División de ideales primarios en extensiones de Galois

En matemáticas , la interacción entre el grupo de Galois G de una extensión de Galois _{L de un campo numérico K, y la forma en que los ideales primos P del anillo de números enteros OK} se factorizan como productos de ideales primos de O L , proporciona _uno de los más ricos Partes de la teoría algebraica de números . La división de los ideales primarios en las extensiones de Galois se atribuye a veces a David Hilbert llamándola teoría de Hilbert . Existe una analogía geométrica, para los recubrimientos ramificados de superficies de Riemann , que es más simple en el sentido de que sólo es necesario considerar un tipo de subgrupo de G , en lugar de dos. Esto, sin duda, le resultaba familiar antes de Hilbert.

Definiciones

Sea L / K una extensión finita de campos numéricos, y sean O _K y O _L el anillo correspondiente de números enteros de K y L , respectivamente, que se definen como la clausura integral de los números enteros Z en el campo en cuestión.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

Finalmente, sea p un ideal primo distinto _de cero en _OK , o equivalentemente, un ideal máximo , de modo que el residuo OK / p sea un campo .

De la teoría básica de los anillos unidimensionales se desprende la existencia de una descomposición única

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}$

del pOL ideal generado en O _L por p en un producto _de ideales máximos distintos P _j , con multiplicidades e _j .

El campo F = O _K / p se integra naturalmente en F _j = O _L / P _j para cada j , el grado f _j = [ O _L / P _j  : O _K / p ] de esta extensión del campo residual se llama grado de inercia de P _j sobre p .

La multiplicidad e _j se llama índice de ramificación de P _j sobre p . Si es mayor que 1 para algún j , la extensión de campo L / K se llama ramificada en p (o decimos que p ramifica en L , o que está ramificada en L ). De lo contrario, L / K se denomina no ramificado en p . Si este es el caso, entonces según el teorema chino del resto, el cociente O _L / pO _L es un producto de los campos F _j . La extensión L / K está ramificada exactamente en aquellos primos que dividen al discriminante relativo , por lo que la extensión no está ramificada en todos los ideales primos excepto en un número finito.

La multiplicatividad de la norma ideal implica

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

Si f _j = e _j = 1 para cada j (y por tanto g = [ L  : K ]), decimos que p se divide completamente en L . Si g = 1 y f ₁ = 1 (y entonces e ₁ = [ L  : K ]), decimos que pr ramifica completamente en L . Finalmente, si g = 1 y e ₁ = 1 (y entonces f ₁ = [ L  : K ]), decimos que p es inerte en L .

La situación de Galois

A continuación se supone que la extensión L / K es una extensión de Galois . Entonces se puede utilizar el lema de evitación de primos para mostrar que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre P _j . Es decir, los factores primos ideales de p en L forman una órbita única bajo los automorfismos de L sobre K. De esto y del teorema de factorización única , se deduce que f = f _j y e = e _j son independientes de j ; algo que ciertamente no tiene por qué ser el caso de las extensiones que no son Galois. Las relaciones básicas entonces leen ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

y

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

La relación anterior muestra que [ L  : K ]/ ef es igual al número g de factores primos de p en O _L . Según la fórmula del estabilizador de órbita, este número también es igual a | GRAMO |/| D _{P j} | para cada j , donde DP _j , el grupo de descomposición _de P j _, es el subgrupo de elementos de G que envía un P _j dado a sí mismo. Dado que el grado de L / K y el orden de G son iguales según la teoría básica de Galois, se deduce que el orden del grupo de descomposición _DP j _es ef para cada j .

