En teoría de números , un carácter ciclotómico es un carácter de un grupo de Galois que da la acción de Galois sobre un grupo de raíces de la unidad . Como representación unidimensional sobre un anillo R , su espacio de representación se denota generalmente por R (1) (es decir, es una representación χ : G → Aut R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ).
Fijemos p como primo y sea G Q el grupo absoluto de Galois de los números racionales . Las raíces de la unidad forman un grupo cíclico de orden , generado por cualquier elección de una raíz primitiva p n ésima de la unidad ζ p n .
Como todas las raíces primitivas de son conjugadas de Galois, el grupo de Galois actúa sobre mediante automorfismos. Después de fijar una raíz primitiva de unidad que genere , cualquier elemento de puede escribirse como una potencia de , donde el exponente es un elemento único en . Por lo tanto, se puede escribir
donde es el elemento único como se indica arriba, dependiendo tanto de como de . Esto define un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico mod p n :
que se considera un personaje ya que la acción corresponde a un homomorfismo .
Fijando y variando , forman un sistema compatible en el sentido de que dan un elemento del límite inverso de las unidades en el anillo de los enteros p-ádicos . Así, se ensamblan en un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico p -ádico :
codificando la acción de sobre todas las raíces p -potenciales de la unidad simultáneamente. De hecho, al equiparlo con la topología de Krull y con la topología p -ádica , se obtiene una representación continua de un grupo topológico.
Al variar ℓ sobre todos los números primos, se obtiene un sistema compatible de representaciones ℓ-ádicas a partir de los caracteres ciclotómicos ℓ -ádicos (al considerar sistemas compatibles de representaciones, la terminología estándar es utilizar el símbolo ℓ para denotar un primo en lugar de p ). Es decir, χ = { χ ℓ } ℓ es una "familia" de representaciones ℓ -ádicas
que satisfacen ciertas compatibilidades entre diferentes primos. De hecho, los χ ℓ forman un sistema estrictamente compatible de representaciones ℓ-ádicas .
El carácter ciclotómico p -ádico es el módulo de Tate p -ádico del esquema de grupo multiplicativo G m , Q sobre Q . Como tal, su espacio de representación puede verse como el límite inverso de los grupos de raíces p n ésimas de la unidad en Q .
En términos de cohomología , el carácter ciclotómico p -ádico es el dual del primer grupo de cohomología étale p -ádico de G m . También se puede encontrar en la cohomología étale de una variedad proyectiva , a saber, la línea proyectiva : es el dual de H 2 ét ( P 1 ) .
En términos de motivos , el carácter ciclotómico p -ádico es la realización p -ádica del motivo de Tate Z (1) . Como motivo de Grothendieck, el motivo de Tate es el dual de H 2 ( P 1 ) . [1] [ aclaración necesaria ]
El carácter ciclotómico p -ádico satisface varias propiedades interesantes.