En álgebra abstracta , una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano . Cuando el grupo de Galois también es cíclico , la extensión también se denomina extensión cíclica . Yendo en la otra dirección, una extensión de Galois se dice que tiene solución si su grupo de Galois es resoluble , es decir, si el grupo se puede descomponer en una serie de extensiones normales de un grupo abeliano. Toda extensión finita de un campo finito es una extensión cíclica.
La teoría de campos de clases proporciona información detallada sobre las extensiones abelianas de campos numéricos , campos funcionales de curvas algebraicas sobre campos finitos y campos locales .
Hay dos definiciones ligeramente diferentes del término extensión ciclotómica. Puede significar una extensión formada por la unión de raíces de unidad a un campo, o una subextensión de dicha extensión. Los campos ciclotómicos son ejemplos. Una extensión ciclotómica, bajo cualquier definición, es siempre abeliana.
Si un campo K contiene una raíz n -ésima de la unidad primitiva y la raíz n -ésima de un elemento de K está contigua, la extensión de Kummer resultante es una extensión abeliana (si K tiene la característica p, deberíamos decir que p no divide n , ya que de lo contrario esto puede no ser ni siquiera una extensión separable ). En general, sin embargo, los grupos de Galois de n -ésimas raíces de elementos operan tanto en las n -ésimas raíces como en las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto . La teoría de Kummer da una descripción completa del caso de extensión abeliana, y el teorema de Kronecker-Weber nos dice que si K es el campo de los números racionales , una extensión es abeliana si y sólo si es un subcampo de un campo obtenido al unir un raíz de la unidad.
Existe una analogía importante con el grupo fundamental en topología , que clasifica todos los espacios de cobertura de un espacio: las coberturas abelianas se clasifican por su abelianización que se relaciona directamente con el primer grupo de homología .