplicación de Z ′ a X es de hecho de Z ′ a X [1]. El axioma octaédrico afirma entonces la existencia de aplicaciones f y g que forman un triángulo exacto, y de modo que f y g forman triángulos conmutativos en las otras caras que las contienen:

En (Beilinson, Bernstein & Deligne 1982) aparecen dos imágenes diferentes (Gelfand y Manin (2006) también presentan la primera). La primera presenta las pirámides superior e inferior del octaedro anterior y afirma que, dada una pirámide inferior, se puede completar una pirámide superior de modo que los dos caminos de Y a Y ′, y de Y ′ a Y , sean iguales (esta condición se omite, quizás erróneamente, en la presentación de Hartshorne). Los triángulos marcados con + son conmutativos y los marcados con "d" son exactos:

El segundo diagrama es una presentación más innovadora. Los triángulos exactos se presentan linealmente, y el diagrama enfatiza el hecho de que los cuatro triángulos en el "octaedro" están conectados por una serie de mapas de triángulos, donde se dan tres triángulos (a saber, aquellos que completan los morfismos de X a Y , de Y a Z , y de X a Z ) y se afirma la existencia del cuarto. Uno pasa entre los dos primeros "pivotando" alrededor de X , al tercero girando alrededor de Z , y al cuarto girando alrededor de X ′. Todos los recintos en este diagrama son conmutativos (tanto los trígonos como el cuadrado) pero el otro cuadrado conmutativo, que expresa la igualdad de los dos caminos de Y ′ a Y , no es evidente. Todas las flechas que apuntan "fuera del borde" son de grado 1:

Este último diagrama también ilustra una interpretación intuitiva útil del axioma octaédrico. En las categorías trianguladas, los triángulos desempeñan el papel de secuencias exactas, por lo que resulta sugerente pensar en estos objetos como "cocientes", y . En esos términos, la existencia del último triángulo expresa por un lado ${\displaystyle Z'=Y/X}$ ${\displaystyle Y'=Z/X}$

${\displaystyle X'=Z/Y\ }$(mirando el triangulo  ), y ${\displaystyle Y\to Z\to X'\to }$

${\displaystyle X'=Y'/Z'}$(mirando el triangulo  ). ${\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to }$

Juntando todo esto, el axioma octaédrico afirma el "tercer teorema de isomorfismo":

${\displaystyle (Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.}$

Si la categoría triangulada es la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A , y X , Y , Z son objetos de A vistos como complejos concentrados en grado 0, y los mapas y son monomorfismos en A , entonces los conos de estos morfismos en D ( A ) son en realidad isomorfos a los cocientes anteriores en A . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle Y\to Z}$

Finalmente, Neeman (2001) formula el axioma octaédrico utilizando un diagrama conmutativo bidimensional con 4 filas y 4 columnas. Beilinson, Bernstein y Deligne (1982) también ofrecen generalizaciones del axioma octaédrico.

Propiedades

A continuación se presentan algunas consecuencias simples de los axiomas para una categoría triangulada D.

• Dado un triángulo exacto

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

En D , la composición de dos morfismos sucesivos cualesquiera es cero. Es decir, vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0, y así sucesivamente. ^[5]

• Dado un morfismo , TR 1 garantiza la existencia de un cono Z que completa un triángulo exacto. Dos conos cualesquiera de u son isomorfos, pero el isomorfismo no siempre está determinado de manera única. ^[4] ${\displaystyle u\colon X\to Y}$

• Todo monomorfismo en D es la inclusión de un sumando directo, , y todo epimorfismo es una proyección . ^[6] Un punto relacionado es que no se debería hablar de "inyectividad" o "sobreyectividad" para morfismos en una categoría triangulada. Todo morfismo que no sea un isomorfismo tiene un "cokernel" distinto de cero Z (lo que significa que hay un triángulo exacto ) y también un "kernel" distinto de cero, es decir, Z [−1]. ${\displaystyle X\to X\oplus Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\to X}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

No funcionalidad de la construcción del cono

Una de las complicaciones técnicas de las categorías trianguladas es el hecho de que la construcción del cono no es funcional. Por ejemplo, dado un anillo y la función parcial de triángulos distinguidos ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}}$

En , hay dos mapas que completan este diagrama. Este podría ser el mapa identidad o el mapa cero. ${\displaystyle D^{b}(R)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}}$

Ambos son conmutativos. El hecho de que existan dos mapas es una sombra del hecho de que una categoría triangulada es una herramienta que codifica límites de homotopía y colimite . Grothendieck propuso una solución para este problema, en la que no solo se considera la categoría derivada, sino también la categoría derivada de diagramas sobre esta categoría. Un objeto de este tipo se llama Derivador .

