Reciprocidad cuartica

Colección de teoremas en teoría de números sobre cuándo la congruencia x⁴ ≡ p (mod q) es solucionable

La reciprocidad cuártica o bicuadrática es una colección de teoremas de la teoría de números elemental y algebraica que establecen las condiciones bajo las cuales la congruencia x ⁴ ≡ p (mod q ) es solucionable; La palabra "reciprocidad" proviene de la forma de algunos de estos teoremas, en el sentido de que relacionan la solubilidad de la congruencia x ⁴ ≡ p (mod q ) con la de x ⁴ ≡ q (mod p ).

Historia

Euler hizo las primeras conjeturas sobre la reciprocidad bicuadrática. ^[1] Gauss publicó dos monografías sobre la reciprocidad bicuadrática. En el primero (1828) demostró la conjetura de Euler sobre el carácter bicuadrático de 2. En el segundo (1832) estableció la ley de reciprocidad bicuadrática para los enteros gaussianos y demostró las fórmulas suplementarias. Dijo ^[2] que se publicaría una tercera monografía con la demostración del teorema general, pero nunca apareció. Jacobi presentó pruebas en sus conferencias de Königsberg de 1836-1837. ^[3] Las primeras pruebas publicadas fueron de Eisenstein. ^{[4] [5] [6] [7]}

Desde entonces se han encontrado otras pruebas de la versión clásica (gaussiana), ^[8] así como afirmaciones alternativas. Lemmermeyer afirma que ha habido una explosión de interés en las leyes de reciprocidad racional desde la década de 1970. ^{[A] [9]}

Enteros

Un residuo cuártico o bicuadrático (mod p ) es cualquier número congruente a la cuarta potencia de un número entero (mod p ). Si x ⁴ ≡ a (mod p ) no tiene una solución entera, a es un no residuo cuártico o bicuadrático (mod p ). ^[10]

Como suele ser el caso en teoría de números, es más fácil trabajar con números primos en módulo, por lo que en esta sección se supone que todos los módulos p , q , etc., son primos positivos e impares. ^[10]

Gauss

Lo primero que hay que notar cuando se trabaja dentro del anillo Z de números enteros es que si el número primo q es ≡ 3 (mod 4), entonces un residuo r es un residuo cuadrático (mod q ) si y sólo si es un residuo bicuadrático (mod q ). De hecho, el primer suplemento de la reciprocidad cuadrática establece que −1 es un no residuo cuadrático (mod q ), de modo que para cualquier número entero x , uno de x y −x es un residuo cuadrático y el otro es un no residuo. Por lo tanto, si r ≡ a ² (mod q ) es un residuo cuadrático, entonces si a ≡ b ² es un residuo, r ≡ a ² ≡ b ⁴ (mod q ) es un residuo bicuadrático, y si a es un no residuo, − a es un residuo, − a ≡ b ² , y nuevamente, r ≡ (− a ) ² ≡ b ⁴ (mod q ) es un residuo bicuadrático. ^[11]

Por tanto, el único caso interesante es cuando el módulo p ≡ 1 (mod 4).

Gauss demostró ^[12] que si p ≡ 1 (mod 4), entonces las clases de residuos distintos de cero (mod p ) se pueden dividir en cuatro conjuntos, cada uno de los cuales contiene ( p −1)/4 números. Sea e un no residuo cuadrático. El primer conjunto son los residuos cuárticos; el segundo es e multiplicado por los números del primer conjunto, el tercero es e ² multiplicado por los números del primer conjunto y el cuarto es e ³ multiplicado por los números del primer conjunto. Otra forma de describir esta división es dejar que g sea una raíz primitiva (mod p ); entonces el primer conjunto son todos los números cuyos índices con respecto a esta raíz son ≡ 0 (mod 4), el segundo conjunto son todos aquellos cuyos índices son ≡ 1 (mod 4), etc. ^[13] En el vocabulario de la teoría de grupos , el primer conjunto es un subgrupo del índice 4 (del grupo multiplicativo Z /p Z ^× ), y los otros tres son sus clases laterales.

