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Campo cúbico

En matemáticas , específicamente en el área de la teoría de números algebraicos , un campo cúbico es un campo numérico algebraico de grado tres.

Definición

Si K es una extensión de campo de los números racionales Q de grado [ K : Q ] = 3, entonces K se llama campo cúbico . Cualquier campo de este tipo es isomorfo a un campo de la forma

donde f es un polinomio cúbico irreducible con coeficientes en Q. Si f tiene tres raíces reales , entonces K se llama un cuerpo cúbico totalmente real y es un ejemplo de un cuerpo totalmente real . Si, por otro lado, f tiene una raíz no real, entonces K se llama un cuerpo cúbico complejo .

Un cuerpo cúbico K se denomina cuerpo cúbico cíclico si contiene las tres raíces de su polinomio generador f . De manera equivalente, K es un cuerpo cúbico cíclico si es una extensión de Galois de Q , en cuyo caso su grupo de Galois sobre Q es cíclico de orden tres. Esto solo puede suceder si K es totalmente real. Es una ocurrencia rara en el sentido de que si el conjunto de cuerpos cúbicos está ordenado por el discriminante , entonces la proporción de cuerpos cúbicos que son cíclicos se acerca a cero a medida que el límite del discriminante se acerca al infinito. [1]

Un cuerpo cúbico se denomina cuerpo cúbico puro si se puede obtener adjuntando la raíz cúbica real de un entero positivo n sin cubos al cuerpo de números racionales Q. Dichos cuerpos son siempre cuerpos cúbicos complejos, ya que cada número positivo tiene dos raíces cúbicas complejas no reales.

Ejemplos

Cierre de Galois

Un cuerpo cúbico cíclico K es su propio cierre de Galois con el grupo de Galois Gal( K / Q ) isomorfo al grupo cíclico de orden tres. Sin embargo, cualquier otro cuerpo cúbico K es una extensión no Galois de Q y tiene una extensión de cuerpo N de grado dos como su cierre de Galois. El grupo de Galois Gal( N / Q ) es isomorfo al grupo simétrico S 3 en tres letras.

Campo cuadrático asociado

El discriminante de un cuerpo cúbico K puede escribirse de forma única como df 2 donde d es un discriminante fundamental . Entonces, K es cíclico si y solo si d  = 1, en cuyo caso el único subcuerpo de K es el propio Q. Si d  ≠ 1, entonces la clausura de Galois N de K contiene un único cuerpo cuadrático k cuyo discriminante es d (en el caso de que d  = 1, el subcuerpo Q a veces se considera como el cuerpo cuadrático "degenerado" del discriminante 1). El conductor de N sobre k es f , y f 2 es el discriminante relativo de N sobre K . El discriminante de N es d 3 f 4 . [6] [7]

El cuerpo K es un cuerpo cúbico puro si y sólo si d  = −3. Este es el caso para el cual el cuerpo cuadrático contenido en la clausura de Galois de K es el cuerpo ciclotómico de raíces cúbicas de la unidad . [7]

Discriminante

Las cruces azules representan el número de campos cúbicos totalmente reales de discriminante acotado. La línea negra es la distribución asintótica de primer orden mientras que la línea verde incluye el término de segundo orden. [8]
Las cruces azules representan el número de campos cúbicos complejos de discriminante acotado. La línea negra es la distribución asintótica de primer orden, mientras que la línea verde incluye el término de segundo orden. [8]

Dado que el signo del discriminante de un cuerpo numérico K es (−1) r 2 , donde r 2 es el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K en C , el discriminante de un cuerpo cúbico será positivo precisamente cuando el cuerpo sea totalmente real, y negativo si es un cuerpo cúbico complejo.

Dado un número real N  > 0, sólo hay un número finito de cuerpos cúbicos K cuyo discriminante D K satisface | D K | ≤  N . [9] Se conocen fórmulas que calculan la descomposición prima de D K , por lo que se puede calcular explícitamente. [10]

A diferencia de los campos cuadráticos, varios campos cúbicos no isomorfos K 1 , ..., K m pueden compartir el mismo discriminante D . El número m de estos campos se denomina multiplicidad [11] del discriminante D . Algunos ejemplos pequeños son m  = 2 para D   = −1836, 3969, m  = 3 para D   = −1228, 22356, m   = 4 para D  = −3299, 32009 y m  = 6 para D  = −70956, 3054132.

Cualquier campo cúbico K tendrá la forma K  =  Q (θ) para algún número θ que sea raíz de un polinomio irreducible

donde a y b son números enteros. El discriminante de f es Δ = 4 a 3  − 27 b 2 . Denotando el discriminante de K por D , el índice i (θ) de θ se define entonces por Δ =  i (θ) 2 D .