Ejemplos

1. Los espacios vectoriales sobre un cuerpo k forman una categoría triangulada elemental en la que X [1] = X para todo X . Un triángulo exacto es una secuencia de mapas k -lineales (escribiendo el mismo mapa dos veces) que es exacta en X , Y y Z . ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
2. Si A es una categoría aditiva (por ejemplo, una categoría abeliana), defina la categoría de homotopía ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ para que tenga como objetos los complejos de cadena en A , y como morfismos las clases de homotopía de morfismos de complejos. Entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ es una categoría triangulada. ^[7] El desplazamiento X [1] es el complejo X movido un paso a la izquierda (y con diferenciales multiplicados por −1). Un triángulo exacto en ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ es un triángulo que es isomorfo en ⁠ ⁠ ${\displaystyle K(A)}$ al triángulo asociado a alguna función de complejos de cadena. (Aquí denota el cono de aplicación de una función de cadena). ${\displaystyle X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(f)}$
3. La categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una categoría triangulada. ^[8] Se construye a partir de la categoría de complejos C ( A ) localizando con respecto a todos los cuasi-isomorfismos . Es decir, se adjunta formalmente un morfismo inverso para cada cuasi-isomorfismo. Los objetos de D ( A ) no cambian; es decir, son complejos de cadena. Un triángulo exacto en D ( A ) es un triángulo que es isomorfo en D ( A ) al triángulo asociado a algún mapa de complejos de cadena. Una motivación clave para la categoría derivada es que los funtores derivados en A pueden verse como funtores en la categoría derivada. ^[9] Algunas subcategorías naturales de D ( A ) también son categorías trianguladas, por ejemplo, la subcategoría de complejos X cuyos objetos de cohomología en A se desvanecen para i suficientemente negativo, suficientemente positivo o ambos, llamados , respectivamente. ${\displaystyle X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
   ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle D^{+}(A),D^{-}(A),D^{\text{b}}(A)}$
4. En topología, la categoría de homotopía estable es una categoría triangulada. ^[10] Los objetos son espectros , el desplazamiento X [1] es la suspensión (o equivalentemente, el desbucle ) y los triángulos exactos son las secuencias de cofibras. Una característica distintiva de la categoría de homotopía estable (en comparación con la categoría de homotopía inestable ) es que las secuencias de fibras son las mismas que las secuencias de cofibras. De hecho, en cualquier categoría triangulada, los triángulos exactos pueden verse como secuencias de fibras y también como secuencias de cofibras. ${\displaystyle h{\cal {S}}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}X}$
5. En la teoría de representación modular de un grupo finito G , la categoría de módulo estable StMod( kG ) es una categoría triangulada. Sus objetos son las representaciones de G sobre un cuerpo k , y los morfismos son los usuales módulo aquellos que se factorizan vía módulos kG proyectivos (o equivalentemente inyectivos ) . De manera más general, la categoría de módulo estable se define para cualquier álgebra de Frobenius en lugar de kG .

¿Existen axiomas mejores?

Algunos expertos sospechan ^{[11] pg 190} (ver, por ejemplo, (Gelfand & Manin 2006, Introducción, Capítulo IV)) que las categorías trianguladas no son realmente el concepto "correcto". La razón esencial es que el cono de un morfismo es único sólo hasta un isomorfismo no único . En particular, el cono de un morfismo en general no depende funcionalmente del morfismo (nótese la no unicidad en el axioma (TR 3), por ejemplo). Esta no unicidad es una fuente potencial de errores. Sin embargo, los axiomas funcionan adecuadamente en la práctica y hay una gran cantidad de literatura dedicada a su estudio.