El primer conjunto son los residuos bicuadráticos, el tercer conjunto son los residuos cuadráticos que no son residuos cuárticos y el segundo y cuarto conjuntos son los no residuos cuadráticos. Gauss demostró que −1 es un residuo bicuadrático si p ≡ 1 (mod 8) y un residuo cuadrático, pero no bicuadrático, cuando p ≡ 5 (mod 8). ^[14]

2 es un residuo cuadrático mod p si y sólo si p ≡ ±1 (mod 8). Dado que p también es ≡ 1 (mod 4), esto significa p ≡ 1 (mod 8). Cada uno de esos primos es la suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado. ^[15]

Gauss demostró ^[14]

Sea q = a ² + 2 b ² ≡ 1 (mod 8) un número primo. Entonces

2 es un residuo bicuadrático (mod q ) si y sólo si a ≡ ±1 (mod 8), y

2 es un residuo cuadrático, pero no bicuadrático (mod q ) si y sólo si a ≡ ±3 (mod 8).

Todo primo p ≡ 1 (mod 4) es la suma de dos cuadrados. ^[16] Si p = a ² + b ² donde a es impar y b es par, Gauss demostró ^[17] que

2 pertenece a la primera clase (respectivamente segunda, tercera o cuarta) definida anteriormente si y sólo si b ≡ 0 (resp. 2, 4 o 6) (mod 8). El primer caso de esto es una de las conjeturas de Euler:

2 es un residuo bicuadrático de un primo p ≡ 1 (mod 4) si y sólo si p = a ² + 64 b ² .

Dirichlet

Para un número primo impar p y un residuo cuadrático a (mod p ), el criterio de Euler establece que si p ≡ 1 (mod 4), ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},}$ ${\displaystyle a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

Defina el símbolo del residuo cuártico racional para el primo p ≡ 1 (mod 4) y el residuo cuadrático a (mod p ) como Es fácil demostrar que a es un residuo bicuadrático (mod p ) si y solo si ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.}$ ${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.}$

Dirichlet ^[18] simplificó la prueba de Gauss del carácter bicuadrático de 2 (su prueba sólo requiere reciprocidad cuadrática para los números enteros) y expresó el resultado de la siguiente forma:

Sea p = a ² + b ² ≡ 1 (mod 4) ser primo, y sea i ≡ b / a (mod p ). Entonces

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.}$     (Tenga en cuenta que i ² ≡ −1 (mod p ).)

De hecho, ^[19] sea p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² = e ² − 2 f ² ≡ 1 (mod 8) ser primo, y supongamos que a es impar. Entonces

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},}$   ¿ Dónde está el símbolo ordinario de Legendre ? ${\displaystyle ({\tfrac {x}{q}})}$

Yendo más allá del carácter de 2, sea el primo p = a ² + b ² donde b es par, y sea q un primo tal que la reciprocidad cuadrática diga que donde Sea σ ² ≡ p (mod q ). Entonces ^[20] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$ ${\displaystyle ({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,}$ ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.}$Esto implica ^[21] que

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}}$

Los primeros ejemplos son: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}}$

Euler había conjeturado las reglas para 2, −3 y 5, pero no demostró ninguna de ellas.

Dirichlet ^[23] también demostró que si p ≡ 1 (mod 4) es primo y entonces ${\displaystyle ({\tfrac {17}{p}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}}$

Brown y Lehmer lo han ampliado de 17 a 17, 73, 97 y 193. ^[24]

burde

Hay varias formas equivalentes de enunciar la ley de reciprocidad bicuadrática racional de Burde.