En el caso de un campo cúbico no cíclico K, esta fórmula de índice se puede combinar con la fórmula del conductor D = f 2 d para obtener una descomposición del discriminante polinomial Δ = i (θ) 2 f 2 d en el cuadrado del producto i (θ) f y el discriminante d del campo cuadrático k asociado con el campo cúbico K , donde d es libre de cuadrados hasta un posible factor 2 2 o 2 3 . Georgy Voronoy proporcionó un método para separar i (θ) y f en la parte cuadrada de Δ. [12]

El estudio del número de cuerpos cúbicos cuyo discriminante es menor que una cota dada es un área actual de investigación. Sea N + ( X ) (respectivamente N − ( X )) el número de cuerpos cúbicos totalmente reales (respectivamente complejos) cuyo discriminante está acotado por X en valor absoluto. A principios de la década de 1970, Harold Davenport y Hans Heilbronn determinaron el primer término del comportamiento asintótico de N ± ( X ) (es decir, cuando X tiende a infinito). [13] [14] Mediante un análisis del residuo de la función zeta de Shintani , combinado con un estudio de las tablas de cuerpos cúbicos compiladas por Karim Belabas (Belabas 1997) y algunas heurísticas , David P. Roberts conjeturó una fórmula asintótica más precisa: [15]

donde A ±  = 1 o 3, B ±  = 1 o , según el caso totalmente real o complejo, ζ( s ) es la función zeta de Riemann , y Γ( s ) es la función Gamma . Las demostraciones de esta fórmula han sido publicadas por Bhargava, Shankar & Tsimerman (2013) utilizando métodos basados ​​en el trabajo anterior de Bhargava, así como por Taniguchi & Thorne (2013) basados ​​en la función zeta de Shintani.

Grupo de unidad

Según el teorema de unidad de Dirichlet , el rango unitario libre de torsión r de un cuerpo numérico algebraico K con r 1 incrustaciones reales y r 2 pares de incrustaciones complejas conjugadas se determina mediante la fórmula r = r 1 + r 2 − 1. Por lo tanto, un cuerpo cúbico totalmente real K con r 1 = 3, r 2 = 0 tiene dos unidades independientes ε 1 , ε 2 y un cuerpo cúbico complejo K con r 1 = r 2 = 1 tiene una única unidad fundamental ε 1 . Estos sistemas fundamentales de unidades se pueden calcular mediante algoritmos de fracción continua generalizados de Voronoi [16] , que han sido interpretados geométricamente por Delone y Faddeev [17] .

Notas

  1. ^ Harvey Cohn calculó una asintótica para el número de campos cúbicos cíclicos (Cohn 1954), mientras que Harold Davenport y Hans Heilbronn calcularon la asintótica para todos los campos cúbicos (Davenport y Heilbronn 1971).
  2. ^ Cohen 1993, §B.3 contiene una tabla de campos cúbicos complejos
  3. ^ Cohen 1993, §B.3
  4. ^ Cohen 1993, §B.4 contiene una tabla de campos cúbicos totalmente reales e indica cuáles son cíclicos.
  5. ^ Cohen 1993, §B.4
  6. ^ Hasse 1930
  7. ^ Véase Cohen 1993, §6.4.5
  8. ^ ab Los recuentos exactos fueron calculados por Michel Olivier y están disponibles en [1]. El término asintótico de primer orden se debe a Harold Davenport y Hans Heilbronn (Davenport & Heilbronn 1971). El término de segundo orden fue conjeturado por David P. Roberts (Roberts 2001) y una prueba ha sido publicada por Manjul Bhargava , Arul Shankar y Jacob Tsimerman (Bhargava, Shankar & Tsimerman 2013).
  9. ^ H. Minkowski , Diphantische Approximationen , capítulo 4, §5.
  10. ^ Llorente, P.; Nart, E. (1983). "Determinación efectiva de la descomposición de los primos racionales en un cuerpo cúbico". Actas de la American Mathematical Society . 87 (4): 579–585. doi : 10.1090/S0002-9939-1983-0687621-6 .
  11. ^ Mayer, DC (1992). "Multiplicidades de discriminantes diedros". Math. Comp. 58 (198): 831–847 y S55–S58. Bibcode :1992MaCom..58..831M. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122071-3 .
  12. ^ GF Voronoi, Sobre los números enteros algebraicos derivables de una raíz de una ecuación de tercer grado , Tesis de maestría, San Petersburgo, 1894 (ruso).
  13. ^ Davenport y Heilbronn 1971
  14. ^ Su trabajo también puede interpretarse como un cálculo del tamaño promedio de la parte de 3-torsión del grupo de clases de un cuerpo cuadrático , y por lo tanto constituye uno de los pocos casos probados de las conjeturas de Cohen-Lenstra: véase, por ejemplo, Bhargava, Manjul ; Varma, Ila (2014), El número medio de elementos de 3-torsión en los grupos de clases y grupos ideales de órdenes cuadráticos , arXiv : 1401.5875 , Bibcode :2014arXiv1401.5875B, Este teorema [de Davenport y Heilbronn] produce los únicos dos casos probados de las heurísticas de Cohen-Lenstra para grupos de clases de cuerpos cuadráticos.
  15. ^ Roberts 2001, Conjetura 3.1
  16. ^ Voronoi, GF (1896). Sobre una generalización del algoritmo de fracciones continuas (en ruso). Varsovia: Tesis doctoral.
  17. ^ Delone, BN; Faddeev, DK (1964). La teoría de las irracionalidades de tercer grado . Traducciones de monografías matemáticas. Vol. 10. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.

Referencias

Enlaces externos