Derivadores

Una propuesta alternativa es la teoría de los derivadores propuesta en Pursuing stacks por Grothendieck en los años 80 ^{[11] pág. 191} , y desarrollada posteriormente en los años 90 en su manuscrito sobre el tema. Esencialmente, se trata de un sistema de categorías de homotopía dadas por las categorías de diagrama para una categoría con una clase de equivalencias débiles . Estas categorías se relacionan entonces por los morfismos de diagramas . Este formalismo tiene la ventaja de poder recuperar los límites y colímites de homotopía, lo que sustituye a la construcción del cono. ${\displaystyle I\to M}$ ${\displaystyle (M,W)}$ ${\displaystyle I\to J}$

Categorías ∞ estables

Otra alternativa construida es la teoría de las ∞-categorías estables . La categoría de homotopía de una ∞-categoría estable está canónicamente triangulada, y además los conos de mapeo se vuelven esencialmente únicos (en un sentido homotópico preciso). Además, una ∞-categoría estable codifica naturalmente toda una jerarquía de compatibilidades para su categoría de homotopía, en la base de la cual se encuentra el axioma octaédrico. Por lo tanto, es estrictamente más fuerte dar los datos de una ∞-categoría estable que dar los datos de una triangulación de su categoría de homotopía. Casi todas las categorías trianguladas que surgen en la práctica provienen de ∞-categorías estables. Un enriquecimiento similar (pero más especial) de las categorías trianguladas es la noción de una dg-categoría .

En algunos sentidos, las ∞-categorías estables o dg-categorías funcionan mejor que las categorías trianguladas. Un ejemplo es la noción de un funtor exacto entre categorías trianguladas, que se analiza a continuación. Para una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo k , la categoría derivada acotada de haces coherentes proviene de una dg-categoría de forma natural. Para las variedades X e Y , cada funtor desde la dg-categoría de X hasta la de Y proviene de un complejo de haces en por la transformada de Fourier-Mukai . ^[12] Por el contrario, hay un ejemplo de un funtor exacto de a que no proviene de un complejo de haces en . ^[13] En vista de este ejemplo, la noción "correcta" de un morfismo entre categorías trianguladas parece ser una que proviene de un morfismo de dg-categorías subyacentes (o ∞-categorías estables). ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Otra ventaja de las ∞-categorías estables o dg-categorías sobre las categorías trianguladas aparece en la K-teoría algebraica . Se puede definir la K-teoría algebraica de una ∞-categoría estable o dg-categoría C , dando una secuencia de grupos abelianos para números enteros i . El grupo tiene una descripción simple en términos de la categoría triangulada asociada a C . Pero un ejemplo muestra que los K-grupos superiores de una dg-categoría no siempre están determinados por la categoría triangulada asociada. ^[14] Por lo tanto, una categoría triangulada tiene un grupo bien definido , pero en general no tiene K-grupos superiores. ${\displaystyle K_{i}(C)}$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

Por otra parte, la teoría de categorías trianguladas es más simple que la teoría de categorías ∞ estables o categorías dg, y en muchas aplicaciones la estructura triangulada es suficiente. Un ejemplo es la prueba de la conjetura de Bloch-Kato , donde muchos cálculos se realizaron a nivel de categorías trianguladas, y no se requirió la estructura adicional de categorías ∞ o categorías dg.

Cohomología en categorías trianguladas

Las categorías trianguladas admiten una noción de cohomología, y cada categoría triangulada tiene una gran cantidad de funtores cohomológicos. Un funtor cohomológico F de una categoría triangulada D a una categoría abeliana A es un funtor tal que para cada triángulo exacto

${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1],\ }$

La secuencia en A es exacta. Dado que un triángulo exacto determina una secuencia infinita de triángulos exactos en ambas direcciones, ${\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}$

${\displaystyle \cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\ }$

Un funtor cohomológico F en realidad da una secuencia larga y exacta en la categoría abeliana A :

${\displaystyle \cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\ }$

Un ejemplo clave es: para cada objeto B en una categoría triangulada D , los funtores y son cohomológicos, con valores en la categoría de grupos abelianos . ^[15] (Para ser precisos, este último es un funtor contravariante , que puede considerarse como un funtor en la categoría opuesta de D ). Es decir, un triángulo exacto determina dos secuencias exactas largas de grupos abelianos: ${\displaystyle \operatorname {Hom} (B,{\text{-}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\text{-}},B)}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots }$

y

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .}$

Para categorías trianguladas particulares, estas secuencias exactas producen muchas de las secuencias exactas importantes en la cohomología de haces, la cohomología de grupos y otras áreas de las matemáticas.

