En teoría de campos , una rama de las matemáticas , el polinomio mínimo de un elemento α de un campo de extensión de un campo es, en términos generales, el polinomio de menor grado que tiene coeficientes en el campo más pequeño, de modo que α es una raíz del polinomio. Si existe el polinomio mínimo de α , es único. Se requiere que el coeficiente del término de mayor grado en el polinomio sea 1.
Más formalmente, un polinomio mínimo se define en relación con una extensión de campo E / F y un elemento del campo de extensión E / F . El polinomio mínimo de un elemento, si existe, es un miembro de F [ x ] , el anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en F . Dado un elemento α de E , sea J α el conjunto de todos los polinomios f ( x ) en F [ x ] tales que f ( α ) = 0 . El elemento α se llama raíz o cero de cada polinomio en J α
Más específicamente, J α es el núcleo del homomorfismo de anillo de F [ x ] a E que envía polinomios g a su valor g ( α ) en el elemento α . Debido a que es el núcleo de un homomorfismo de anillo, J α es un ideal del anillo de polinomios F [ x ]: es cerrado bajo la adición y resta de polinomios (por lo tanto, contiene el polinomio cero), así como bajo la multiplicación por elementos de F (que es multiplicación escalar si F [ x ] se considera como un espacio vectorial sobre F ).
El polinomio cero, cuyos coeficientes son todos 0, está en cada J α ya que 0 α i = 0 para todo α e i . Esto hace que el polinomio cero sea inútil para clasificar diferentes valores de α en tipos, por lo que se exceptúa. Si hay polinomios distintos de cero en J α , es decir, si este último no es el ideal cero, entonces α se llama elemento algebraico sobre F , y existe un polinomio mónico de menor grado en J α . Este es el polinomio mínimo de α con respecto a E / F . Es único e irreducible sobre F . Si el polinomio cero es el único miembro de J α , entonces α se llama elemento trascendental sobre F y no tiene polinomio mínimo con respecto a E / F .
Los polinomios mínimos son útiles para construir y analizar extensiones de campo. Cuando α es algebraico con polinomio mínimo f ( x ) , el campo más pequeño que contiene tanto a F como a α es isomorfo al anillo cociente F [ x ]/⟨ f ( x )⟩ , donde ⟨ f ( x )⟩ es el ideal de F [ x ] generado por f ( x ) . Los polinomios mínimos también se utilizan para definir elementos conjugados .
Sea E / F una extensión de cuerpo , α un elemento de E y F [ x ] el anillo de polinomios en x sobre F. El elemento α tiene un polinomio mínimo cuando α es algebraico sobre F , es decir, cuando f ( α ) = 0 para algún polinomio distinto de cero f ( x ) en F [ x ]. Entonces el polinomio mínimo de α se define como el polinomio mónico de menor grado entre todos los polinomios en F [ x ] que tienen a α como raíz.
A lo largo de esta sección, sea E / F una extensión de campo sobre F como se indicó anteriormente, sea α ∈ E un elemento algebraico sobre F y sea J α el ideal de polinomios que se desvanecen en α .
El polinomio mínimo f de α es único.
Para probar esto, supongamos que f y g son polinomios mónicos en J α de grado mínimo n > 0. Tenemos que r := f − g ∈ J α (porque este último es cerrado bajo adición/resta) y que m := deg( r ) < n (porque los polinomios son mónicos del mismo grado). Si r no es cero, entonces r / c m (escribiendo c m ∈ F para el coeficiente distinto de cero de mayor grado en r ) es un polinomio mónico de grado m < n tal que r / c m ∈ J α (porque este último es cerrado bajo multiplicación/división por elementos distintos de cero de F ), lo que contradice nuestra suposición original de minimalidad para n . Concluimos que 0 = r = f − g , es decir, que f = g .
El polinomio mínimo f de α es irreducible, es decir, no se puede factorizar como f = gh para dos polinomios g y h de grado estrictamente inferior.
Para demostrar esto, observemos primero que cualquier factorización f = gh implica que g ( α ) = 0 o h ( α ) = 0, porque f ( α ) = 0 y F es un cuerpo (por lo tanto también un dominio integral ). Elegir que g y h sean de grado estrictamente inferior a f contradeciría entonces el requisito de minimalidad de f , por lo que f debe ser irreducible.
El polinomio mínimo f de α genera el ideal J α , es decir, cada g en J α puede factorizarse como g=fh para algún h' en F [ x ].
Para demostrar esto, basta observar que F [ x ] es un dominio ideal principal , porque F es un cuerpo: esto significa que cada ideal I en F [ x ], J α entre ellos, es generado por un solo elemento f . Con la excepción del ideal cero I = {0}, el generador f debe ser distinto de cero y debe ser el único polinomio de grado mínimo, hasta un factor en F (porque el grado de fg es estrictamente mayor que el de f siempre que g sea de grado mayor que cero). En particular, hay un único generador mónico f , y todos los generadores deben ser irreducibles. Cuando se elige que I sea J α , para α algebraico sobre F , entonces el generador mónico f es el polinomio mínimo de α .
Dada una extensión del campo de Galois, el polinomio mínimo de cualquier no en se puede calcular como
Si no tiene estabilizadores en la acción de Galois. Como es irreducible, lo que se puede deducir al observar las raíces de , es el polinomio mínimo. Nótese que el mismo tipo de fórmula se puede encontrar reemplazando con donde es el grupo estabilizador de . Por ejemplo, si entonces su estabilizador es , por lo tanto es su polinomio mínimo.
Si F = Q , E = R , α = √ 2 , entonces el polinomio mínimo para α es a ( x ) = x 2 − 2. El cuerpo base F es importante ya que determina las posibilidades para los coeficientes de a ( x ). Por ejemplo, si tomamos F = R , entonces el polinomio mínimo para α = √ 2 es a ( x ) = x − √ 2 .
En general, para la extensión cuadrática dada por un cuadrático libre , el cálculo del polinomio mínimo de un elemento se puede encontrar utilizando la teoría de Galois. Luego
En particular, esto implica y . Esto se puede utilizar para determinar mediante una serie de relaciones utilizando aritmética modular .
Si α = √ 2 + √ 3 , entonces el polinomio mínimo en Q [ x ] es a ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 1 = ( x − √ 2 − √ 3 )( x + √ 2 − √ 3 )( x − √ 2 + √ 3 )( x + √ 2 + √ 3 ).
Observe si entonces la acción de Galois sobre estabiliza . Por lo tanto, el polinomio mínimo se puede encontrar utilizando el grupo cociente .
Los polinomios mínimos en Q [ x ] de raíces de la unidad son los polinomios ciclotómicos . Las raíces del polinomio mínimo de 2cos(2pi/n) son el doble de la parte real de las raíces primitivas de la unidad.
El polinomio mínimo en Q [ x ] de la suma de las raíces cuadradas de los primeros n números primos se construye de forma análoga y se denomina polinomio de Swinnerton-Dyer .
