Funtor de imagen inversa

En matemáticas, específicamente en topología algebraica y geometría algebraica , un funtor de imagen inversa es una construcción contravariante de haces ; aquí "contravariante" en el sentido dado un mapa , el funtor de imagen inversa es un funtor de la categoría de gavillas en Y a la categoría de gavillas en X. El funtor de imagen directa es la operación principal en haces, con la definición más simple. La imagen inversa exhibe algunas características relativamente sutiles. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Definición

Supongamos que nos dan una gavilla y que queremos transportarla usando un mapa continuo . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Llamaremos al resultado imagen inversa o gavilla de retroceso . Si intentamos imitar la imagen directa estableciendo ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

para cada conjunto abierto de , inmediatamente nos encontramos con un problema: no está necesariamente abierto. Lo mejor que podemos hacer es aproximarlo mediante conjuntos abiertos, e incluso así obtendremos una prehaz y no una gavilla. En consecuencia, definimos como la gavilla asociada a la pregavilla : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Aquí hay un subconjunto abierto de y el colimit se ejecuta sobre todos los subconjuntos abiertos de contener ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$

Por ejemplo, si es solo la inclusión de un punto de , entonces es solo el tallo de en este punto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Los mapas de restricción, así como la funcionalidad de la imagen inversa, se derivan de la propiedad universal de los límites directos .

Cuando se trata de morfismos de espacios localmente anillados , por ejemplo esquemas en geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de módulos , donde está la estructura del haz de . Entonces el functor es inapropiado, porque en general ni siquiera da haces de módulos. Para remediar esto, se define en esta situación para un haz de módulos su imagen inversa por ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

Propiedades

• Si bien es más complicado de definir que , los tallos son más fáciles de calcular: dado un punto , se tiene . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$es un funtor exacto , como se puede ver en el cálculo anterior de los tallos.
• ${\displaystyle f^{*}}$es (en general) correcto y exacto. Si es exacta, f se llama plana . ${\displaystyle f^{*}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$es el adjunto izquierdo del funtor de imagen directa . Esto implica que existen morfismos naturales de unidad y de unidad y . Estos morfismos producen una correspondencia de adjunción natural: ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

Sin embargo, los morfismos y casi nunca son isomorfismos. Por ejemplo, si denota la inclusión de un subconjunto cerrado, el tallo de en un punto es canónicamente isomorfo a si está en y de otra manera. Se aplica una adición similar para el caso de haces de módulos, reemplazándola por . ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i^{-1}}$ ${\displaystyle i^{*}}$

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, señor  0842190. Ver sección II.4.