Conductor (teoría de anillos)

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el conductor es una medida de la distancia entre un anillo conmutativo y un anillo de extensión . En la mayoría de los casos, el anillo más grande es un dominio integralmente cerrado en su campo de fracciones y, en ese caso, el conductor mide la falla del anillo más pequeño en estar integralmente cerrado.

El conductor es de gran importancia en el estudio de órdenes no máximos en el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos . Una interpretación del conductor es que mide el fracaso de la factorización única en ideales primos .

Definición

Sean A y B anillos conmutativos y supongamos que A ⊆ B . El conductor ^[1] de A en B es el ideal

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Ann} _{A}(B/A).}$

Aquí B  / A se considera como un cociente de módulos A y Ann denota el aniquilador . Más concretamente, el conductor es el conjunto

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.}$

Debido a que el conductor se define como un aniquilador, es un ideal de A.

Si B es un dominio integral , entonces el conductor puede reescribirse como

${\displaystyle \{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},}$

donde se considera como un subconjunto del campo de fracciones de B . Es decir, si a es distinto de cero y está en el conductor, entonces todo elemento de B puede escribirse como una fracción cuyo numerador está en A y cuyo denominador es a . Por lo tanto, los elementos distintos de cero del conductor son aquellos que bastan como denominadores comunes al escribir elementos de B como cocientes de elementos de A . ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{a}}A}$

Supongamos que R es un anillo que contiene B . Por ejemplo, R podría ser igual a B , o B podría ser un dominio y R su campo de fracciones. Entonces, como 1 ∈ B , el conductor también es igual a

${\displaystyle \{r\in R:rB\subseteq A\}.}$

Propiedades elementales

El conductor es todo el anillo A si y sólo si contiene 1 ∈ A y, por tanto, si y sólo si A = B . En caso contrario, el conductor es un ideal propio de A .

Si el índice m = [ B  : A ] es finito, entonces mB ⊆ A , por lo que . En este caso, el conductor no es cero. Esto se aplica en particular cuando B es el anillo de números enteros en un cuerpo de números algebraicos y A es un orden (un subanillo para el cual B  / A es finito). ${\displaystyle m\in {\mathfrak {f}}(B/A)}$

El conductor es también un ideal de B , porque, para cualquier b en B y cualquier a en , baB ⊆ aB ⊆ A . De hecho, un ideal J de B está contenido en A si y sólo si J está contenido en el conductor. En efecto, para tal J , JB ⊆ J ⊆ A , por lo que por definición J está contenido en . A la inversa , el conductor es un ideal de A , por lo que cualquier ideal contenido en él está contenido en A . Este hecho implica que es el mayor ideal de A que es también un ideal de B . (Puede suceder que haya ideales de A contenidos en el conductor que no sean ideales de B .) ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

Supongamos que S es un subconjunto multiplicativo de A. Entonces

${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),}$

con igualdad en el caso de que B sea un módulo A finitamente generado .

Conductores de dominios de Dedekind

Algunas de las aplicaciones más importantes del conductor surgen cuando B es un dominio de Dedekind y B  / A es finito. Por ejemplo, B puede ser el anillo de números enteros de un cuerpo de números y A un orden no máximo. O bien, B puede ser el anillo de coordenadas afines de una curva proyectiva suave sobre un cuerpo finito y A el anillo de coordenadas afines de un modelo singular. El anillo A no tiene factorización única en ideales primos, y el fallo de la factorización única se mide por el conductor . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$

Los ideales coprimos del conductor comparten muchas de las propiedades agradables de los ideales en los dominios de Dedekind. Además, para estos ideales existe una correspondencia estrecha entre los ideales de B y los ideales de A :

• Los ideales de A que son primos entre sí tienen una factorización única en productos de ideales primos invertibles que son coprimos con el conductor. En particular, todos esos ideales son invertibles. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$
• Si I es un ideal de B que es primo relativo a , entonces I ∩ A es un ideal de A que es primo relativo a y el homomorfismo de anillo natural es un isomorfismo . En particular, I es primo si y solo si I ∩ A es primo. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle A/(I\cap A)\to B/I}$
• Si J es un ideal de A que es primo relativo con , entonces JB es un ideal de B que es primo relativo con y el homomorfismo de anillo natural es un isomorfismo. En particular, J es primo si y solo si JB es primo. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle A/J\to B/JB}$
• Las funciones y definen una biyección entre ideales de A relativamente primos a e ideales de B relativamente primos a . Esta biyección conserva la propiedad de ser primo. También es multiplicativa, es decir, y . ${\displaystyle I\mapsto I\cap A}$ ${\displaystyle J\mapsto JB}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(B/A)}$ ${\displaystyle (I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A}$ ${\displaystyle (JB)(J'B)=JJ'B}$

Todas estas propiedades fallan en general para ideales que no son coprimos con el conductor. Para ver algunas de las dificultades que pueden surgir, supongamos que J es un ideal distinto de cero de A y B (en particular, está contenido en el conductor, por lo tanto no es coprimo con él). Entonces J no puede ser un ideal fraccionario invertible de A a menos que A = B . Como B es un dominio de Dedekind, J es invertible en B , y por lo tanto

${\displaystyle \{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,}$

ya que podemos multiplicar ambos lados de la ecuación xJ ⊆ J por J ⁻¹ . Si J también es invertible en A , entonces se aplica el mismo razonamiento. Pero el lado izquierdo de la ecuación anterior no hace referencia a A o B , solo a su cuerpo de fracciones compartido, y por lo tanto A = B . Por lo tanto, ser un ideal tanto de A como de B implica no invertibilidad en A .

Conductores de cuerpos de números cuadráticos

Sea K una extensión cuadrática de Q , y sea O _K su anillo de enteros. Extendiendo 1 ∈ O _K a una base Z , vemos que cada orden O en K tiene la forma Z + cO _K para algún entero positivo c . El conductor de este orden es igual al ideal cO _K . De hecho, está claro que cO _K es un ideal de O _K contenido en O , por lo que está contenido en el conductor. Por otra parte, los ideales de O que contienen a cO _K son los mismos que los ideales del anillo cociente ( Z + cO _K ) /  cO _K . El último anillo es isomorfo a Z  /  c Z por el segundo teorema de isomorfismo , por lo que todos esos ideales de O son la suma de cO _K con un ideal de Z . Bajo este isomorfismo, el conductor aniquila a Z  /  c Z , por lo que debe ser c Z .

En este caso, el índice [ O _K  : O ] también es igual a c , por lo que para órdenes de cuerpos numéricos cuadráticos, el índice puede identificarse con el conductor. Esta identificación falla para cuerpos numéricos de grado superior.

Referencias

1. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa . Saltador. pag. 316.ISBN​ 0-387-19371-5.

Véase también

• Elemento integral