Todos suponen que p = a ² + b ² y q = c ² + d ² son primos donde b y d son pares, y que ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$

La versión de Gosset es ^[9]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.}$

Considerando i ² ≡ −1 (mod p ) y j ² ≡ −1 (mod q ), la ley de Frölich es ^[25]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.}$

Burde declaró el suyo en la forma: ^{[26] [27] [28]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.}$

Tenga en cuenta que ^[29]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.}$

Miscelánea

Sean p ≡ q ≡ 1 (mod 4) primos y supongamos . Entonces e ² = pf ² + qg ² tiene soluciones enteras no triviales, y ^[30] ${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).}$

Sean p ≡ q ≡ 1 (mod 4) primos y supongamos p = r ² + qs ² . Entonces ^[31]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.}$

Sea p = 1 + 4 x ² un número primo, sea a cualquier número impar que divida a x y sea entonces ^[32] a ^* es un residuo bicuadrático (mod p ). ${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.}$

Sea p = a ² + 4 b ² = c ² + 2 d ² ≡ 1 (mod 8) ser primo. Entonces ^[33] todos los divisores de c ⁴ − pa ² son residuos bicuadráticos (mod p ). Lo mismo ocurre con todos los divisores de d ⁴ − pb ² .

Enteros gaussianos

Fondo

En su segunda monografía sobre la reciprocidad bicuadrática, Gauss muestra algunos ejemplos y hace conjeturas que implican los teoremas enumerados anteriormente para el carácter bicuadrático de los números primos pequeños. Hace algunas observaciones generales y admite que no existe una regla general obvia en funcionamiento. Él continúa diciendo

Los teoremas sobre los residuos bicuadráticos brillan con la mayor simplicidad y genuina belleza sólo cuando el campo de la aritmética se extiende a los números imaginarios , de modo que, sin restricción, los números de la forma a + bi constituyen el objeto de estudio... a tales números los llamamos números complejos integrales . ^[34] [negrita en el original]

Estos números ahora se denominan anillo de enteros gaussianos , denotados por Z [ i ]. Tenga en cuenta que i es una raíz cuarta de 1.

En una nota a pie de página añade

La teoría de los residuos cúbicos debe basarse de manera similar en una consideración de números de la forma a + bh donde h es una raíz imaginaria de la ecuación h ³ = 1 ... y de manera similar la teoría de los residuos de potencias superiores conduce a la introducción de otras cantidades imaginarias. ^[35]

Los números formados a partir de una raíz cúbica de la unidad ahora se denominan anillo de enteros de Eisenstein . Las "otras cantidades imaginarias" necesarias para la "teoría de los residuos de potencias superiores" son los anillos de números enteros de los campos numéricos ciclotómicos ; los enteros gaussianos y de Eisenstein son los ejemplos más simples de estos.

Hechos y terminología

Gauss desarrolla la teoría aritmética de los "números complejos integrales" y demuestra que es bastante similar a la aritmética de los números enteros ordinarios. ^[36] Aquí es donde se introdujeron en las matemáticas los términos unidad, asociado, norma y primario.

Las unidades son los números que dividen a 1. ^[37] Son 1, i , −1 y −i . Son similares a 1 y −1 en los números enteros ordinarios, en que dividen cada número. Las unidades son las potencias de i .

Dado un número λ = a + bi , su conjugado es a − bi y sus asociados son los cuatro números ^[37]

   λ = + a + bi

  yo λ = − b + ai

 −λ = − a − bi

− yo λ = + segundo − ai

Si λ = a + bi , la norma de λ, escrita Nλ, es el número a ² + b ² . Si λ y μ son dos enteros gaussianos, Nλμ = Nλ Nμ; en otras palabras, la norma es multiplicativa. ^[37] La ​​norma del cero es cero, la norma de cualquier otro número es un entero positivo. ε es una unidad si y sólo si Nε = 1. La raíz cuadrada de la norma de λ, un número real no negativo que puede no ser un entero gaussiano, es el valor absoluto de lambda.

