Conjetura de Quillen-Lichtenbaum

Conjetura matemática

En matemáticas , la conjetura de Quillen-Lichtenbaum es una conjetura que relaciona la cohomología étale con la teoría K algebraica introducida por Quillen (1975, p. 175), quien se inspiró en conjeturas anteriores de Lichtenbaum (1973). Kahn (1997) y Rognes y Weibel (2000) demostraron la conjetura de Quillen-Lichtenbaum en el 2 primo para algunos campos numéricos. Voevodsky , utilizando algunos resultados importantes de Markus Rost , ha demostrado la conjetura de Bloch-Kato , que implica la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para todos los primos.

Declaración

La conjetura en la forma original de Quillen establece que si A es un álgebra generada finitamente sobre números enteros y l es primo, entonces hay una secuencia espectral análoga a la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch , comenzando en

${\displaystyle E_{2}^{pq}=H_{\text{etale}}^{p}({\text{Spec }}A[\ell ^{-1}],Z_{\ell }(-q/2)),}$ (que se entiende 0 si q es impar)

y contiguo a

${\displaystyle K_{-p-q}A\otimes Z_{\ell }}$

para − p  −  q  > 1 + tenue  A .

K -teoría de los números enteros

Suponiendo la conjetura de Quillen-Lichtenbaum y la conjetura de Vandiver , los K -grupos de los números enteros, K _n ( Z ), vienen dados por:

• 0 si n  = 0 mod 8 y n  > 0, Z si n  = 0
• Z  ⊕  Z /2 si n  = 1 mod 8 y n  > 1, Z /2 si n  = 1.
• Z / c _k ⊕ Z /2 si n  = 2 mod 8
• Z /8 d _k si n  = 3 mod 8
• 0 si n  = 4 modificación 8
• Z si n  = 5 mod 8
• Z / c _k si n  = 6 mod 8
• Z /4 d _k si n  = 7 mod 8

donde c _k / d _k es el número de Bernoulli B _{2 k} / k en términos más bajos y n es 4 k  − 1 o 4 k  − 2 (Weibel 2005).

Referencias

• Grayson, Daniel R. (1994), "Filtraciones de peso en teoría K algebraica", en Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. 55, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 207–237, ISBN 978-0-8218-1636-3, SEÑOR  1265531
• Kahn, Bruno (1997), La conjetura de Quillen-Lichtenbaum en el número primo 2 (PDF)
• Lichtenbaum, Stephen (1973), "Values ​​of zeta-functions, étale cohomology, and algebraic K-theory", en Bass, H. (ed.), Algebraic K-theory, II: Classical algebraic K-theory y conexiones con la aritmética (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 342, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 489–501, doi :10.1007/BFb0073737, ISBN 978-3-540-06435-0, SEÑOR  0406981
• Quillen, Daniel (1975), "Teoría K algebraica superior", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 1, Canadá. Matemáticas. Congreso, Montreal, Que., págs. 171–176, MR  0422392
• Rognes, J.; Weibel, Charles (2000), "Teoría K algebraica de dos primarios de anillos de números enteros en campos numéricos", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 13 (1): 1–54, doi : 10.1090/S0894-0347-99- 00317-3 , hdl : 10852/39337 , ISSN  0894-0347, SEÑOR  1697095
• Weibel, Charles (2005), "Teoría K algebraica de anillos de números enteros en campos locales y globales", en Friedlander, Eric M .; Grayson, Daniel R. (eds.), Manual de teoría K. vol. 1, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 139-190, doi :10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN 978-3-540-23019-9, señor  2181823