En matemáticas , la teoría de campos de clases locales , introducida por Helmut Hasse , [1] es el estudio de las extensiones abelianas de campos locales ; aquí, "campo local" significa un campo que es completo con respecto a un valor absoluto o una valoración discreta con un campo de residuos finitos: por lo tanto, cada campo local es isomorfo (como un campo topológico) a los números reales R , los números complejos C , una extensión finita de los números p -ádicos Q p (donde p es cualquier número primo ), o el campo de la serie formal de Laurent F q (( T )) sobre un campo finito F q .
La teoría de campos de clases locales proporciona una descripción del grupo de Galois G de la extensión abeliana máxima de un campo local K a través del mapa de reciprocidad que actúa desde el grupo multiplicativo K × = K \{0}. Para una extensión abeliana finita L de K, el mapa de reciprocidad induce un isomorfismo del grupo cociente K × / N ( L × ) de K × por el grupo norma N ( L × ) de la extensión L × al grupo de Galois Gal( L / K ) de la extensión. [2]
El teorema de existencia en la teoría de cuerpos de clases locales establece una correspondencia biunívoca entre subgrupos abiertos de índice finito en el grupo multiplicativo K × y extensiones abelianas finitas del cuerpo K . Para una extensión abeliana finita L de K el subgrupo abierto correspondiente de índice finito es el grupo normativo N ( L × ). El mapa de reciprocidad envía grupos superiores de unidades a subgrupos de ramificación superior, véase, por ejemplo, el capítulo IV de. [3]
Utilizando el mapa de reciprocidad local, se define el símbolo de Hilbert y sus generalizaciones. Encontrar fórmulas explícitas para él es una de las subdirecciones de la teoría de campos locales, tiene una larga y rica historia, véase por ejemplo la revisión de Sergei Vostokov . [4]
Existen enfoques cohomológicos y no cohomológicos para la teoría de cuerpos de clases locales. Los enfoques cohomológicos tienden a ser no explícitos, ya que utilizan el producto de copa de los primeros grupos de cohomología de Galois.
Para varios enfoques de la teoría de campos de clases locales, consulte el Cap. IV y la sección 7 del Cap. IV de [5]. Incluyen el enfoque de Hasse de utilizar el grupo de Brauer , enfoques cohomológicos , los métodos explícitos de Jürgen Neukirch , Michiel Hazewinkel , la teoría de Lubin-Tate y otros.
Las generalizaciones de la teoría de campos de clases locales a campos locales con campos de residuos cuasi-finitos fueron extensiones fáciles de la teoría, obtenidas por G. Whaples en la década de 1950, véase el capítulo V de [ aclaración necesaria ] . [6]
La teoría de campos de clase p explícita para campos locales con campos de residuos perfectos e imperfectos que no son finitos tiene que lidiar con la nueva cuestión de los grupos normativos de índice infinito. Ivan Fesenko construyó teorías apropiadas . [7] [8] La teoría de campos de clase local no conmutativa de Fesenko para extensiones de Galois aritméticamente profinitas de campos locales estudia el mapa de cociclo de reciprocidad local apropiado y sus propiedades. [9] Esta teoría aritmética puede verse como una alternativa a la correspondencia local de Langlands teórica de representación.
Para un cuerpo local de dimensión superior existe un mapa de reciprocidad local superior que describe extensiones abelianas del cuerpo en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el K-grupo de Milnor del cuerpo. Es decir, si es un cuerpo local de dimensión superior entonces se utiliza o su cociente separado dotado de una topología adecuada. Cuando la teoría se convierte en la teoría de cuerpo local de clase habitual. A diferencia del caso clásico, los K-grupos de Milnor no satisfacen la descendencia del módulo de Galois si . La teoría general de cuerpo local de clase de dimensión superior fue desarrollada por K. Kato e I. Fesenko .
La teoría de campos de clases locales superiores es parte de la teoría de campos de clases superiores que estudia las extensiones abelianas (o coberturas abelianas) de campos de funciones racionales de esquemas regulares propios planos sobre números enteros.