Este grupo de descomposición contiene un subgrupo IP _j , llamado grupo de inercia de P _j , formado por automorfismos de L / K que inducen el automorfismo _de identidad en F _j . En otras palabras, IP _{j es el} núcleo del mapa de reducción . Se puede demostrar que este mapa es sobreyectivo, y se deduce que es isomorfo a DP _j / IP _{j y el orden} del grupo de _inercia IP _j es e . ${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$

La teoría del elemento de Frobenius va más allá, al identificar un elemento de D _{P j} / I _{P j} para j dado que corresponde al automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de la extensión de campo finito F _j / F. En el caso no ramificado, el orden de _{DP j} es _f e I P j _{es trivial} , por lo que el elemento de Frobenius es en este caso un elemento de _{DP j} y _, por tanto, también un elemento de G. Para variar j , los grupos DP _j son subgrupos conjugados dentro de G : Recordando que G actúa transitivamente sobre P _j , se verifica que si _asigna P _j a P _j' ,. Por lo tanto, si G es un grupo abeliano, el elemento de Frobenius de un primo no ramificado P no depende de qué P _j tomemos. Además, en el caso abeliano, asociar un primo no ramificado de K a su Frobenius y extenderlo multiplicativamente define un homomorfismo del grupo de ideales no ramificados de K a G. Este mapa, conocido como mapa de Artin , es un ingrediente crucial de la teoría de campos de clases , que estudia las extensiones abelianas finitas de un campo numérico dado K. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$

En el análogo geométrico, para variedades complejas o geometría algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado , los conceptos de grupo de descomposición y grupo de inercia coinciden. Allí, dada una cobertura ramificada de Galois, todos los puntos, excepto un número finito, tienen el mismo número de preimágenes .

La división de números primos en extensiones que no son de Galois se puede estudiar utilizando inicialmente un campo de división , es decir, una extensión de Galois que sea algo mayor. Por ejemplo, los campos cúbicos suelen estar "regulados" por un campo de grado 6 que los contiene.

Ejemplo: los enteros gaussianos

Esta sección describe la división de ideales primos en la extensión de campo Q (i)/ Q . Es decir, tomamos K = Q y L = Q ₍ i), por lo que OK es simplemente Z , y O _L = Z [i] es el anillo de los enteros gaussianos . Aunque este caso está lejos de ser representativo (después de todo, Z [i] tiene factorización única y no hay muchos campos cuadráticos con factorización única ) exhibe muchas de las características de la teoría.

Al escribir G para el grupo de Galois de Q (i)/ Q y σ para el automorfismo de conjugación complejo en G , hay tres casos a considerar.

El primo p = 2

El primo 2 de Z se ramifica en Z [i]:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

Por lo tanto, el índice de ramificación aquí es e = 2. El campo de residuo es

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

que es el campo finito con dos elementos. El grupo de descomposición debe ser igual a todo G , ya que solo hay un primo de Z [i] por encima de 2. El grupo de inercia también es todo G , ya que

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

para cualquier número entero a y b , como . ${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

De hecho, 2 es el único primo que se ramifica en Z [i], ya que todo primo que se ramifica debe dividir al discriminante de Z [i], que es −4.

Primos p ≡ 1 mod 4

Cualquier primo p ≡ 1 mod 4 se divide en dos ideales primos distintos en Z [i]; esta es una manifestación del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . Por ejemplo:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

Los grupos de descomposición en este caso son ambos el grupo trivial {1}; de hecho, el automorfismo σ cambia los dos primos (2 + 3i) y (2 − 3i), por lo que no puede estar en el grupo de descomposición de ninguno de los primos. El grupo de inercia, al ser un subgrupo del grupo de descomposición, es también el grupo trivial. Hay dos campos de residuos, uno para cada primo,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

ambos isomorfos al campo finito con 13 elementos. El elemento de Frobenius es el automorfismo trivial; esto significa que

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

para cualquier número entero a y b .

Primos p ≡ 3 mod 4

Cualquier primo p ≡ 3 mod 4 permanece inerte en Z [i]; es decir, no se parte . Por ejemplo, (7) sigue siendo primo en Z [i]. En esta situación, el grupo de descomposición es todo G , nuevamente porque solo hay un factor primo. Sin embargo, esta situación difiere del caso p = 2, porque ahora σ no actúa trivialmente sobre el campo residual

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

que es el campo finito con 7 ² = 49 elementos. Por ejemplo, la diferencia entre 1 + i y σ(1 + i) = 1 − i es 2i, que ciertamente no es divisible por 7. Por lo tanto, el grupo de inercia es el grupo trivial {1}. El grupo de Galois de este campo residual sobre el subcampo Z /7 Z tiene orden 2 y es generado por la imagen del elemento Frobenius. El elemento de Frobenius no es otro que σ; esto significa que

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

para cualquier número entero a y b .

