Grupo de ramificación

Filtración del grupo de Galois de una extensión de campo local

En teoría de números , más específicamente en teoría de campos de clases locales , los grupos de ramificación son una filtración del grupo de Galois de una extensión de campo local , que proporciona información detallada sobre los fenómenos de ramificación de la extensión.

Teoría de la ramificación de las valoraciones

En matemáticas , la teoría de ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración v de un cuerpo K a una extensión L de K. Es una generalización de la teoría de ramificación de los dominios de Dedekind. ^{[1] [2]}

La estructura del conjunto de extensiones se conoce mejor cuando L / K es Galois .

Grupo de descomposición y grupo de inercia

Sea ( K ,  v ) un cuerpo valuado y sea L una extensión de Galois finita de K . Sea S _v el conjunto de clases de equivalencia de extensiones de v a L y sea G el grupo de Galois de L sobre K . Entonces G actúa sobre S _v por σ[ w ] = [ w  ∘ σ] (es decir, w es un representante de la clase de equivalencia [ w ] ∈  S _v y [ w ] se envía a la clase de equivalencia de la composición de w con el automorfismo σ : L → L ; esto es independiente de la elección de w en [ w ]). De hecho, esta acción es transitiva .

Dada una extensión fija w de v a L , el grupo de descomposición de w es el subgrupo estabilizador G _w de [ w ], es decir, es el subgrupo de G que consiste en todos los elementos que fijan la clase de equivalencia [ w ] ∈  S _v .

Sea m _w el ideal máximo de w dentro del anillo de valoración R _w de w . El grupo de inercia de w es el subgrupo I _w de G _w que consiste en elementos σ tales que σ x  ≡  x  (mod  m _w ) para todo x en R _w . En otras palabras, I _w consiste en los elementos del grupo de descomposición que actúan trivialmente sobre el campo de residuos de w . Es un subgrupo normal de G _w .

El índice de ramificación reducido e ( w / v ) es independiente de w y se denota e ( v ). De manera similar, el grado relativo f ( w / v ) también es independiente de w y se denota f ( v ).

Grupos de ramificación en menor numeración

Los grupos de ramificación son un refinamiento del grupo de Galois de una extensión finita de Galois de cuerpos locales . Escribiremos para la valoración, el anillo de números enteros y su ideal máximo para . Como consecuencia del lema de Hensel , se puede escribir para algunos donde es el anillo de números enteros de . ^[3] (Esto es más fuerte que el teorema del elemento primitivo ). Luego, para cada número entero , definimos como el conjunto de todos los que satisfacen las siguientes condiciones equivalentes. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$ ${\displaystyle \alpha \in L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i\geq -1}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle s\in G}$

• (i) opera trivialmente en ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii) para todos ${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii) ${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

El grupo se llama grupo de ramificación -ésimo . Forman una filtración decreciente . ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

De hecho, son normales por (i) y triviales para suficientemente grandes por (iii). Para los índices más bajos, se acostumbra llamar al subgrupo de inercia de debido a su relación con la división de ideales primos , mientras que el subgrupo de inercia salvaje de . El cociente se llama cociente domesticado. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$

El grupo de Galois y sus subgrupos se estudian empleando la filtración anterior o, más específicamente, los cocientes correspondientes. En particular, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{i}}$

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$¿Dónde están los campos de residuos (finitos) de ? ^[4] ${\displaystyle l,k}$ ${\displaystyle L,K}$
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$no está ramificado .
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$está ramificado dócilmente (es decir, el índice de ramificación es primo de la característica del residuo).

El estudio de los grupos de ramificación se reduce al caso totalmente ramificado ya que se tiene para . ${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

También se define la función . (ii) en lo anterior se muestra que es independiente de la elección de y, además, el estudio de la filtración es esencialmente equivalente al de . ^[5] satisface lo siguiente: para , ${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle s,t\in G}$

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Fije un uniformizador de . Luego induce la inyección donde . (El mapa en realidad no depende de la elección del uniformizador. ^[6] ) De esto se deduce ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$ ${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$es cíclico de orden primo a ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$es un producto de grupos cíclicos de orden . ${\displaystyle p}$

En particular, es un grupo p y es resoluble . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

Los grupos de ramificación se pueden utilizar para calcular la diferencia de la extensión y la de las subextensiones: ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Si es un subgrupo normal de , entonces, para , . ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma \in G}$ ${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$

Combinando esto con lo anterior se obtiene: para una subextensión correspondiente a , ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

Si , entonces . ^[10] En la terminología de Lazard , esto puede entenderse como que el álgebra de Lie es abeliana. ${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$ ${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

Ejemplo: la extensión ciclotómica

Los grupos de ramificación para una extensión ciclotómica , donde es una raíz primitiva -ésima de la unidad , se pueden describir explícitamente: ^[11] ${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),}$

donde e se elige tal que . ${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$

