Teorema de Hasse-Arf

Sobre saltos de filtración de numeración superior del grupo Galois de una extensión finita de Galois

En matemáticas , específicamente en teoría de campos de clases locales , el teorema de Hasse-Arf es un resultado relativo a los saltos de la filtración de numeración superior del grupo de Galois de una extensión finita de Galois . Helmut Hasse demostró originalmente un caso especial cuando los campos residuales son finitos , ^{[1] [2]} y el resultado general fue demostrado por Cahit Arf . ^{[3] [4]}

Declaración

Grupos de ramificación superior

El teorema trata de los grupos de ramificación superiores numerados superiores de una extensión abeliana finita . Entonces supongamos que es una extensión finita de Galois, y que es una valoración discreta normalizada de K , cuyo campo residual tiene la característica p  > 0, y que admite una extensión única a L , digamos w . Denotemos por la valoración normalizada asociada ew de L y sea el anillo de valoración de L bajo . Tengamos el grupo de Galois G y definamos el s -ésimo grupo de ramificación de para cualquier real s  ≥ −1 por ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1{\text{ for all }}a\in {\mathcal {O}}\}.}$

Entonces, por ejemplo, G ₋₁ es el grupo de Galois G . Para pasar a la numeración superior hay que definir la función ψ _{L / K} que a su vez es la inversa de la función η _{L / K} definida por

${\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}$

La numeración superior de los grupos de ramificación se define entonces por G ^t ( L / K ) =  G _s ( L / K ) donde s  =  ψ _{L / K} ( t ).

Estos grupos de ramificación superior G ^t ( L / K ) se definen para cualquier t  ≥ −1 real, pero como v _L es una valoración discreta, los grupos cambiarán en saltos discretos y no de forma continua. Así decimos que t es un salto de la filtración { G ^t ( L / K ) :  t  ≥ −1} si G ^t ( L / K ) ≠  G ^u ( L / K ) para cualquier u  >  t . El teorema de Hasse-Arf nos dice la naturaleza aritmética de estos saltos.

Declaración del teorema

Con la configuración anterior, el teorema establece que los saltos de la filtración { G ^t ( L / K ):  t  ≥ −1} son todos números enteros racionales . ^{[4] [5]}

Ejemplo

Supongamos que G es cíclico de orden , residuo característico y es el subgrupo de de orden . El teorema dice que existen números enteros positivos tales que ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(i)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n-i}}$ ${\displaystyle i_{0},i_{1},...,i_{n-1}}$

${\displaystyle G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_{0}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}}=G(1)=G^{i_{0}+1}=\cdots =G^{i_{0}+i_{1}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_{0}+i_{1}+1}}$

...

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{n-1}+1}.}$^[4]

Extensiones no abelianas

Para extensiones no abelianas, los saltos en la filtración superior no necesitan ser números enteros. Serre dio un ejemplo de una extensión totalmente ramificada con el grupo de Galois, el grupo de cuaterniones de orden 8 con ${\displaystyle Q_{8}}$

• ${\displaystyle G_{0}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{1}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{4}=1}$

La numeración superior entonces satisface

• ${\displaystyle G^{n}=Q_{8}}$   para ${\displaystyle n\leq 1}$
• ${\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$   para ${\displaystyle 1<n\leq 3/2}$
• ${\displaystyle G^{n}=1}$   para ${\displaystyle 3/2<n}$

también tiene un salto en el valor no integral . ${\displaystyle n=3/2}$

Notas

1. Hasse, Helmut (1930). "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 162 : 169–184. doi :10.1515/crll.1930.162.169. SEÑOR  1581221.
2. H. Hasse, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper , J. Fac. Ciencia. Tokio 2 (1934), págs. 477–498.
3. Arf, Cahit (1939). "Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 181 : 1–44. doi :10.1515/crll.1940.181.1. Señor  0000018. Zbl  0021.20201.
4. Serre (1979) IV.3, p.76
5. Neukirch (1999) Teorema 8.9, p.68

Referencias

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, SEÑOR  0554237, Zbl  0423.12016