Resumen

Calcular la factorización

Supongamos que deseamos determinar la factorización de un ideal primo P _de OK en primos de O _L. El siguiente procedimiento (Neukirch, p. 47) resuelve este problema en muchos casos. La estrategia es seleccionar un número entero θ en O _L de modo que L se genere sobre K por θ (el teorema del elemento primitivo garantiza que tal θ existe ), y luego examinar el polinomio mínimo H ( X ) de θ sobre K ; es un polinomio mónico con coeficientes en O _K . Reduciendo los coeficientes de H ( X ) módulo _P , obtenemos un polinomio mónico h ( X ) con coeficientes en F , el campo de residuos (finito) OK / P . Supongamos que h ( X ) factoriza en el anillo polinómico F [ X ] como

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

donde los h _j son polinomios mónicos irreducibles distintos en F [ X ]. Entonces, siempre que P no sea uno de un número finito de primos excepcionales (la condición precisa se describe a continuación), la factorización de P tiene la siguiente forma:

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

donde los Q _j son ideales primos distintos de O _L . Además, el grado de inercia de cada Q _j es igual al grado del polinomio correspondiente h _j , y existe una fórmula explícita para el Q _j :

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

donde h _j denota aquí un levantamiento del polinomio h _j a K [ X ].

En el caso de Galois, los grados de inercia son todos iguales y los índices de ramificación e ₁ = ... = e _n son todos iguales.

Los primos excepcionales, para los cuales el resultado anterior no necesariamente se cumple, son aquellos que no son primos relativos con respecto al conductor del anillo O _K [θ]. El conductor se define como el ideal.

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

mide qué tan lejos está el orden O _K [θ] de ser el anillo completo de números enteros (orden máximo) O _L .

Una advertencia importante es que existen ejemplos de L / K y P tales que no hay ningún θ disponible que satisfaga las hipótesis anteriores (ver, por ejemplo, ^[2] ). Por lo tanto, el algoritmo proporcionado anteriormente no se puede utilizar para factorizar dicha P y se deben utilizar enfoques más sofisticados, como el que se describe en ^{[3] .}

Un ejemplo

Consideremos nuevamente el caso de los enteros gaussianos. Tomamos θ como la unidad imaginaria i , con polinomio mínimo H ( X ) = X ² + 1. Dado que Z [ ] es el anillo completo de números enteros de Q ( ), el conductor es la unidad ideal, por lo que no hay casos excepcionales. primos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

Para P = (2), necesitamos trabajar en el campo Z /(2) Z , lo que equivale a factorizar el polinomio X ² + 1 módulo 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Por lo tanto, existe un solo factor primo, con grado de inercia 1 e índice de ramificación 2, y viene dado por

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

El siguiente caso es para P = ( p ) para un primo p ≡ 3 mod 4. Para ser más concretos tomaremos P = (7). El polinomio X ² + 1 es irreducible módulo 7. Por lo tanto, solo existe un factor primo, con grado de inercia 2 e índice de ramificación 1, y viene dado por

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

El último caso es P = ( p ) para un primo p ≡ 1 mod 4; tomaremos nuevamente P = (13). Esta vez tenemos la factorización.

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Por lo tanto, existen dos factores primos, ambos con grado de inercia e índice de ramificación 1. Están dados por

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

y

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$

Ver también

• Teorema de densidad de Chebotarev

Referencias

1. Milne, JS (2020). Teoría de campos de clases.
2. Stein, William A. (2002). "Divisores discriminantes esenciales". Factorizar números primos en anillos de números enteros.
3. Stein 2002, Método que siempre funciona

enlaces externos

• "División y ramificación en campos numéricos y extensiones de Galois". PlanetMath .
• Stein, William (2004), Una breve introducción a la teoría de números algebraica clásica y adélica.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.