Gauss demuestra que Z [ i ] es un dominio de factorización único y muestra que los números primos se dividen en tres clases: ^[38]

• 2 es un caso especial: 2 = i ³ (1 + i ) ² . Es el único primo en Z divisible por el cuadrado de un primo en Z [ i ]. En teoría algebraica de números, se dice que 2 se ramifica en Z [ i ].
• Los primos positivos en Z ≡ 3 (mod 4) también son primos en Z [ i ]. En teoría algebraica de números, se dice que estos primos permanecen inertes en Z [ i ].
• Los primos positivos en Z ≡ 1 (mod 4) son el producto de dos primos conjugados en Z [ i ]. En teoría algebraica de números, se dice que estos primos se dividen en Z [ i ].

Así, los primos inertes son 3, 7, 11, 19, ... y una factorización de los primos divididos es

 5 = (2 + yo ) × (2 - yo ),

13 = (2 + 3 yo ) × (2 - 3 yo ),

17 = (4 + yo ) × (4 - yo ),

29 = (2 + 5 yo ) × (2 - 5 yo ), ...

Los asociados y conjugados de un primo también son primos.

Tenga en cuenta que la norma de un primo inerte q es N q = q ² ≡ 1 (mod 4); por tanto, la norma de todos los primos distintos de 1 + i y sus asociados es ≡ 1 (mod 4).

Gauss llama impar a un número en Z [ i ] si su norma es un entero impar. ^[39] Por lo tanto, todos los primos excepto 1 + i y sus asociados son impares. El producto de dos números impares es impar y los conjugados y asociados de un número impar son impares.

Para enunciar el teorema de factorización única, es necesario tener una forma de distinguir uno de los asociados de un número. Gauss define ^[40] un número impar como primario si es ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). Es sencillo demostrar que todo número impar tiene exactamente un asociado principal. Un número impar λ = a + bi es primario si a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4); es decir, a ≡ 1 y b ≡ 0, o a ≡ 3 y b ≡ 2 (mod 4). ^[41] El producto de dos números primarios es primario y el conjugado de un número primario también es primario.

El teorema de factorización única ^[42] para Z [ i ] es: si λ ≠ 0, entonces

${\displaystyle \lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

donde 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, los π _i s son primos primarios y los α _i s ≥ 1, y esta representación es única, hasta el orden de los factores.

Las nociones de congruencia ^[43] y máximo común divisor ^[44] se definen de la misma manera en Z [ i ] que para los números enteros ordinarios Z . Debido a que las unidades dividen todos los números, una congruencia (mod λ) también es verdadera módulo cualquier asociado de λ, y cualquier asociado de un MCD también es un MCD.

Carácter de residuo cuártico

Gauss demuestra el análogo del teorema de Fermat : si α no es divisible por un primo impar π, entonces ^[45]

${\displaystyle \alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}$

Dado que Nπ ≡ 1 (mod 4), tiene sentido, y para una unidad única i ^k . ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}}$ ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}}$

Esta unidad se llama carácter de residuo cuartico o bicuadrático de α (mod π) y se denota por ^{[46] [47]}

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.}$

Tiene propiedades formales similares a las del símbolo de Legendre . ^[48]

La congruencia       tiene solución en Z [ i ] si y sólo si    ^[49] ${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}}$     donde la barra denota conjugación compleja .

si π y θ son asociados,    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}}$

si α ≡ β (mod π),    ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

El carácter bicuadrático se puede extender a números compuestos impares en el "denominador" de la misma manera que el símbolo de Legendre se generaliza en el símbolo de Jacobi . Como en ese caso, si el "denominador" es compuesto, el símbolo puede ser igual a uno sin que la congruencia tenga solución:

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots }$   dónde    ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

Si a y b son números enteros ordinarios, a ≠ 0, | segundo | > 1, mcd( a , b ) = 1, entonces ^[50]    ${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]=1.}$

Declaraciones del teorema

Gauss enunció la ley de la reciprocidad bicuadrática de esta forma: ^{[2] [51]}

Sean π y θ primos primarios distintos de Z [ i ]. Entonces

si π o θ o ambos son ≡ 1 (mod 4), entonces pero ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],}$

si tanto π como θ son ≡ 3 + 2 i (mod 4), entonces ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].}$