También se puede utilizar la notación

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])}$

Para los enteros i , se generaliza el funtor Ext en una categoría abeliana. En esta notación, la primera secuencia exacta anterior se escribiría:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\ }$

Para una categoría abeliana A , otro ejemplo básico de un funtor cohomológico en la categoría derivada D ( A ) envía un complejo X al objeto en A . Es decir, un triángulo exacto en D ( A ) determina una secuencia exacta larga en A : ${\displaystyle H^{0}(X)}$ ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,}$

usando eso . ${\displaystyle H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)}$

Funtores exactos y equivalencias

Un funtor exacto (también llamado funtor triangulado ) de una categoría triangulada D a una categoría triangulada E es un funtor aditivo que, en términos generales, conmuta con la traslación y envía triángulos exactos a triángulos exactos. ^[16] ${\displaystyle F\colon D\to E}$

En más detalle, un funtor exacto viene con un isomorfismo natural (donde el primero denota el funtor de traducción de D y el segundo denota el funtor de traducción de E ), de modo que siempre que ${\displaystyle \eta \colon F\Sigma \to \Sigma F}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

es un triangulo exacto en D ,

${\displaystyle F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]}$

es un triángulo exacto en E .

Una equivalencia de categorías trianguladas es un funtor exacto que también es una equivalencia de categorías . En este caso, existe un funtor exacto tal que FG y GF son naturalmente isomorfos a los respectivos funtores identidad. ${\displaystyle F\colon D\to E}$ ${\displaystyle G\colon E\to D}$

Categorías trianguladas generadas de forma compacta

Sea D una categoría triangulada tal que en D existen sumas directas indexadas por un conjunto arbitrario (no necesariamente finito) . Un objeto X en D se llama compacto si el funtor conmuta con sumas directas. Explícitamente, esto significa que para cada familia de objetos en D indexados por un conjunto S , el homomorfismo natural de los grupos abelianos es un isomorfismo. Esto es diferente de la noción general de un objeto compacto en la teoría de categorías, que involucra todos los colímites en lugar de solo los coproductos. ${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})}$

Por ejemplo, un objeto compacto en la categoría de homotopía estable es un espectro finito. ^[17] Un objeto compacto en la categoría derivada de un anillo, o en la categoría derivada cuasi-coherente de un esquema, es un complejo perfecto . En el caso de una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo, la categoría Perf( X ) de complejos perfectos también puede verse como la categoría derivada acotada de haces coherentes, . ${\displaystyle h{\cal {S}}}$ ${\displaystyle D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)}$

Una categoría D triangulada se genera de forma compacta si

• D tiene sumas directas arbitrarias (no necesariamente finitas);
• Hay un conjunto S de objetos compactos en D tales que para cada objeto distinto de cero X en D , hay un objeto Y en S con una función distinta de cero para algún entero n . ${\displaystyle Y[n]\to X}$

Muchas categorías trianguladas "grandes" que aparecen de forma natural se generan de forma compacta:

• La categoría derivada de módulos sobre un anillo R se genera de forma compacta mediante un objeto, el R - módulo R.
• La categoría derivada cuasi-coherente de un esquema cuasi-separado cuasi-compacto es generada de forma compacta por un objeto. ^[18]
• La categoría de homotopía estable se genera de forma compacta mediante un objeto, el espectro esférico . ^[19] ${\displaystyle S^{0}}$

Amnon Neeman generalizó el teorema de representabilidad de Brown a cualquier categoría triangulada generada de forma compacta, de la siguiente manera. ^[20] Sea D una categoría triangulada generada de forma compacta, un funtor cohomológico que convierte coproductos en productos. Entonces H es representable. (Es decir, hay un objeto W de D tal que para todo X .) Para otra versión, sea D una categoría triangulada generada de forma compacta, T cualquier categoría triangulada. Si un funtor exacto convierte coproductos en coproductos, entonces F tiene un adjunto derecho . ${\displaystyle H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}}$ ${\displaystyle H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)}$ ${\displaystyle F\colon D\to T}$

El teorema de representabilidad de Brown se puede utilizar para definir varios funtores entre categorías trianguladas. En particular, Neeman lo utilizó para simplificar y generalizar la construcción del funtor de imagen inversa excepcional para un morfismo f de esquemas , la característica central de la teoría de dualidad coherente . ^[21] ${\displaystyle f^{!}}$

estructuras t

Para cada categoría abeliana A , la categoría derivada D ( A ) es una categoría triangulada, que contiene A como subcategoría completa (los complejos concentrados en el grado cero). Diferentes categorías abelianas pueden tener categorías derivadas equivalentes, de modo que no siempre es posible reconstruir A a partir de D ( A ) como una categoría triangulada.

