Reciprocidad óctica

Ley de reciprocidad que relaciona los residuos de potencias octavas módulo primos

En teoría de números , la reciprocidad óctica es una ley de reciprocidad que relaciona los residuos de octavas potencias módulo primos , análoga a la ley de reciprocidad cuadrática , reciprocidad cúbica y reciprocidad cuártica .

Existe una ley de reciprocidad racional para potencias octavas, debida a Williams. Definamos el símbolo como +1 si x es una potencia k -ésima módulo el primo p y -1 en caso contrario. Sean p y q primos distintos congruentes con 1 módulo 8, tales que Sea p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² y q = A ² + B ² = C ² + 2 D ² , con aA impar. Entonces ${\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{4}=\left({\frac {q}{p}}\right)_{4}=+1.}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{8}\left({\frac {q}{p}}\right)_{8}=\left({\frac {aB-bA}{q}}\right)_{4}\left({\frac {cD-dC}{q}}\right)_{2}\ .}$

Véase también

• Reciprocidad de Artin
• Reciprocidad de Eisenstein

Referencias

• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlín, págs. 289–316, ISBN 3-540-66957-4, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Williams, Kenneth S. (1976), "Una ley de reciprocidad óctica racional", Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563–570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN  0030-8730, MR  0414467, Zbl  0311.10004