Así como la ley de reciprocidad cuadrática del símbolo de Legendre también es válida para el símbolo de Jacobi, el requisito de que los números sean primos no es necesario; basta con que sean no unidades impares relativamente primos. ^[52] Probablemente la declaración más conocida es:

Sean π y θ no unidades primarias relativamente primas. Entonces ^[53]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Existen teoremas complementarios ^{[54] [55]} para las unidades y el primo semipar 1 + i .

si π = a + bi es un primo primario, entonces

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.}$

Además, si π = a + bi es un primo primario y b ≠ 0 entonces ^[56]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}}$   (si b = 0 el símbolo es 0).

Jacobi definió π = a + bi como primario si a ≡ 1 (mod 4). Con esta normalización, la ley toma la forma ^[57]

Sean α = a + bi y β = c + di donde a ≡ c ≡ 1 (mod 4) y b y d son incluso no unidades relativamente primas. Entonces

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}}$

La siguiente versión se encontró en los manuscritos inéditos de Gauss. ^[58]

Sean α = a + 2 bi y β = c + 2 di donde a y c son impares y no son unidades relativamente primas. Entonces

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}}$

La ley se puede enunciar sin utilizar el concepto de primaria:

Si λ es impar, sea ε(λ) la única unidad congruente con λ (mod (1 + i ) ³ ); es decir, ε(λ) = i ^k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), donde 0 ≤ k ≤ 3. Entonces ^[59] para α y β impares y relativamente primos, ninguno de los dos es una unidad,

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}}$

Para λ impar, sea Entonces, si λ y μ son no unidades relativamente primas, demostró Eisenstein ^[60] ${\displaystyle \lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.}$

Ver también

• Reciprocidad cuadrática
• Reciprocidad cúbica
• Reciprocidad óctica
• Reciprocidad de Eisenstein
• Artin reciprocidad

Notas

• R. ^ Aquí, "racional" significa leyes que se expresan en términos de números enteros ordinarios en lugar de en términos de números enteros de algún campo numérico algebraico .