Alexander Beilinson , Joseph Bernstein y Pierre Deligne describieron esta situación mediante la noción de una t-estructura en una categoría triangulada D. ^[22] Una t-estructura en D determina una categoría abeliana dentro de D , y diferentes t-estructuras en D pueden producir diferentes categorías abelianas.

Localización y subcategorías gruesas

Sea D una categoría triangulada con sumas directas arbitrarias. Una subcategoría localizadora de D es una subcategoría triangulada estrictamente completa que está cerrada bajo sumas directas arbitrarias. ^[23] Para explicar el nombre: si una subcategoría localizadora S de una categoría triangulada D generada de forma compacta es generada por un conjunto de objetos, entonces hay un funtor de localización de Bousfield con núcleo S . ^[24] (Es decir, para cada objeto X en D hay un triángulo exacto con Y en S y LX en el ortogonal derecho ). Por ejemplo, esta construcción incluye la localización de un espectro en un número primo, o la restricción de un complejo de haces en un espacio a un subconjunto abierto. ${\displaystyle L\colon D\to D}$ ${\displaystyle Y\to X\to LX\to Y[1]}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$

Una noción paralela es más relevante para categorías trianguladas "pequeñas": una subcategoría gruesa de una categoría triangulada C es una subcategoría triangulada estrictamente completa que está cerrada bajo sumandos directos. (Si C es idempotente-completa , una subcategoría es gruesa si y solo si también es idempotente-completa). Una subcategoría localizadora es gruesa. ^[25] Entonces, si S es una subcategoría localizadora de una categoría triangulada D , entonces la intersección de S con la subcategoría de objetos compactos es una subcategoría gruesa de . ${\displaystyle D^{\text{c}}}$ ${\displaystyle D^{\text{c}}}$

Por ejemplo, Devinatz– Hopkins –Smith describió todas las subcategorías gruesas de la categoría triangulada de espectros finitos en términos de la teoría K de Morava . ^[26] Las subcategorías localizadoras de toda la categoría de homotopía estable no han sido clasificadas.

Véase también

• Transformada de Fourier-Mukai
• Seis operaciones
• Gavilla perversa
• Módulo D
• Localización de Beilinson-Bernstein
• Espectro del módulo
• Descomposición semiortogonal
• Estado de estabilidad de Bridgeland

Notas

1. Marioneta (1962, 1967); Verdier (1963, 1967).
2. Weibel (1994), Definición 10.2.1.
3. J. Peter May, Los axiomas para categorías trianguladas.
4. Weibel (1994), Observación 10.2.2.
5. Weibel (1994), Ejercicio 10.2.1.
6. Gelfand y Manin (2006), Ejercicio IV.1.1.
7. Kashiwara y Schapira (2006), Teorema 11.2.6.
8. Weibel (1994), Corolario 10.4.3.
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Referencias

Algunas introducciones de libros de texto a las categorías trianguladas son:

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• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-27950-4, ISBN 978-3-540-27949-5, Sr.  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.

Un resumen conciso con aplicaciones es:

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), "Capítulo I. Álgebra homológica", Gavillas en variedades , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-02661-8, ISBN 978-3540518617, Sr.  1074006

Algunas referencias más avanzadas son:

• Beilinson, AA ; Bernstein, J .; Deligne, P. (2018) [1982], "Faisceaux pervers", Astérisque , 100 , Société Mathématique de France, París, ISBN 978-2-85629-878-7, Sr.  0751966
• Dugger, Daniel; Shipley, Brooke (2009), "Un ejemplo curioso de categorías de modelos triangulados equivalentes que no son equivalentes a Quillen", Topología algebraica y geométrica , 9 : 135–166, arXiv : 0710.3070 , doi : 10.2140/agt.2009.9.135, MR  2482071
• Hartshorne, Robin (1966), "Capítulo I. La categoría derivada", Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics 20 , vol. 20, Springer-Verlag , págs. 20–48, doi :10.1007/BFb0080482, ISBN 978-3-540-03603-6, Sr.  0222093
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• Verdier, Jean-Louis (1996) [1967], Des catégories dérivées des catégories abéliennes , Astérisque, vol. 239, Sociedad Matemática de Francia, MR  1453167

Enlaces externos

• J. Peter May , Los axiomas para categorías trianguladas
• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks