Teorema fundamental de la aritmética

Los números enteros tienen factorizaciones primas únicas

En Disquisitiones Arithmeticae (1801) Gauss demostró el teorema de factorización única ^[1] y lo utilizó para demostrar la ley de reciprocidad cuadrática . ^[2]

En matemáticas , el teorema fundamental de la aritmética , también llamado teorema de factorización única y teorema de factorización prima , establece que todo número entero mayor que 1 puede representarse de forma única como un producto de números primos , hasta el orden de los factores. ^{[3] [4] [5]} Por ejemplo,

${\displaystyle 1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=\ldots }$

El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 se puede representar como un producto de primos, y segundo, que no importa cómo se haga esto, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro primo en el producto.

El requisito de que los factores sean primos es necesario: las factorizaciones que contienen números compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, ). ${\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4}$

Este teorema es una de las principales razones por las que 1 no se considera un número primo : si 1 fuera primo, entonces la factorización en primos no sería única; por ejemplo, ${\displaystyle 2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots }$

El teorema se generaliza a otras estructuras algebraicas que se denominan dominios de factorización única e incluyen dominios ideales principales , dominios euclidianos y anillos polinómicos sobre un cuerpo . Sin embargo, el teorema no se cumple para números enteros algebraicos . ^[6] Esta falla de la factorización única es una de las razones de la dificultad de la prueba del Último Teorema de Fermat . El uso implícito de la factorización única en anillos de números enteros algebraicos está detrás del error de muchas de las numerosas pruebas falsas que se han escrito durante los 358 años entre el enunciado de Fermat y la prueba de Wiles .

Historia

El teorema fundamental puede derivarse del Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y del Libro IX, proposición 14 de los Elementos de Euclides .

Si dos números al multiplicarse entre sí dan algún número, y cualquier número primo mide el producto, también medirá uno de los números originales.

—  Euclides, Elementos, Libro VII, Proposición 30

(En terminología moderna: si un primo p divide al producto ab , entonces p divide a a o b o a ambos.) La proposición 30 se conoce como el lema de Euclides y es la clave en la prueba del teorema fundamental de la aritmética.

Cualquier número compuesto se mide por algún número primo.

—  Euclides, Elementos, Libro VII, Proposición 31

(En terminología moderna: todo número entero mayor que uno es divisible exactamente por algún número primo.) La proposición 31 se demuestra directamente por descenso infinito .

Cualquier número es primo o se mide por algún número primo.

—  Euclides, Elementos, Libro VII, Proposición 32

La proposición 32 se deriva de la proposición 31 y demuestra que la descomposición es posible.

Si un número es el menor que se mide por números primos, no será medido por ningún otro número primo excepto aquellos que lo midieron originalmente.

—  Euclides, Elementos, Libro IX, Proposición 14

(En terminología moderna: un mínimo común múltiplo de varios números primos no es múltiplo de ningún otro número primo.) El Libro IX, proposición 14 se deriva del Libro VII, proposición 30, y prueba parcialmente que la descomposición es única, un punto señalado críticamente por André Weil . ^[7] De hecho, en esta proposición los exponentes son todos iguales a uno, por lo que no se dice nada para el caso general.

Mientras que Euclides dio el primer paso en el camino hacia la existencia de la factorización prima, Kamāl al-Dīn al-Fārisī dio el paso final ^[8] y enunció por primera vez el teorema fundamental de la aritmética. ^[9]

El artículo 16 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss es una declaración y prueba moderna temprana que emplea la aritmética modular . ^[1]

Aplicaciones

Representación canónica de un entero positivo

Todo entero positivo n > 1 se puede representar de exactamente una manera como producto de potencias primos.

${\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},}$

donde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son números primos y los n _i son números enteros positivos. Esta representación se extiende comúnmente a todos los números enteros positivos, incluido el 1, por la convención de que el producto vacío es igual a 1 (el producto vacío corresponde a k = 0 ).

