En matemáticas , el teorema de isomorfismo de residuo normativo es un resultado largamente buscado que relaciona la K -teoría de Milnor y la cohomología de Galois . El resultado tiene una formulación relativamente elemental y al mismo tiempo representa la unión clave en las demostraciones de muchos teoremas aparentemente no relacionados del álgebra abstracta, la teoría de formas cuadráticas , la K-teoría algebraica y la teoría de motivos . El teorema afirma que una determinada afirmación es válida para cualquier primo y cualquier número natural . John Milnor [1] especuló que este teorema podría ser válido para y todos , y esta cuestión se conoció como la conjetura de Milnor . El caso general fue conjeturado por Spencer Bloch y Kazuya Kato [2] y se conoció como la conjetura de Bloch-Kato o la conjetura motívica de Bloch-Kato para distinguirla de la conjetura de Bloch-Kato sobre valores de L -funciones . [3] El teorema de isomorfismo de residuos normativos fue demostrado por Vladimir Voevodsky utilizando una serie de resultados altamente innovadores de Markus Rost .
Para cualquier entero ℓ invertible en un cuerpo hay una función donde denota el módulo de Galois de las raíces ℓ-ésimas de la unidad en algún cierre separable de k . Induce un isomorfismo . El primer indicio de que esto está relacionado con la K -teoría es que es el grupo K 1 ( k ). Tomando los productos tensoriales y aplicando la multiplicatividad de la cohomología étale se obtiene una extensión de la función a funciones:
Estas funciones tienen la propiedad de que, para cada elemento a en , se anula. Esta es la relación definitoria de la teoría K de Milnor . Específicamente, la teoría K de Milnor se define como las partes graduadas del anillo:
donde es el álgebra tensorial del grupo multiplicativo y el cociente es por el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma . Por lo tanto, la función se factoriza mediante una función:
Este mapa se llama símbolo de Galois o mapa de residuos normativos . [4] [5] [6] Debido a que la cohomología étale con coeficientes mod-ℓ es un grupo de ℓ-torsión, este mapa también se factoriza a través de .
El teorema de isomorfismo de residuos normativos (o conjetura de Bloch-Kato) establece que para un cuerpo k y un entero ℓ que es invertible en k , la función de residuos normativos
De la teoría K de Milnor, mod-ℓ a la cohomología étale, se obtiene un isomorfismo. El caso ℓ = 2 es la conjetura de Milnor y el caso n = 2 es el teorema de Merkurjev–Suslin. [6] [7]
La cohomología étale de un cuerpo es idéntica a la cohomología de Galois , por lo que la conjetura iguala la ℓésima cotorsión (el cociente por el subgrupo de elementos ℓ-divisibles) del K -grupo de Milnor de un cuerpo k con la cohomología de Galois de k con coeficientes en el módulo de Galois de las ℓésimas raíces de la unidad. El punto de la conjetura es que hay propiedades que se ven fácilmente para los K -grupos de Milnor pero no para la cohomología de Galois, y viceversa; el teorema de isomorfismo de residuo normativo hace posible aplicar técnicas aplicables al objeto en un lado del isomorfismo al objeto en el otro lado del isomorfismo.
El caso en el que n es 0 es trivial, y el caso en el que n = 1 se sigue fácilmente del Teorema 90 de Hilbert . El caso n = 2 y ℓ = 2 fue demostrado por (Merkurjev 1981) . Un avance importante fue el caso n = 2 y ℓ arbitrario. Este caso fue demostrado por (Merkurjev & Suslin 1982) y se conoce como el teorema de Merkurjev–Suslin . Más tarde, Merkurjev y Suslin, e independientemente, Rost, demostraron el caso n = 3 y ℓ = 2 (Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986) .
El nombre "residuo normativo" se refería originalmente al símbolo de Hilbert , que toma valores en el grupo de Brauer de k (cuando el campo contiene todas las raíces ℓ-ésimas de la unidad). Su uso aquí es análogo a la teoría de campos de clase local estándar y se espera que sea parte de una teoría de campos de clase "superior" (aún no desarrollada).
El teorema de isomorfismo de residuos normativos implica la conjetura de Quillen-Lichtenbaum . Es equivalente a un teorema cuyo enunciado se conocía como conjetura de Beilinson-Lichtenbaum.