Ejemplo: una extensión cuártica

Sea K la extensión de Q ₂ generada por . Los conjugados de son , , . ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle x_{3}=-x_{1}}$ ${\displaystyle x_{4}=-x_{2}}$

Un pequeño cálculo muestra que el cociente de dos de estos es una unidad . Por lo tanto, todos generan el mismo ideal; llamémoslo π . genera π ² ; (2)= π ⁴ . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Ahora , que está en π ⁵ . ${\displaystyle x_{1}-x_{3}=2x_{1}}$

y que está en π ³ . ${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},}$

Diversos métodos muestran que el grupo de Galois de K es cíclico de orden 4. Además: ${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}$

y ${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}$para que los diferentes ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$

${\displaystyle x_{1}}$satisface X ⁴ − 4 X ² + 2, que tiene discriminante 2048 = 2 ¹¹ .

Grupos de ramificación en numeración superior

Si es un número real , denotemos donde i es el menor entero . En otras palabras, definamos por ^[12] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \geq -1}$ ${\displaystyle G_{u}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \geq u}$ ${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

donde, por convención, es igual a si y es igual a para . ^[13] Entonces para . Es inmediato que es continuo y estrictamente creciente, y por lo tanto tiene la función inversa continua definida en . Defina . se llama entonces el v -ésimo grupo de ramificación en numeración superior. En otras palabras, . Nota . La numeración superior se define de modo que sea compatible con el paso a cocientes: ^[14] si es normal en , entonces ${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$ ${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$ ${\displaystyle t=-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1<t\leq 0}$ ${\displaystyle \phi (u)=u}$ ${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [-1,\infty )}$ ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$ ${\displaystyle G^{v}}$ ${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$ ${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$a pesar de ${\displaystyle v}$

(mientras que una numeración más baja es compatible con el paso a subgrupos).

Teorema de Herbrand

El teorema de Herbrand establece que los grupos de ramificación en la numeración inferior satisfacen (para donde es la subextensión correspondiente a ), y que los grupos de ramificación en la numeración superior satisfacen . ^{[15] [16]} Esto permite definir grupos de ramificación en la numeración superior para extensiones de Galois infinitas (como el grupo de Galois absoluto de un cuerpo local) a partir del sistema inverso de grupos de ramificación para subextensiones finitas. ${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$ ${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$ ${\displaystyle L/F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$

La numeración superior para una extensión abeliana es importante debido al teorema de Hasse-Arf . Este afirma que si es abeliano, entonces los saltos en la filtración son números enteros; es decir, siempre que no sea un número entero. ^[17] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{v}}$ ${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$ ${\displaystyle \phi (i)}$

La numeración superior es compatible con la filtración del grupo de residuos de la norma por los grupos unitarios bajo el isomorfismo de Artin . La imagen de bajo el isomorfismo ${\displaystyle G^{n}(L/K)}$

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

es solo ^[18]

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}$

Véase también

• Extensiones finitas de campos locales

Notas

1. Fröhlich, A .; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X.Zbl 0744.11001  .
2. Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Álgebra conmutativa, Volumen II . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 29. Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag. Capítulo VI. ISBN 978-0-387-90171-8.Zbl 0322.13001  .
3. Neukirch (1999) pág. 178
4. ya que es canónicamente isomorfo al grupo de descomposición. ${\displaystyle G/G_{0}}$
5. Serre (1979) pág. 62
6. Conrado
7. Uso y ${\displaystyle U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }}$ ${\displaystyle U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}}$
8. Serre (1979) 4.1 Proposición 4, p.64
9. Serré (1979) 4.1. Proposición 3, pág.63
10. Serré (1979) 4.2. Proposición 10.
11. Serre, Cuerpos locaux . Cap. IV, §4, Proposición 18
12. Serre (1967) pág. 156
13. Neukirch (1999) pág. 179
14. Serre (1967) pág. 155
15. Neukirch (1999) pág. 180
16. Serre (1979) pág. 75
17. Neukirch (1999) pág. 355
18. Snaith (1994) págs. 30-31

Referencias

• B. Conrad, Matemáticas 248A. Grupos de ramificación superior
• Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991). Teoría algebraica de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X.Zbl 0744.11001  .
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Teoría de campos de clases locales". En Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (eds.). Teoría algebraica de números. Actas de una conferencia instructiva organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN) con el apoyo de la International Mathematical Union . Londres: Academic Press. pp. 128–161. Zbl  0153.07403.
• Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 67. Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90424-7.MR 0554237.  Zbl 0423.12016  .
• Snaith, Victor P. (1994). Estructura del módulo de Galois . Monografías del Instituto Fields. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0264-X.Zbl 0830.11042  .