Esta representación se denomina representación canónica ^[10] de n o forma estándar ^{[11] [12]} de n . Por ejemplo,

999 = 3 ³ × 37,

1000 = 2 ³ × 5 ³ ,

1001 = 7×11×13.

Se pueden insertar factores p ⁰ = 1 sin cambiar el valor de n (por ejemplo, 1000 = 2 ³ ×3 ⁰ ×5 ³ ). De hecho, cualquier entero positivo se puede representar de forma única como un producto infinito tomado sobre todos los números primos positivos, como

${\displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},}$

donde un número finito de los n _i son números enteros positivos y los demás son cero.

Permitir exponentes negativos proporciona una forma canónica para números racionales positivos .

Operaciones aritméticas

Las representaciones canónicas del producto, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de dos números a y b se pueden expresar simplemente en términos de las representaciones canónicas de a y b en sí mismas:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}}$

Sin embargo, la factorización de números enteros , especialmente de números grandes, es mucho más difícil que calcular productos, MCD o MCM, por lo que estas fórmulas tienen un uso limitado en la práctica.

Funciones aritméticas

Muchas funciones aritméticas se definen mediante la representación canónica. En particular, los valores de las funciones aditivas y multiplicativas se determinan mediante sus valores en potencias de números primos.

Prueba

La prueba utiliza el lema de Euclides ( Elementos VII, 30): si un primo divide el producto de dos números enteros, entonces debe dividir al menos uno de estos números enteros.

Existencia

Debe demostrarse que todo entero mayor que 1 es primo o producto de primos. Primero, 2 es primo. Luego, por inducción fuerte , supongamos que esto es cierto para todos los números mayores que 1 y menores que n . Si n es primo, no hay nada más que demostrar. De lo contrario, existen los números enteros a y b , donde n = ab y 1 < a ≤ b < n . Por la hipótesis de inducción, a = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _j y b = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _k son productos de primos. Pero entonces n = ab = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _j q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _k es un producto de primos.

Unicidad

Supongamos, por el contrario, que hay un entero que tiene dos factorizaciones primas distintas. Sea n el menor de esos enteros y escribamos n = p ₁ p ₂ ... p _j = q ₁ q ₂ ... q _k , donde cada p _i y q _i son primos. Vemos que p ₁ divide a q ₁ q ₂ ... q _k , por lo que p ₁ divide a algún q _i por el lema de Euclides . Sin pérdida de generalidad, digamos que p ₁ divide a q ₁ . Como p ₁ y q ₁ son ambos primos, se sigue que p ₁ = q ₁ . Volviendo a nuestras factorizaciones de n , podemos cancelar estos dos factores para concluir que p ₂ ... p _j = q ₂ ... q _k . Ahora tenemos dos factorizaciones primas distintas de algún entero estrictamente menor que n , lo que contradice la minimalidad de n .

Unicidad sin el lema de Euclides

El teorema fundamental de la aritmética también se puede demostrar sin utilizar el lema de Euclides. ^[13] La prueba que sigue está inspirada en la versión original de Euclides del algoritmo euclidiano .

Supongamos que es el entero positivo más pequeño que es el producto de números primos de dos maneras diferentes. Por cierto, esto implica que , si existe, debe ser un número compuesto mayor que . Ahora, digamos ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}$

Cada uno debe ser distinto de cada uno. De lo contrario, si, por ejemplo , entonces existiría algún entero positivo que es menor que s y tiene dos factorizaciones primas distintas. También se puede suponer que intercambiando las dos factorizaciones, si es necesario. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{j}.}$ ${\displaystyle p_{i}=q_{j},}$ ${\displaystyle t=s/p_{i}=s/q_{j}}$ ${\displaystyle p_{1}<q_{1},}$

