En la teoría de números algebraicos , el ideal diferente (a veces simplemente el diferente ) se define para medir la (posible) falta de dualidad en el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos K , con respecto a la traza del cuerpo . Luego codifica los datos de ramificación para ideales primos del anillo de números enteros. Fue introducido por Richard Dedekind en 1882. [1] [2]
Si O K es el anillo de números enteros de K , y tr denota la traza del campo desde K hasta el campo de números racionales Q , entonces
es una forma cuadrática integral en O K . Su discriminante como forma cuadrática no necesita ser +1 (de hecho esto sucede solo para el caso K = Q ). Defina el inverso diferente o codiferente [3] [4] o el módulo complementario de Dedekind [5] como el conjunto I de x ∈ K tal que tr( xy ) es un entero para todo y en O K , entonces I es un ideal fraccionario de K que contiene a O K . Por definición, el ideal diferente δ K es el ideal fraccionario inverso I −1 : es un ideal de O K .
La norma ideal de δ K es igual al ideal de Z generado por el discriminante de campo D K de K .
La diferencia de un elemento α de K con polinomio mínimo f se define como δ(α) = f ′(α) si α genera el campo K (y cero en caso contrario): [6] podemos escribir
donde α ( i ) recorren todas las raíces del polinomio característico de α excepto α mismo. [7] El ideal diferente se genera por los diferentes de todos los números enteros α en O K . [6] [8] Esta es la definición original de Dedekind. [9]
La diferencia también se define para una extensión de grado finito de cuerpos locales . Desempeña un papel básico en la dualidad de Pontryagin para cuerpos p-ádicos .
La diferencia relativa δ L / K se define de manera similar para una extensión de cuerpos numéricos L / K . La norma relativa de la diferencia relativa es entonces igual al discriminante relativo Δ L / K . [10] En una torre de cuerpos L / K / F las diferencias relativas están relacionadas por δ L / F = δ L / K δ K / F . [5] [11]
La diferencia relativa es igual al aniquilador del módulo diferencial relativo de Kähler : [10] [12]
La clase ideal del relativo diferente δ L / K es siempre un cuadrado en el grupo de clases de O L , el anillo de enteros de L . [13] Puesto que el discriminante relativo es la norma del relativo diferente, es el cuadrado de una clase en el grupo de clases de O K : [14] de hecho, es el cuadrado de la clase de Steinitz para O L como un O K -módulo. [15]
El relativo diferente codifica los datos de ramificación de la extensión de campo L / K . Un ideal primo p de K se ramifica en L si la factorización de p en L contiene un primo de L elevado a una potencia mayor que 1: esto ocurre si y solo si p divide al discriminante relativo Δ L / K . Más precisamente, si
es la factorización de p en ideales primos de L entonces P i divide al relativo diferente δ L / K si y solo si P i está ramificado, es decir, si y solo si el índice de ramificación e ( i ) es mayor que 1. [11] [16] El exponente preciso al que un primo ramificado P divide a δ se denomina exponente diferencial de P y es igual a e − 1 si P está ligeramente ramificado : es decir, cuando P no divide a e . [17] En el caso en que P está muy ramificado, el exponente diferencial se encuentra en el rango de e a e + e ν P (e) − 1. [16] [18] [19] El exponente diferencial se puede calcular a partir de los órdenes de los grupos de ramificación superiores para las extensiones de Galois: [20]
La diferencia puede definirse para una extensión de cuerpos locales L / K . En este caso podemos tomar la extensión como simple , generada por un elemento primitivo α que también genera una base integral de potencia . Si f es el polinomio mínimo para α entonces la diferencia se genera por f' (α).
