En matemáticas , las conjeturas estándar sobre los ciclos algebraicos son varias conjeturas que describen la relación de los ciclos algebraicos y las teorías de cohomología de Weil . Una de las aplicaciones originales de estas conjeturas, prevista por Alexander Grothendieck , fue demostrar que su construcción de motivos puros dio una categoría abeliana que es semisimple . Además, como señaló, las conjeturas estándar también implican la parte más difícil de las conjeturas de Weil , a saber, la conjetura de la "hipótesis de Riemann" que permaneció abierta a fines de la década de 1960 y fue demostrada más tarde por Pierre Deligne ; para detalles sobre el vínculo entre Weil y las conjeturas estándar, véase Kleiman (1968). Las conjeturas estándar siguen siendo problemas abiertos, de modo que su aplicación solo proporciona pruebas condicionales de resultados. En bastantes casos, incluido el de las conjeturas de Weil, se han encontrado otros métodos para demostrar tales resultados de manera incondicional.
Las formulaciones clásicas de las conjeturas estándar implican una teoría de cohomología de Weil fija H . Todas las conjeturas tratan con clases de cohomología "algebraicas", lo que significa un morfismo en la cohomología de una variedad proyectiva suave
inducida por un ciclo algebraico con coeficientes racionales en el producto X × X a través del mapa de clases de ciclo , que es parte de la estructura de una teoría de cohomología de Weil.
La conjetura A es equivalente a la conjetura B (véase Grothendieck (1969), pág. 196), y por lo tanto no figura en la lista.
Uno de los axiomas de una teoría de Weil es el llamado teorema (o axioma) duro de Lefschetz :
Comience con una sección de hiperplano suave y fija
donde X es una variedad proyectiva suave dada en el espacio proyectivo ambiental P N y H es un hiperplano. Entonces, para i ≤ n = dim( X ) , el operador de Lefschetz
que se define al intersecar clases de cohomología con W , da un isomorfismo
Ahora, para i ≤ n definamos:
La conjetura establece que el operador de Lefschetz ( Λ ) es inducido por un ciclo algebraico.
Se conjetura que los proyectores
son algebraicas, es decir, inducidas por un ciclo π i ⊂ X × X con coeficientes racionales. Esto implica que el motivo de cualquier variedad proyectiva suave (y más generalmente, todo motivo puro ) se descompone como
Los motivos y siempre pueden separarse como sumandos directos. Por lo tanto, la conjetura se cumple inmediatamente para curvas. Murre (1990) la demostró para superficies. Katz y Messing (1974) utilizaron las conjeturas de Weil para demostrar la conjetura para variedades algebraicas definidas sobre cuerpos finitos, en dimensión arbitraria.
Šermenev (1974) demostró la descomposición de Künneth para las variedades abelianas A. Deninger y Murre (1991) refinaron este resultado al exhibir una descomposición de Künneth funcional del motivo de Chow de A tal que la n -multiplicación en la variedad abeliana actúa como en el i -ésimo sumando . de Cataldo y Migliorini (2002) demostraron la descomposición de Künneth para el esquema de Hilbert de puntos en una superficie lisa.
La conjetura D establece que la equivalencia numérica y homológica concuerdan (lo que implica, en particular, que esta última no depende de la elección de la teoría de cohomología de Weil). Esta conjetura implica la conjetura de Lefschetz. Si se cumple la conjetura estándar de Hodge, entonces la conjetura de Lefschetz y la conjetura D son equivalentes.
Lieberman demostró esta conjetura para variedades de dimensión como máximo 4 y para variedades abelianas . [1]
La conjetura estándar de Hodge se basa en el teorema del índice de Hodge . Establece la definitividad (positiva o negativa, según la dimensión) del apareamiento del producto de copa en clases de cohomología algebraica primitiva. Si se cumple, entonces la conjetura de Lefschetz implica la conjetura D. En característica cero, la conjetura estándar de Hodge se cumple, siendo una consecuencia de la teoría de Hodge . En característica positiva, la conjetura estándar de Hodge es conocida para superficies (Grothendieck (1958)) y para variedades abelianas de dimensión 4 (Ancona (2020)).
La conjetura estándar de Hodge no debe confundirse con la conjetura de Hodge que establece que para variedades proyectivas suaves sobre C , cada clase racional ( p , p ) es algebraica. La conjetura de Hodge implica las conjeturas de Lefschetz y Künneth y la conjetura D para variedades sobre cuerpos de característica cero. La conjetura de Tate implica Lefschetz, Künneth y la conjetura D para cohomología ℓ-ádica sobre todos los cuerpos.
Para dos variedades algebraicas X e Y , Arapura (2006) ha introducido una condición de que Y está motivado por X . La condición precisa es que el motivo de Y es (en la categoría de motivos de André) expresable a partir del motivo de X por medio de sumas, sumandos y productos. Por ejemplo, Y está motivado si hay un morfismo sobreyectivo . [2] Si Y no se encuentra en la categoría, no está motivado en ese contexto. Para variedades algebraicas complejas proyectivas suaves X e Y , tales que Y está motivado por X , las conjeturas estándar D (la equivalencia homológica es igual a numérica), B (Lefschetz), la conjetura de Hodge y también la conjetura de Hodge generalizada se cumplen para Y si se cumplen para todas las potencias de X . [3] Este hecho se puede aplicar para mostrar, por ejemplo, la conjetura de Lefschetz para el esquema de Hilbert de puntos en una superficie algebraica .
Beilinson (2012) ha demostrado que la existencia (conjetural) de la llamada estructura t motívica en la categoría triangulada de motivos implica las conjeturas estándar B y C de Lefschetz y Künneth.
