Ley de reciprocidad racional

Concepto de teoría de números

En teoría de números, una ley de reciprocidad racional es una ley de reciprocidad que involucra símbolos de residuos que están relacionados por un factor de +1 o –1 en lugar de una raíz general de la unidad.

Como ejemplo, existen leyes de reciprocidad racional bicuadrática y óctica . Defina el símbolo ( x | p ) _k como +1 si x es una potencia k -ésima módulo del primo p y -1 en caso contrario.

Sean p y q primos distintos congruentes con 1 módulo 4, tales que ( p | q ) ₂ = ( q | p ) ₂ = +1. Sea p = a ² + b ² y q = A ² + B ² con aA impar. Entonces

${\displaystyle (p|q)_{4}(q|p)_{4}=(-1)^{(q-1)/4}(aB-bA|q)_{2}\ .}$

Si además p y q son congruentes con 1 módulo 8, sea p = c ² + 2 d ² y q = C ² + 2 D ² . Entonces

${\displaystyle (p|q)_{8}=(q|p)_{8}=(aB-bA|q)_{4}(cD-dC|q)_{2}\ .}$

Referencias

• Burde, K. (1969), "Ein racionales biquadratisches Reziprozitätsgesetz", J. Reine Angew. Matemáticas. (en alemán), 235 : 175–184, Zbl  0169.36902
• Lehmer, Emma (1978), "Leyes de reciprocidad racional", The American Mathematical Monthly , 85 (6): 467–472, doi :10.2307/2320065, ISSN  0002-9890, JSTOR  2320065, MR  0498352, Zbl  0383.10003
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , págs. 153-183, ISBN 3-540-66957-4, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Williams, Kenneth S. (1976), "Una ley de reciprocidad óctica racional", Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563–570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN  0030-8730, MR  0414467, Zbl  0311.10004