Configuración y uno tiene Además, dado que uno tiene Entonces se deduce que ${\displaystyle P=p_{2}\cdots p_{m}}$ ${\displaystyle Q=q_{2}\cdots q_{n},}$ ${\displaystyle s=p_{1}P=q_{1}Q.}$ ${\displaystyle p_{1}<q_{1},}$ ${\displaystyle Q<P.}$

${\displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q)<s.}$

Como se ha supuesto que los números enteros positivos menores que s tienen una factorización prima única, debe ocurrir en la factorización de o Q . El último caso es imposible, ya que Q , al ser menor que s , debe tener una factorización prima única y difiere de cada El primer caso también es imposible, ya que, si es un divisor de debe ser también un divisor de lo cual es imposible ya que y son primos distintos. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}-p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle q_{j}.}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}-p_{1},}$ ${\displaystyle q_{1},}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}}$

Por lo tanto, no puede existir un entero más pequeño con más de una factorización prima distinta. Todo entero positivo debe ser un número primo en sí mismo, que se factorizaría de forma única, o un compuesto que también se factorice de forma única en primos, o en el caso del entero , no factorizarse en ningún primo. ${\displaystyle 1}$

Generalizaciones

La primera generalización del teorema se encuentra en la segunda monografía de Gauss (1832) sobre reciprocidad bicuadrática . Este artículo introdujo lo que ahora se llama el anillo de los números enteros gaussianos , el conjunto de todos los números complejos a + bi donde a y b son números enteros. Ahora se denota por Demostró que este anillo tiene las cuatro unidades ±1 y ± i , que los números distintos de cero, no unitarios se dividen en dos clases, primos y compuestos, y que (excepto por el orden), los compuestos tienen factorización única como producto de primos ( hasta el orden y la multiplicación por unidades). ^[14] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$

De manera similar, en 1844, mientras trabajaba en la reciprocidad cúbica , Eisenstein introdujo el anillo , donde es una raíz cúbica de la unidad . Este es el anillo de los números enteros de Eisenstein , y demostró que tiene seis unidades y que tiene factorización única. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\textstyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},}$   ${\displaystyle \omega ^{3}=1}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}}$

Sin embargo, también se descubrió que la factorización única no siempre se cumple. Un ejemplo lo da . En este anillo se tiene ^[15] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$

Ejemplos como este hicieron que se modificara la noción de "primo". En se puede probar que si alguno de los factores anteriores se puede representar como un producto, por ejemplo, 2 = ab , entonces uno de a o b debe ser una unidad. Esta es la definición tradicional de "primo". También se puede probar que ninguno de estos factores obedece al lema de Euclides; por ejemplo, 2 no divide ni a (1 + √ −5 ) ni a (1 − √ −5 ) aunque divida su producto 6. En la teoría de números algebraicos, 2 se llama irreducible en (solo divisible por sí mismo o una unidad) pero no primo en (si divide un producto debe dividir uno de los factores). La mención de es necesaria porque 2 es primo e irreducible en Usando estas definiciones se puede probar que en cualquier dominio integral un primo debe ser irreducible. El lema clásico de Euclides se puede reformular como "en el anillo de los números enteros, todo irreducible es primo". Esto también es cierto en y pero no en ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ],}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].}$

Los anillos en los que la factorización en irreducibles es esencialmente única se denominan dominios de factorización únicos . Ejemplos importantes son los anillos polinómicos sobre los números enteros o sobre un cuerpo , los dominios euclidianos y los dominios de ideales principales .

En 1843, Kummer introdujo el concepto de número ideal , que fue desarrollado por Dedekind (1876) en la teoría moderna de ideales , subconjuntos especiales de anillos. La multiplicación se define para los ideales, y los anillos en los que tienen factorización única se denominan dominios de Dedekind .

Existe una versión de factorización única para ordinales , aunque requiere algunas condiciones adicionales para garantizar la unicidad.

