Carácter (matemáticas)

En matemáticas , un carácter es (por lo general) un tipo especial de función de un grupo a un cuerpo (como los números complejos ). Hay al menos dos significados distintos, pero superpuestos. ^[1] Otros usos de la palabra "carácter" casi siempre están calificados.

Carácter multiplicativo

Un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo multiplicativo de un cuerpo (Artin 1966), normalmente el cuerpo de números complejos . Si G es un grupo cualquiera, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual.

Este grupo se denomina grupo de caracteres de G. A veces, solo se consideran caracteres unitarios (por lo que la imagen está en el círculo unitario ); otros homomorfismos similares se denominan cuasicaracteres . Los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, si son caracteres diferentes en un grupo G entonces de ello se deduce que . ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$

Carácter de una representación

El carácter de una representación de un grupo G en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo F es la traza de la representación (Serre 1977), es decir ${\displaystyle \chi :G\to F}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$para ${\displaystyle g\in G}$

En general, la traza no es un homomorfismo de grupo, ni el conjunto de trazas forma un grupo. Los caracteres de las representaciones unidimensionales son idénticos a las representaciones unidimensionales, por lo que la noción anterior de carácter multiplicativo puede verse como un caso especial de caracteres de dimensiones superiores. El estudio de las representaciones que utilizan caracteres se denomina " teoría de caracteres " y los caracteres unidimensionales también se denominan "caracteres lineales" en este contexto.

Definición alternativa

Si se restringe a un grupo abeliano finito con representación en (es decir, ), la siguiente definición alternativa sería equivalente a la anterior (para los grupos abelianos, cada representación matricial se descompone en una suma directa de representaciones. Para los grupos no abelianos, la definición original sería más general que esta): ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

Un carácter de grupo es un homomorfismo de grupo, es decir para todos ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in G.}$

Si es un grupo abeliano finito, los caracteres cumplen el papel de armónicos. Para grupos abelianos infinitos, lo anterior se reemplazaría por donde es el grupo circular . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Véase también

• Grupo de personajes
• Personaje de Dirichlet
• Personaje de Harish-Chandra
• Personaje de Hecke
• Carácter infinitesimal
• Personaje alterno
• Caracterización (matemáticas)
• Dualidad de Pontryagin

Referencias

1. "personaje en nLab". ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 .

• Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Notre Dame Mathematical Lectures, número 2, Arthur Norton Milgram (reimpreso en Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Conferencias dictadas en la Universidad de Notre Dame
• Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 42, Traducido de la segunda edición francesa de Leonard L. Scott, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, Sr.  0450380

Enlaces externos

• "Carácter de un grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]