La conjetura de Milnor fue demostrada por Vladimir Voevodsky . [8] [9] [10] [11] Más tarde Voevodsky demostró la conjetura general de Bloch-Kato. [12] [13]
El punto de partida para la demostración es una serie de conjeturas debidas a Lichtenbaum (1983) y Beilinson (1987) . Conjeturaron la existencia de complejos motívicos , complejos de haces cuya cohomología estaba relacionada con la cohomología motívica . Entre las propiedades conjeturales de estos complejos había tres propiedades: una que conectaba su cohomología de Zariski con la K-teoría de Milnor, una que conectaba su cohomología étale con la cohomología con coeficientes en los haces de raíces de la unidad y una que conectaba su cohomología de Zariski con su cohomología étale. Estas tres propiedades implicaban, como un caso muy especial, que la función de residuos normativos debería ser un isomorfismo. La característica esencial de la prueba es que utiliza la inducción sobre el "peso" (que es igual a la dimensión del grupo de cohomología en la conjetura), donde el paso inductivo requiere conocer no sólo el enunciado de la conjetura de Bloch-Kato sino el enunciado mucho más general que contiene una gran parte de las conjeturas de Beilinson-Lichtenbaum. En las pruebas por inducción ocurre a menudo que el enunciado que se está probando tiene que ser reforzado para poder probar el paso inductivo. En este caso, el refuerzo que se necesitaba requería el desarrollo de una gran cantidad de nuevas matemáticas.
La primera prueba de la conjetura de Milnor está contenida en una preimpresión de 1995 de Voevodsky [8] y está inspirada en la idea de que debería haber análogos algebraicos de la K -teoría de Morava (estas K-teorías algebraicas de Morava fueron construidas más tarde por Simone Borghesi [14] ). En una preimpresión de 1996, Voevodsky pudo eliminar la K -teoría de Morava del panorama introduciendo en su lugar cobordismos algebraicos y utilizando algunas de sus propiedades que no se habían demostrado en ese momento (estas propiedades se demostraron más tarde). Ahora se sabe que las construcciones de las preimpresiones de 1995 y 1996 son correctas, pero la primera prueba completa de la conjetura de Milnor utilizó un esquema algo diferente.
También es el esquema que sigue la prueba de la conjetura de Bloch-Kato completa. Fue ideado por Voevodsky unos meses después de que apareciera la preimpresión de 1996. La implementación de este esquema requirió avances sustanciales en el campo de la teoría de homotopía motívica , así como encontrar una manera de construir variedades algebraicas con una lista específica de propiedades. A partir de la teoría de homotopía motívica, la prueba requirió lo siguiente:
Las dos primeras construcciones fueron desarrolladas por Voevodsky en 2003. Combinadas con los resultados que se conocían desde finales de los años 1980, fueron suficientes para refutar la conjetura de Milnor .
También en 2003, Voevodsky publicó en la web un preprint que contenía casi una prueba del teorema general. Seguía el esquema original pero faltaban las pruebas de tres enunciados. Dos de estos enunciados estaban relacionados con las propiedades de las operaciones motívicas de Steenrod y requerían el tercer hecho mencionado anteriormente, mientras que el tercero requería hechos entonces desconocidos sobre las "variedades normativas". Las propiedades que se requerían que tuvieran estas variedades habían sido formuladas por Voevodsky en 1997, y las variedades mismas habían sido construidas por Markus Rost entre 1998 y 2003. La prueba de que tienen las propiedades requeridas fue completada por Andrei Suslin y Seva Joukhovitski en 2006.
El tercer hecho mencionado anteriormente requirió el desarrollo de nuevas técnicas en la teoría de homotopía motívica. El objetivo era demostrar que un funtor, que no se suponía que conmutara con límites o colímites, conservaba equivalencias débiles entre objetos de una forma determinada. Una de las principales dificultades era que el enfoque estándar para el estudio de equivalencias débiles se basa en sistemas de factorización de Bousfield-Quillen y estructuras de categorías de modelos , y estos eran inadecuados. Se tuvieron que desarrollar otros métodos, y este trabajo fue completado por Voevodsky recién en 2008. [ cita requerida ]
En el curso del desarrollo de estas técnicas, se hizo evidente que la primera afirmación utilizada sin prueba en la preimpresión de Voevodsky de 2003 es falsa. La prueba tuvo que ser modificada ligeramente para acomodar la forma corregida de esa afirmación. Mientras Voevodsky continuaba trabajando en los detalles finales de las pruebas de los principales teoremas sobre los espacios motívicos de Eilenberg-MacLane , Charles Weibel inventó un enfoque para corregir el lugar en la prueba que tenía que modificarse. Weibel también publicó en 2009 un artículo que contenía un resumen de las construcciones de Voevodsky combinadas con la corrección que descubrió. [15]
Sea X una variedad suave sobre un cuerpo que contiene . Beilinson y Lichtenbaum conjeturaron que el grupo de cohomología motívica es isomorfo al grupo de cohomología étale cuando p ≤ q . Esta conjetura ya ha sido demostrada y es equivalente al teorema de isomorfismo de residuos normativos.