Todo monoide de Möbius conmutativo satisface un teorema de factorización única y, por lo tanto, posee propiedades aritméticas similares a las del semigrupo multiplicativo de números enteros positivos. El teorema fundamental de la aritmética es, de hecho, un caso especial del teorema de factorización única en los monoides de Möbius conmutativos.

Véase también

• Factorización de enteros  : descomposición de un número en un producto
• Firma prima  : conjunto múltiple de exponentes primos en una factorización prima

Notas

1. Gauss (1986, art. 16)
2. Gauss (1986, art. 131)
3. Largo (1972, pág. 44)
4. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 53)
5. Hardy y Wright (2008, Tesis 2)
6. En un anillo de números enteros algebraicos , la factorización en elementos primos puede no ser única, pero se puede recuperar una factorización única si se factoriza en ideales .
7. Weil (2007, p. 5): "Incluso en Euclides, no encontramos una afirmación general sobre la unicidad de la factorización de un número entero en primos; seguramente él pudo haber sido consciente de ello, pero todo lo que tiene es una afirmación (Euclídea.IX.I4) sobre el mcm de cualquier número de primos dados".
8. A. Goksel Agargun y E. Mehmet Özkan. "Un estudio histórico del teorema fundamental de la aritmética" (PDF) . Historia Mathematica : 209. Se podría decir que Euclides da el primer paso en el camino hacia la existencia de la factorización prima, y ​​al-Farisi da el paso final al demostrar realmente la existencia de una factorización prima finita en su primera proposición.
9. Rashed, Roshdi (11 de septiembre de 2002). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe. Routledge. pág. 385. ISBN 9781134977246El famoso físico y matemático Kamal al-Din al-Farisi redactó un artículo en el que se propuso deliberadamente demostrar el teorema de Ibn Qurra de forma algebraica. Esto lo obligó a comprender las primeras funciones aritméticas y a una preparación completa que lo llevó a enunciar por primera vez el teorema fundamental de la aritmética.
10. Largo (1972, pág. 45)
11. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 55)
12. Hardy y Wright (2008, § 1.2)
13. Dawson, John W. (2015), ¿Por qué demostrarlo de nuevo? Pruebas alternativas en la práctica matemática. , Springer, pág. 45, ISBN 9783319173689
14. Gauss, BQ, §§ 31–34
15. Hardy y Wright (2008, § 14.6)

Referencias

Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus trabajos sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Segunda edición corregida), traducido por Clarke, Arthur A., ​​Nueva York: Springer , ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (Segunda edición) (en alemán), traducido por Maser, H., Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1–23 y la segunda los §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos tienen la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estas se encuentran en las Obras de Gauss , vol. II, págs. 65-92 y 93-148; las traducciones alemanas son las págs. 511-533 y 534-586 de la edición alemana de las Disquisitiones .

• Euclides (1956), Los trece libros de los Elementos , vol. 2 (Libros III-IX), Traducido por Thomas Little Heath (Segunda edición íntegra), Nueva York: Dover , ISBN 978-0-486-60089-5
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938], Introducción a la teoría de números , Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-921986-5, MR  2445243, Zbl  1159.11001
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766.
• Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para factorización (segunda edición) , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
• Weil, André (2007) [1984], Teoría de números: una aproximación a través de la historia desde Hammurabi hasta Legendre , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6

Enlaces externos

• ¿Por qué no es obvio el teorema fundamental de la aritmética?
• MCD y el Teorema Fundamental de la Aritmética en cut-the-knot .
• PlanetMath: Demostración del teorema fundamental de la aritmética
• Blog del Último Teorema de Fermat: Factorización Única, un blog que cubre la historia del Último Teorema de Fermat desde Diofanto de Alejandría hasta la prueba de Andrew Wiles .
• "Teorema fundamental de la aritmética" de Héctor Zenil, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Grime, James, "1 y números primos", Numberphile , Brady Haran , archivado desde el original el 2021-12-11