Referencias

1. Euler, Tractatus , § 456
2. Gauss, BQ, § 67
3. Lemmermeyer, pag. 200
4. Eisenstein, Lois de reciprocidad
5. Eisenstein, Einfacher Beweis ...
6. Eisenstein, Aplicación del álgebro ...
7. Eisenstein, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
8. Lemmermeyer, págs. 199-202
9. Lemmermeyer, pág. 172
10. Gauss, BQ § 2
11. Gauss, BQ § 3
12. Gauss, BQ §§ 4-7
13. Gauss, BQ § 8
14. Gauss, BQ § 10
15. Gauss, DA Arte. 182
16. Gauss, DA, arte. 182
17. Gauss BQ §§ 14-21
18. Dirichlet, Demostración ...
19. Lemmermeyer, Proposición 5.4
20. Lemmermeyer, Proposición 5.5
21. Lemmermeyer, ej. 5.6
22. Lemmmermeyer, páginas 159, 190
23. Dirichlet, Untersuchungen ...
24. Lemmermeyer, ej. 5.19
25. Lemmermeyer, pag. 173
26. Lemmermeyer, pag. 167
27. Irlanda y Rosen págs. 128-130
28. Burde, K. (1969). "Ein racionales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 235 : 175–184. Zbl  0169.36902.
29. Lemmermeyer, ej. 5.13
30. Lemmermeyer, ej. 5.5
31. Lemmermeyer, ej. 5.6, acreditado a Brown
32. Lemmermeyer, ej. 6,5, acreditado a Sharifi
33. Lemmermeyer, ej. 6.11, acreditado a E. Lehmer
34. Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 83
35. Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 84
36. Gauss, BQ, §§ 30 a 55
37. Gauss, BQ, § 31
38. Gauss, BQ, §§ 33-34
39. Gauss, BQ, § 35. Define los números "semipares" como aquellos divisibles por 1 + i pero no por 2, y los números "pares" como los divisibles por 2.
40. Gauss, BQ, § 36
41. Irlanda y Rosen, cap. 9.7
42. Gauss, BQ, § 37
43. Gauss, BQ, §§ 38-45
44. Gauss, BQ, §§ 46-47
45. Gauss, BQ, § 51
46. Gauss definió el carácter como el exponente k en lugar de la unidad i ^k ; Además, no tenía ningún símbolo para el personaje.
47. No existe una notación estándar para caracteres de residuos superiores en diferentes dominios (ver Lemmermeyer, p. xiv); este artículo sigue a Lemmermeyer, caps. 5–6
48. Irlanda y Rosen, Proposición 9.8.3
49. Gauss, BQ, § 61
50. Irlanda y Rosen, Proposición 9.8.3, Lemmermeyer, Proposición 6.8
51. las pruebas están en Lemmermeyer, caps. 6 y 8, Irlanda y Rosen, cap. 9,7–9,10
52. Lemmermeyer, Th. 69.
53. Lemmermeyer, cap. 6, Irlanda y Rosen cap. 9,7–9,10
54. Lemmermeyer, Th. 6,9; Irlanda y Rosen, ex. 9,32–9,37
55. Gauss demuestra la ley de 1 + i en BQ, §§ 68-76
56. Irlanda y Rosen, ej. 9.30; Lemmermeyer, ej. 6.6, donde se acredita a Jacobi
57. Lemmermeyer, Th. 6.9
58. Lemmermeyer, ej. 6.17
59. Lemmermeyer, ej. 6.18 y pág. 275
60. Lemmermeyer, cap. 8.4, ej. 8.19

Literatura

Las referencias a los artículos originales de Euler, Dirichlet y Eisenstein fueron copiadas de las bibliografías de Lemmermeyer y Cox y no se utilizaron en la preparación de este artículo.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Comentario. Aritmética. 2

En realidad, esto se escribió entre 1748 y 1750, pero sólo se publicó póstumamente; Está en el volumen V, págs. 182-283 de

• Euler, Leonhard (1911-1944), Opera Omnia, Serie prima, Vols I-V , Leipzig y Berlín: Teubner

Gauss

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1 a 23 y la segunda, los §§ 24 a 76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos tienen la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estos se encuentran en Werke de Gauss , volumen II, págs. 65–92 y 93–148.

Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 de lo siguiente, que también contiene las Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos de Gauss sobre teoría de números.

• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (Segunda edición) , traducido por Maser, H., Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Eisenstein

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), "Lois de réciprocité", Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) , J. Reine Angew. Matemáticas. 28, págs. 53–67 (Diario de Crelle), 1844 (28): 53–67, doi :10.1515/crll.1844.28.53, S2CID  120713971

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Matemáticas. 28 págs. 223–245 (Diario de Crelle)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Aplicación de l'algèbre à l'arithmétique trascendentante , J. Reine Angew. Matemáticas. 29 págs. 177–184 (Diario de Crelle)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln , J. Reine Angew. Matemáticas. 30 págs. 185-210 (Diario de Crelle)

Todos estos artículos están en el volumen I de su Werke .

Dirichlet

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , J. Reine Angew. Matemáticas. 9 págs. 379–389 (Diario de Crelle)

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen , Abh. Königl. Preuss. Akád. Wiss. págs. 101-121

ambos están en el volumen I de su Werke .

Autores modernos

• Cox, David A. (1989), Primos de la forma x ² + ny ² , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Introducción clásica a la teoría de números moderna (Segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer, doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de reciprocidad bicuadrática". MundoMatemático .

Estos dos artículos de Franz Lemmermeyer contienen pruebas de la ley de Burde y resultados relacionados:

• Reciprocidad cuártica racional
• Reciprocidad Cuártica Racional II