Transformada de Fourier-Mukai

En geometría algebraica , una transformada de Fourier-Mukai Φ _K es un funtor entre categorías derivadas de haces coherentes D( X ) → D( Y ) para los esquemas X e Y , que es, en cierto sentido, una transformada integral a lo largo de un objeto kernel K ∈ D( X × Y ). La mayoría de los funtores naturales, incluidos los básicos como los pushforwards y pullbacks , son de este tipo.

Este tipo de funtores fueron introducidos por Mukai  (1981) con el fin de demostrar una equivalencia entre las categorías derivadas de haces coherentes en una variedad abeliana y su dual . Esa equivalencia es análoga a la transformada de Fourier clásica que da un isomorfismo entre distribuciones templadas en un espacio vectorial real de dimensión finita y su dual .

Definición

Sean X e Y variedades proyectivas suaves , K ∈ D ^b ( X × Y ) un objeto en la categoría derivada de haces coherentes en su producto. Denotemos por q la proyección X × Y → X , por p la proyección X × Y → Y . Entonces la transformada de Fourier-Mukai Φ _K es un funtor D ^b ( X )→D ^b ( Y ) dado por

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \mathrm {R} p_{*}\left(q^{*}{\mathcal {F}}\otimes ^{L}K\right)}$

donde R p _* es el functor de imagen directa derivado y es el producto tensorial derivado . ${\displaystyle \otimes ^{L}}$

Las transformadas de Fourier-Mukai siempre tienen adjuntos izquierdo y derecho , los cuales también son transformaciones de núcleo. Dados dos núcleos K ₁ ∈ D ^b ( X × Y ) y K ₂ ∈ D ^b ( Y × Z ), el funtor compuesto Φ _{K 2} ∘ Φ _{K 1} también es una transformada de Fourier-Mukai.

El haz de estructura de la diagonal , tomado como núcleo, produce el funtor identidad en D ^b ( X ). Para un morfismo f : X → Y , el haz de estructura del grafo Γ _f produce un empuje hacia adelante cuando se lo ve como un objeto en D ^b ( X × Y ), o un retroceso cuando se lo ve como un objeto en D ^b ( Y × X ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }\in \mathrm {D} ^{b}(X\times X)}$

Sobre las variedades abelianas

Sea una variedad abeliana y su variedad dual . El fibrado de Poincaré en , normalizado para que sea trivial en la fibra en cero, se puede utilizar como núcleo de Fourier-Mukai. Sean y las proyecciones canónicas. El funtor de Fourier-Mukai correspondiente con núcleo es entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}$

Hay un funtor similar

${\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X).\,}$

Si la clase canónica de una variedad es amplia o antiamplia, entonces la categoría derivada de haces coherentes determina la variedad. ^[1] En general, una variedad abeliana no es isomorfa a su dual, por lo que esta transformada de Fourier-Mukai da ejemplos de diferentes variedades (con haces canónicos triviales) que tienen categorías derivadas equivalentes.

Sea g la dimensión de X. La transformación de Fourier-Mukai es casi involutiva:

${\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}$

Intercambia el producto de Pontrjagin y el producto tensorial .

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

Deninger y Murre (1991) han utilizado la transformada de Fourier-Mukai para demostrar la descomposición de Künneth para los motivos de Chow de las variedades abelianas.

Aplicaciones en la teoría de cuerdas

En la teoría de cuerdas , la T-dualidad (abreviatura de dualidad del espacio objetivo ), que relaciona dos teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas con diferentes geometrías espaciotemporales, está estrechamente relacionada con la transformación de Fourier-Mukai. ^{[2] [3]}

Véase también

• Geometría algebraica no conmutativa derivada

Referencias

1. Bondal, Aleksei; Orlov, Dmitri (2001). "Reconstrucción de una variedad a partir de la categoría derivada y grupos de autoequivalencias" (PDF) . Compositio Mathematica . 125 (3): 327–344. arXiv : alg-geom/9712029 . doi : 10.1023/A:1002470302976 .
2. Leung, Naichung Conan; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (2000). "Del lagrangiano especial al hermítico-Yang-Mills mediante la transformada de Fourier-Mukai". Avances en física teórica y matemática . 4 (6): 1319–1341. arXiv : math/0005118 . doi :10.4310/ATMP.2000.v4.n6.a5.
3. Gevorgyan, Eva; Sarkissian, Gor (2014). "Defectos, t-dualidad no abeliana y la transformada de Fourier-Mukai de los campos de Ramond-Ramond". Journal of High Energy Physics . 2014 (3): 35. arXiv : 1310.1264 . doi :10.1007/JHEP03(2014)035.

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Descomposición motívica de esquemas abelianos y la transformada de Fourier", J. Reine Angew. Math. , 422 : 201–219, MR  1133323

• Huybrechts, D. (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford Mathematical Monographs, vol. 1, The Clarendon Press Oxford University Press, doi :10.1093/acprof:oso/9780199296866.001.0001, ISBN 978-0-19-929686-6, Sr.  2244106
• Bartocci, C.; Bruzzo, U.; Hernández Ruipérez, D. (2009), Transformadas de Fourier–Mukai y Nahm en geometría y física matemática , Progress in Mathematics, vol. 276, Birkhäuser, doi :10.1007/b1801, ISBN 978-0-8176-3246-5, Sr.  2511017
• Mukai, Shigeru (1981). "Dualidad entre D ( X ) {\displaystyle D(X)} y D ( X ^ ) {\displaystyle D({\hat {X}})} con su aplicación a haces de Picard". Nagoya Mathematical Journal . 81 : 153–175. ISSN  0027-7630.